2020高中物理 第五章 曲线运动 第五节 向心加速度学案 新人教版必修2

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1、第五节　向心加速度 1．理解向心加速度的概念。 2．知道向心加速度和线速度、角速度的关系式。 3．能够运用向心加速度公式求解有关问题。 1.速度的变化量 速度的变化量是指物体速度的增量，也叫速度变化。 速度的变化量是矢量，有大小，也有方向。其运算规律遵循平行四边形定则(或三角形定则)。 2．对圆周运动中加速度的认识 圆周运动的速度方向不断改变，一定是变速运动。必定有加速度。 3．向心加速度 (1)定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度。 (2)方向：向心加速度的方向总是沿着半径指向圆心，与该点的线速度方向垂直。向心加速度

2、的方向时刻在改变。 (3)大小：an＝。根据v＝ωr可得an＝ω2r。 (4)作用效果：向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。 (5)物理意义：向心加速度是描述线速度方向改变快慢的物理量，线速度方向变化的快慢体现了向心加速度的大小。 判一判 (1)做匀速圆周运动物体所受的合力总指向圆心。(　　) (2)做匀速圆周运动物体的加速度总指向圆心。(　　) (3)匀速圆周运动是加速度不变的运动。(　　) 提示：(1)√　做匀速圆周运动物体所受合力总是指向圆心的。 (2)√　做匀速圆周运动物体所受合力总是指向圆心，根据牛顿第二定律，加速度也总指向圆心。 (3)×　做匀速圆周运

3、动物体的加速度总是指向圆心，所以其方向不断变化。 想一想 匀速圆周运动中，物体的加速度就是向心加速度吗？加速度一定指向圆心吗？在变速圆周运动中呢？ 提示：在匀速圆周运动中，物体的加速度就是向心加速度，加速度一定指向圆心；在变速圆周运动中，物体的加速度不是向心加速度，加速度不指向圆心，但向心加速度指向圆心。 课堂任务　向心加速度的理解 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 活动1：地球和小球的运动状态发生变化吗？若变化，变化的原因是什么？ 提示：地球和小球的速度方向不断发生变化，所以运动状态发生变化。运动状态发生变化的原因是受到力的作用。 活动2：地球受到什么力的

4、作用？这个力可能沿什么方向？地球的加速度沿什么方向？ 提示：地球受太阳引力的作用做匀速圆周运动，这个力只是在改变速度的方向，不改变速度大小，力应与速度垂直，故引力指向圆心，加速度也必然指向圆心。 活动3：水平面上匀速圆周运动的小球受到几个力的作用？这几个力的合力沿什么方向？小球的加速度沿什么方向？ 提示：小球受重力、支持力和线的拉力，但重力、支持力合力为零。所以小球受到的合力就是线的拉力，方向指向圆心，故加速度也指向圆心。 活动4：讨论、交流、展示，得出结论。 (1)向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变。 (2)向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速

5、度的作用只是改变速度的方向，对速度的大小无影响。 (3)圆周运动的性质：不论向心加速度a的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动。 例1　(多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是(　　) A．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直 B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小 C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心 D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心 (1)向心加速度的物理意义是什么？ 提示：加速度是表示速度变化快慢的物理量，向心加速度仅表示物体线速度方向变化的快慢，不表示物体线速度大小变化的快慢

6、。 (2)向心加速度方向为________。 提示：始终指向圆心 [规范解答]　向心加速度的方向沿半径指向圆心，线速度方向则沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，只改变线速度的方向，物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不指向圆心。故A、B、D正确，C错误。 [完美答案]　ABD 对向心加速度的理解 (1)向心加速度只描述线速度方向变化的快慢，沿切线方向的加速度描述线速度大小变化的快慢。 　下列说法中正确的是(　　) A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变

7、的快慢 B．向心加速度描述线速度方向变化的快慢 C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的 D．匀速圆周运动是匀变速曲线运动 答案　B 解析　匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变线速度的方向，A错误，B正确；匀速圆周运动中，向心加速度的大小不变，方向时刻变化，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动，故C、D错误。 课堂任务　向心加速度的大小和方向 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 活动1：在直线运动中如何表示速度的变化量？ 提示：在直线运动中速度的变化量如图甲和图乙所示。甲表示加速运动，乙表示减速运动。 活动2：如果速度的方向是变化的，如何表示速度的

