2022年中考数学三轮冲刺过关回归教材重难点01 圆的有关计算问题-【查漏补缺】

2022年中考数学三轮冲刺过关回归教材重难点01 圆的有关计算问题-【查漏补缺】,查漏补缺,2022年中考数学三轮冲刺过关回归教材重难点01,圆的有关计算问题-【查漏补缺】,2022,年中,数学,三轮,冲刺,过关,回归,教材,难点,01,有关,计算,问题,补缺 回归教材重难点01 圆的有关计算问题 圆的有关计算是九年级《圆》的重点内容，通过对圆有关的性质定理的记忆与掌握，要求考生熟练的运用各种性质定理解决计算问题，提升数学学科素养，提高逻辑思维推断能力。 本考点是中考五星高频考点，在全国各地的中考试卷中均有出现，题目难度中等或中等偏下。 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 注意：垂径定理中的五个元素——“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”，构成知二推三. 2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半． 推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）． 推论2：圆内接四边形的对角互补． 3．弦切角定理：弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角. 弦切角就是切线与弦所夹的角． 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角． 4.圆幂定理 ①相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等． ②切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． ③割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 5.正圆的计算 设的半径为，圆心角所对弧长为， ①弧长公式： ②扇形面积公式： ③圆柱体表面积公式： ④圆锥体表面积公式：（为母线） 第1页/共6页 1．（2021·青海西宁·中考真题）如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，连接，，，，，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 2．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，是的内接三角形，，，连接，，则的长是（       ） A． B． C． D． 3．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，BC＝6，CE＝2DE，则CE的长为（       ） A．2 B．4 C．3 D．4 4．（2021·四川巴中·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（　　） 第2页/共6页 A． B． C． D． 5．（2021·山东德州·模拟预测）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（　　） A． B． C． D． 6．（2021·山东临沂·二模）如图，等腰直角△ABC中，AC＝AB＝4，以AB为直径的半圆O交斜边BC于点D，则阴影部分的面积为（       ）（结果保留π） A．12﹣2π B．16﹣2π C．24﹣4π D．8 7．（2021·陕西西安·模拟预测）如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交⊙O于点F，则∠BAF等于（　　） A．22.5° B．20° C．15° D．12.5° 第3页/共6页 8．（2021·广东·雷州市第八中学二模）如图，A、D是⊙上的两点，BC是直径，若∠D = 35°，则∠OCA的度数是（　　） A．35° B．55° C．65° D．70° 9．（2021·广东阳江·二模）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠BDC=30°，BC =3，则AB的长度为（        ）      A．6 B．3 C．9 D．12 10．（2021·山东青岛·中考真题）如图，正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点．已知，则图中阴影部分的面积为___________． 11．（2021·青海西宁·中考真题）如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 第4页/共6页 12．（2021·河南南阳·三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3，在AB上有一点O，以点O为圆心，OA长为半径的半圆与边BC相切于点D，交AC边于点E，则图中阴影部分的面积为____． 13．（2022·安徽·由南翔学校合并一模）如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中C，D，E在AB上，F、N在半圆上．若则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是16，则AB的长为______． 14．（2021·江苏扬州·三模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D为半圆AB的中点，CD交AB于点E，若AC＝8，BC＝6，则BE的长为 _____． 第5页/共6页 第6页/共6页 回归教材重难点01 圆的有关计算问题 圆的有关计算是九年级《圆》的重点内容，通过对圆有关的性质定理的记忆与掌握，要求考生熟练的运用各种性质定理解决计算问题，提升数学学科素养，提高逻辑思维推断能力。 本考点是中考五星高频考点，在全国各地的中考试卷中均有出现，题目难度中等或中等偏下。 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 注意：垂径定理中的五个元素——“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”，构成知二推三. 2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半． 推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）． 推论2：圆内接四边形的对角互补． 3．弦切角定理：弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角. 弦切角就是切线与弦所夹的角． 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角． 4.圆幂定理 ①相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等． ②切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． ③割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 5.正圆的计算 设的半径为，圆心角所对弧长为， ①弧长公式： ②扇形面积公式： ③圆柱体表面积公式： ④圆锥体表面积公式：（为母线） 第1页/共14页 1．（2021·青海西宁·中考真题）如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，连接，，，，，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接OD，由题意，先利用勾股定理求出AB的长度，设半径为r，然后求出内切圆的半径，再利用正方形的面积减去扇形的面积，即可得到答案． 【详解】解：连接OD，如图： 在中，，，， 由勾股定理，则， 设半径为r，则，∴，∴四边形CEOF是正方形； 由切线长定理，则，， ∵，∴，解得：，∴； ∴阴影部分的面积为：； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，切线长定理，求扇形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题． 第2页/共14页 2．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，是的内接三角形，，，连接，，则的长是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，根据正弦的定义求出，根据弧长公式计算求解． 【详解】解：过点作于，则， 由圆周角定理得：，， ，，故选：． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆周角定理、弧长公式是解题的关键． 3．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，BC＝6，CE＝2DE，则CE的长为（       ） A．2 B．4 C．3 D．4 第3页/共14页 【答案】D 【分析】连接CO，过点D作DG⊥AB于点G，连接AD，因为CE＝2DE，构造△DGE∽△COE，求出DG＝3，设GE＝x，则OE＝2x，DG＝3，则AG＝6﹣3x，BG＝6＋3x，再利用△AGD∽△ADB，列出方程即可解决． 【详解】解：连接CO，过点D作DG⊥AB于点G，连接AD， ∵∠BDC＝45°，∴∠CAO＝∠CDB＝45°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∵BC＝6，∴AB＝BC＝12， ∵OA＝OB，∴CO⊥AB，∴∠COA＝∠DGE＝90°， ∵∠DEG＝∠CEO，∴△DGE∽△COE， ∴＝， ∵CE＝2DE， 设GE＝x，则OE＝2x，DG＝3， ∴AG＝6﹣3x，BG＝6＋3x， ∵∠ADB＝∠AGD＝90°，∠DAG＝∠BAD， ∴△AGD∽△ADB，∴DG2＝AG•BG，∴9＝（6﹣3x）（6＋3x）， ∵x＞0，∴x＝，∴OE＝2， 在Rt△OCE中，由勾股定理得： CE＝， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造出△DGE∽△COE是解题关键 第4页/共14页 4．（2021·四川巴中·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接OA，AC，OC，OC交AB于E，先根据垂径定理求出AE=3，然后证明三角形OAC是等边三角形，从而可以得到∠OAE=30°，再利用三线合一定理求解即可. 【详解】如图所示，连接OA，AC，OC，OC交AB于E， ∵C是弧AB的中点，AB=6，∴OC⊥AB，AE=BE=3， ∵∠ADC=30°，∴∠AOC=2∠ADC=60°， 又∵OA=OC，∴△OAC是等边三角形， ∵OC⊥AB,∴，,∴ ∴∴圆心O到弦AB的距离为，故选C. 【点睛】本题主要考查了圆周角与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 5．（2021·山东德州·模拟预测）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 第5页/共14页 【分析】连接OD交AC于F，如图，根据垂径定理得到OD⊥AC，则AF＝CF，根据圆周角定理得到∠C＝90°，所以OD∥BC，接着证明△BCE≌△DFE得到BC＝DF，则OFBC，所以OFOD＝1，然后利用勾股定理计算出AF，从而得到AC的长． 【详解】连接OD交AC于F，如图，∵D是弧AC的中点，∴OD⊥AC，∴AF＝CF， ∵AB是直径，∴∠C＝90°，∴OD∥BC，∴∠D＝∠CBE， 在△BCE和△DFE中， ,∴△BCE≌△DFE（ASA），∴BC＝DF， ∵OFBC，∴OFDF，∴OFOD＝1， 在Rt△OAF中，AF2，∴AC＝2AF＝4． 故选：D． 【点睛】本题考查圆中垂径定理、圆周角定理等知识，解决问题的关键是连接OD，利用垂径定理构造直角三角形． 6．（2021·山东临沂·二模）如图，等腰直角△ABC中，AC＝AB＝4，以AB为直径的半圆O交斜边BC于点D，则阴影部分的面积为（       ）（结果保留π） A．12﹣2π B．16﹣2π C．24﹣4π D．8 【答案】A 第6页/共14页 【分析】连接AD，因为△ABC是等腰直角三角形，故∠ABD=45°，再由AB是圆的直径得出∠ADB=90°，故△ABD也是等腰直角三角形，所以AD=BD，S阴影=S△ABC-S△ABD-S弓形AD由此可得出结论． 【详解】连接AD，OD， ∵等腰直角△ABC中，∴∠ABD＝45°． ∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴△ABD也是等腰直角三角形，∴AD=BD， ∵AB＝4，∴AD＝BD＝4， ∴S阴影＝S△ABC﹣S△ABD﹣S弓形AD＝S△ABC﹣S△ABD﹣（S扇形AOD﹣S△ABD） ＝×4×4﹣×4×4﹣+××4×4＝16﹣2π﹣4＝12﹣2π． 故选：A． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形及扇形是解答此题的关键． 7．（2021·陕西西安·模拟预测）如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交⊙O于点F，则∠BAF等于（　　） A．22.5° B．20° C．15° D．12.5° 【答案】C 【分析】连接OB，根据平行四边形的性质得到OC=AB，证明△OAB是等边三角形，推出∠AOB=60°，利用垂径定理得到∠BOF=∠AOF=30°，再根据圆周角定理求出∠BAF． 第7页/共14页 【详解】连接OB， ∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC=AB， ∵OA=OB=OC，∴OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°， ∵OF⊥OC，OC，∴OF⊥AB，∴∠BOF=∠AOF=30°，∴∠BAF=∠BOF=15°，故选：C． ． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定及性质，垂径定理，圆周角定理，熟记垂径定理是解题的关键． 8．（2021·广东·雷州市第八中学二模）如图，A、D是⊙上的两点，BC是直径，若∠D = 35°，则∠OCA的度数是（　　） A．35° B．55° C．65° D．