8、变化量？ 提示：在同一点作出物体在一段时间的始末两个速度矢量v1和v2，从初速度矢量v1的末端至末速度矢量v2的末端的有向线段Δv就是v1到v2速度的变化量，如图丙。 活动3：设质点沿半径为r的圆周做匀速圆周运动，比如从A点运动到B点，极短的一段时间，速度变化量Δv的方向如何？ 提示：由于是匀速圆周运动，A点的速度v1和B点的速度v2大小是一样的，即长度是一样的。为了便于比较，将v1的起点移到B，同时保持v1的长度和方向不变，如图丙。如果我们把时间逐渐缩短，当时间趋于0时，v1、v2的夹角趋于0，此时速度变化量Δv的方向与v1垂直，也就与半径平行，在A处与半径重合，指向圆心。 活动4：

9、讨论、交流、展示，得出结论。 (1)向心加速度的方向 ①Δv的方向：如图所示，质点做匀速圆周运动从A点运动到B点，用下图体现时间逐渐减小到趋于零时Δv与初速度的关系。 　　 结论：Δt趋于零，Δv垂直于此时的线速度。即Δv指向圆心。 ②向心加速度的方向：由于Δv指向圆心，由加速度定义a＝可知，加速度总是与Δv的方向一致，故向心加速度方向指向圆心。 (2)向心加速度的大小 ①公式推导：先作出做匀速圆周运动的物体的速度情况如图甲所示，再作出速度与速度改变量的关系图如图乙所示。 由于A点的速度vA方向垂直于半径r，B点的速度vB方向垂直于另一条半径r，所以∠AOB＝∠CBD，故等

10、腰△AOB和△CBD相似，根据对应边成比例可得：＝，由于时间t很短，故弦长AB近似等于弧长，而弧长＝vA·Δt，所以＝，又an＝，故an＝。由于v＝ωr，代入an＝可得an＝ω2r。 ②向心加速度的几种表达式：an＝＝ω2r＝r＝4π2n2r＝ωv。 ③向心加速度与半径的关系 a．当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比，如图甲所示。 b．当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比，如图乙所示。 由an­r图象可以看出：向心加速度an与r是成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定。 ④向心加速度的注意要点 a．向心加速度的公式适用于所有圆周运动的向心加速度的计算，包括非匀速圆周

11、运动，但an与v具有瞬时对应性。 b．向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。向心加速度表示速度方向改变的快慢。 c．无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心。非匀速圆周运动合加速度不指向圆心，但向心加速度一定指向圆心，是专门改变速度方向的。 例2　如图所示，压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍。压路机匀速行驶时，大轮边缘上A点的向心加速度是12 cm/s2，那么小轮边缘上B点的向心加速度是多少？大轮上距轴心距离为的C点的向心加速度大小是多少？ (1)怎么比较A、B、C三点的向心加速度大小？ 提示：需要涉及公式an＝、an＝ω2r，通过抓住相同量

12、比较不同量。 (2)A、B两点有什么物理量相同？A、C两点有什么物理量相同？ 提示：由于A、B轮在一起朝前运动，都走同样的路，其线速度大小相等。A、C同轴，角速度、周期、转速相等。 [规范解答]　大轮边缘上A点的线速度大小与小轮边缘上B点的线速度大小相等。由aA＝和aB＝得aB＝aA＝24 cm/s2＝0.24 m/s2；C点和A点同在大轮上，角速度相等，由aA＝ω2R和aC＝ω2·得aC＝＝4 cm/s2＝0.04 m/s2。 [完美答案]　aB＝0.24 m/s2　aC＝0.04 m/s2 向心加速度公式的应用技巧 (1)皮带传动问题，两轮边缘线速度大小相等，常选择公式an

13、＝。 (2)同轴转动问题，各点角速度相等，常选择公式an＝ω2r。 所以分析向心加速度时应先确定是线速度大小相等，还是角速度相等，再选择合适的公式。 　如图所示，O1为皮带传动的主动轮的轴心，主动轮半径为r1，O2为从动轮的轴心，从动轮半径为r2，r3为固定在从动轮上的小轮半径。已知r2＝2r1，r3＝1.5r1。A、B、C分别是三个轮边缘上的点，则点A、B、C的向心加速度之比是(假设皮带不打滑)(　　) A．1∶2∶3 B．2∶4∶3 C．8∶4∶3 D．3∶6∶2 答案　C 解析　因为皮带不打滑，A点与B点的线速度大小相同，都等于皮带运动的速率。根据向心加速度公式

14、a＝，可得aA∶aB＝r2∶r1＝2∶1。由于B、C同轴转动，所以它们的角速度相同。根据向心加速度公式a＝ω2r，可得aB∶aC＝r2∶r3＝2∶1.5。由此得aA∶aB∶aC＝8∶4∶3，故选C。 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A组：合格性水平训练 1．(向心加速度的理解)下列关于向心加速度的说法中正确的是(　　) A．向心加速度的方向始终指向圆心 B．向心加速度的方向保持不变 C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的 D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化 答案　A 解析　向心加速度的方向时刻指向圆心，A正确，B错误；匀速圆周运动中