70° 【答案】B 【分析】根据圆周角定理可得∠BAC=90°，∠B=∠D=25°，进而解答即可． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠BAC=90°， ∵∠D=35°， ∴∠B=35°， ∴∠OCA=90°-∠B=90°-35°=55°， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，正确理解圆周角定理是关键． 第8页/共14页 9．（2021·广东阳江·二模）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠BDC=30°，BC =3，则AB的长度为（        ）      A．6 B．3 C．9 D．12 【答案】A 【分析】连接AC，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，∠BAC=∠BDC=30°，再根据在直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，即可求得． 【详解】解：如图：连接AC， ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°， ∵∠BDC=30°，∴∠BAC=∠BDC=30°， ∴AB=2BC=6． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形中30°角的性质，作出辅助线是解决本题的关键． 10．（2021·山东青岛·中考真题）如图，正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点．已知，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】连接AC，OD，根据已知条件得到AC是⊙O的直径，∠AOD 第9页/共14页 =90°，根据切线的性质得到∠PAO=∠PDO=90°，得到△CDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到PE=，根据梯形和圆的面积公式即可得到答案． 【详解】连接AC，OD， ∵四边形BCD是正方形，∴∠B=90°， ∴AC是⊙O的直径，∠AOD=90°， ∵PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，∴∠PAO=∠PDO=90°，∴四边形AODP是矩形， ∵OA=OD，∴矩形AODP是正方形， ∴∠P=90°，AP=AO，AC∥PE，∴∠E=∠ACB=45°，∴△CDE是等腰直角三角形， ∵AB=2，∴AC=2AO=2，DE=CD=2，∴AP=PD=AO=，∴PE=3， ∴图中阴影部分的面积 故答案为：5-π． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 11．（2021·青海西宁·中考真题）如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 【答案】 【分析】设半径为r，则，得到，由垂径定理得到 第10页/共14页 ，再根据勾股定理，即可求出答案． 【详解】解：由题意，设半径为r，则， ∵，∴， ∵是的直径，弦于点E，∴点E是CD的中点， ∵，∴， 在直角△OCE中，由勾股定理得， 即，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理进行解题． 12．（2021·河南南阳·三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3，在AB上有一点O，以点O为圆心，OA长为半径的半圆与边BC相切于点D，交AC边于点E，则图中阴影部分的面积为____． 【答案】 【分析】先利用三角函数定义可知∠B＝30°，得∠CAB＝60°，证明△AOE是等边三角形，利用切线的性质得直角△BOD，利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2OD＝4，最后根据面积差可得答案． 【详解】解：如图， ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝3，∴tan∠B＝＝＝， ∴∠B＝30°，∠CAB＝60°，∴AB＝2AC＝6， ∵OA＝OE，∴△AOE是等边三角形，∴∠AOE＝60°，∴∠EOF＝120°， ∵OA为半径的半圆与BC边相切于点D，∴OD⊥AC，∴∠BDO＝90°， 第11页/共14页 ∴OB＝2OD＝2OA＝4，∴OA＝2， ∴等边三角形AOE中，OA边的高为， ∴S阴影＝S△ACB﹣S△AOE﹣S扇形OEF＝﹣﹣＝﹣﹣π ＝﹣π． 故答案为：﹣π． 【点睛】本题考查了切线的性质、扇形的面积计算，知道切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了含30度的直角三角形的性质． 13．（2022·安徽·由南翔学校合并一模）如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中C，D，E在AB上，F、N在半圆上．若则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是16，则AB的长为______． 【答案】8 【分析】连接ON，OF，则x2+（x+DO）2=r2，y2+（y-DO）2=r2，整理可得x2+y2=r2，根据正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和为16可以求出圆的半径，即可得出圆的直径． 【详解】连接ON，OF，如图所示： 设CN=x，EF=y，圆的半径为r，根据题意可得：①，②， ①-②化简得：， ∵，∴，即，∴，或（舍去）， ∴圆的直径． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，本题中化简求得x2+y2=r2是解题的关键． 第12页/共14页 14．（2021·江苏扬州·三模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D为半圆AB的中点，CD交AB于点E，若AC＝8，BC＝6，则BE的长为 _____． 【答案】 【分析】连接OD，作CH⊥AB于H，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则根据勾股定理可计算出AB=10，利用面积法计算出CH=，再利用勾股定理计算出BH=，接着证明△CHE∽△DOE，根据相似的性质得到OE=EH，从而得到EH+EH+=5，求得EH后计算EH+BH即可． 【详解】连接OD，作CH⊥AB于H，如图， ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AB=， ∵CH•AB=AC•BC，∴CH=， 在Rt△BCH中，BH=， ∵点D为半圆AB的中点，∴OD⊥AB，∴ODCH，∴△CHE∽△DOE， ∴EH：OE=CH：OD=：5=24：25， ∴OE=EH， ∵EH+EH+=5，∴EH=，∴BE=EH+BH=+=．故答案为： 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理和相似三角形的判定与性质．熟练的运用以上知识是解本题的关键. 第13页/共14页 第14页/共14页