15、，向心加速度的大小不变，方向时刻变化，故C、D错误。 2.(传动装置中的向心加速度)如图所示，两轮压紧，通过摩擦传动(不打滑)，已知大轮半径是小轮半径的2倍，E为大轮半径的中点，C、D分别是大轮和小轮边缘上的一点，则E、C、D三点向心加速度大小关系正确的是(　　) A．anC＝anD＝2anE B．anC＝2anD＝2anE C．anC＝＝2anE D．anC＝＝anE 答案　C 解析　C、E两点同轴转动，角速度相等，由an＝ω2r，有＝2，即anC＝2anE；两轮边缘点的线速度大小相等，C、D两点的线速度大小相等，由an＝，有＝，即anC＝anD，故选C。 3．(向心加速度与

16、半径的关系)关于质点的匀速圆周运动，下列说法中正确的是(　　) A．由an＝可知，an与r成反比 B．由an＝ω2r可知，an与r成正比 C．由v＝ωr可知，ω与r成反比 D．由ω＝2πf可知，ω与f成正比 答案　D 解析　质点做匀速圆周运动的向心加速度与质点的线速度、角速度、半径有关，当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比，对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论，而角速度无论何时均与频率成正比。A、B、C错误，D正确。 4.(向心加速度与半径的关系)(多选)如图所示为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，其中A为

17、双曲线的一个分支，由图可知(　　) A．A物体运动的线速度大小不变 B．A物体运动的角速度大小不变 C．B物体运动的角速度大小不变 D．B物体运动的角速度与半径成正比 答案　AC 解析　因为A为双曲线的一个分支，说明a与r成反比，由a＝可知，A物体运动的线速度大小不变，故A正确，B错误；而OB为过原点的直线，说明a与r成正比，由a＝ω2r可知，B物体运动的角速度大小不变，故C正确，D错误。 5．(匀速圆周运动的加速度)(多选)一只质量为m的老鹰，以速率v在水平面内做半径为r的匀速圆周运动，则关于老鹰的向心加速度的说法正确的是(　　) A．大小为 B．大小为g－ C．方向在

18、水平面内 D．方向在竖直面内 答案　AC 解析　根据an＝可知A正确；由于老鹰在水平面内做匀速圆周运动，向心加速度始终指向圆心，所以向心加速度的方向在水平面内，C正确。 6.(综合)如图所示，一圆环以直径AB为轴匀速转动，P、Q、R是环上的三点，则下列说法正确的是(　　) A．向心加速度的大小aP＝aQ＝aR B．任意时刻P、Q、R三点向心加速度的方向不同 C．线速度vP＞vQ＞vR D．任意时刻P、Q、R三点的线速度方向均不同 答案　C 解析　圆环各处的角速度相等，由a＝ω2r知aP＞aQ＞aR，故A错误；由v＝ωr知vP＞vQ＞vR，故C正确；由于向心加速度总是指向圆

19、周运动圆心，所以P、R、Q处的向心加速度的方向都垂直于AB轴且指向AB轴，即P、Q、R三点向心加速度的方向相同，B错误；线速度方向都垂直于向心加速度，故P、Q、R三点的线速度方向相同，D错误。 7.(综合)如图所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω匀速旋转，A、B为球体上两点，下列几种说法中正确的是(　　) A．A、B两点具有相同的角速度 B．A、B两点具有相同的线速度 C．A、B两点的向心加速度的方向都指向球心 D．A、B两点的向心加速度之比为 答案　A 解析　A、B为球体上两点，因此A、B两点的角速度与球体绕轴O1O2旋转的角速度相同，A正确；如图所示，A以P为圆心做圆周

20、运动，B以Q为圆心做圆周运动，因此A、B两点的向心加速度方向分别指向P、Q，C错误；设球的半径为R，则A运动的半径rA＝Rsin60°，B运动的半径rB＝Rsin30°，＝＝＝，B错误；＝＝，D错误。 8.(向心加速度的计算)滑板运动是深受青少年喜爱的运动，如图所示，某滑板运动员恰好从B点进入半径为2.0 m的光滑圆弧轨道，该圆弧轨道在C点与水平光滑轨道相接，运动员滑到C点时的速度大小为10 m/s。求他到达C点前、后瞬间的加速度。(不计各种阻力) 答案　50 m/s2，方向竖直向上　0 解析　运动员到达C点前的瞬间做圆周运动，加速度大小a＝＝ m/s2＝50 m/s2，方向在该位置

21、指向圆心，即竖直向上。运动员到达C点后的瞬间合外力为0，加速度为0。 9. (综合)如图所示，甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动，圆周半径为R；乙做自由落体运动，当乙下落至A点时，甲恰好第一次运动到最高点B，求甲物体做匀速圆周运动的向心加速度的大小。(重力加速度为g) 答案　π2g 解析　设乙下落到A点所用时间为t， 则对乙，满足R＝gt2，得t＝， 这段时间内甲运动了T，即T＝① 又由于an＝ω2R＝R② 由①②得，an＝π2g。 B组：等级性水平训练 10.(传动问题)如图所示，A、B为啮合传动的两齿轮(齿未画出)，rA＝2r

22、B，则A、B两轮边缘上两点的(　　) A．角速度之比为2∶1 B．向心加速度之比为1∶2 C．周期之比为1∶2 D．转速之比为2∶1 答案　B 解析　根据两轮边缘线速度大小相等，由v＝ωr，得角速度之比为ωA∶ωB＝rB∶rA＝1∶2，故A错误；由an＝，得向心加速度之比为aA∶aB＝rB∶rA＝1∶2，故B正确；由T＝，得周期之比为TA∶TB＝rA∶rB＝2∶1，故C错误；由n＝，得转速之比为nA∶nB＝ωA∶ωB＝1∶2，故D错误。 11. (综合)(多选)小球质量为m，用长L的轻悬线固定于O点，在O点的正下方处钉有一颗钉子P，把悬线沿水平方向拉直，如图所示。若无初速

23、度释放小球，当悬线碰到钉子后的瞬间(设线没有断)(　　) A．小球的角速度突然增大 B．小球的线速度突然减小到零 C．小球的向心加速度突然增大 D．小球的线速度突然增大 答案　AC 解析　由题意知，当悬线运动到与钉子相碰时，悬线仍然竖直，小球在竖直方向仍然只受重力和悬线的拉力，故其运动方向不受力，线速度大小不变，B、D错误；又ω＝，r减小，所以ω增大；a＝，r减小，则a增大，故A、C正确。 12. (传动问题)如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘

24、的a点和轮4边缘的c点相比(　　) A．线速度之比为1∶4 B．角速度之比为4∶1 C．向心加速度之比为8∶1 D．向心加速度之比为1∶8 答案　D 解析　由题意知va＝v3，v2＝vc，又轮2与轮3同轴转动，角速度相同，v2＝2v3，所以va∶vc＝1∶2，A错误。＝＝，B错误。设轮4的半径为r，则aa＝＝＝＝ac，即aa∶ac＝1∶8，C错误，D正确。 13. (综合)(多选)如图所示，一小物块以大小为an＝4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R＝1 m，则下列说法正确的是(　　) A．小物块运动的角速度为2 rad/s B．小物块做圆周运动的周期为π s

25、 C．小物块在t＝ s内通过的位移大小为 m D．小物块在π s内通过的路程为零 答案　AB 解析　因为an＝ω2R，所以小物块运动的角速度为ω＝＝2 rad/s，周期T＝＝π s，A、B正确；小物块在 s内转过弧度，通过的位移大小为 m，在π s内转过一周，通过的路程为2π m，C、D错误。 14. (多解问题)用图所示的装置可以测量弹簧枪发射子弹的速度。在一根水平轴MN上相隔L安装两个平行的薄圆盘，两圆盘可以绕水平轴MN一起匀速转动。弹簧枪紧贴左盘沿水平方向在水平轴MN的正上方射出一颗子弹，子弹穿过两个薄圆盘(穿过圆盘时速度不变)，并在圆盘上留下两个小孔A和B(设子弹穿过B时还没

26、有运动到转轴的下方)。若测得两个小孔距水平轴MN的距离分别为RA和RB，它们所在的半径按转动方向由B到A的夹角为φ(φ为锐角)。求： (1)弹簧枪发射子弹的速度； (2)圆盘绕MN轴匀速转动的角速度； (3)若用一橡皮泥将A孔堵上，则橡皮泥的向心加速度的大小是多少？ 答案　(1)L (2)(2nπ＋φ)(n＝0,1,2，…) (3)(n＝0,1,2，…) 解析　(1)以子弹为研究对象，在从A运动到B的过程中，由平抛运动的规律可得RA－RB＝gt2，L＝v0t 联立解得v0＝L。 (2)子弹从A运动到B所用的时间为 t＝＝ 。 在此过程中，圆盘转过的角度为 θ＝2nπ＋φ(n＝0,1,2，…) 所以圆盘转动的角速度为 ω＝＝(2nπ＋φ)(n＝0,1,2，…)。 (3)橡皮泥的角速度与圆盘转动的角速度相等，所以橡皮泥的向心加速度为 a＝ω2RA＝(n＝0,1,2，…)。 - 16 -