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1、二、多元线性回归模型在多要素的地理环境系统中，多个(多于两个)要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。
(一)多元线性回归模型的建立
假设某一因变量y受k个自变量X,x,•••,x的影响，其n组观测值为(y,X,x，…,x),
12ka1a2aka
a€1,2,...,n。那么，多元线性回归模型的结构形式为：
y€,+,x+,x+...+,x+&(3.2.11)
a011a22akkaa
式中：
卩卩，…，卩为待定参数；
0,1k
£为随机变量。
a
如果b,b，…,b分别为,，卩，卩…,卩的拟合值，则回归方程为
01k01
2、2k
=b+bx+bx+...+bx（3212）
01122kk
式中：
b0为常数;
b,b,...,b称为偏回归系数。
12k
偏回归系数b(i€1,2,...,k)的意义是，当其他自变量x.(j„i)都固定时，自变量x每
iji
变化一个单位而使因变量y平均改变的数值。
根据最小二乘法原理，,(i€0,1,2,...,k)的估计值b(i€0,1,2,...,k)应该使
ii
a€1
‘[y~（b+bx+bx+...+bx
a011a22akka
Tmin（3.2.13）
有求极值的必要条件得
a€1
3.2.14）
将方程组(3.2.14
3、)式展开整理后得：
nb…
0
(£x)b+
ia0
(£x)b+(£x)b+...+(£x)b
k
£a„i
iaii
x2)b…
1a1
2a2
i
ka
xx)b+...
1a2a2
„£y
a
a„i
xx)b
iakak
„£xy
iaa
x)b+(xx)b
2a0ia2ai
a„ia„i
x2)b+...+(£xx)b
2a22akak
a„ia„i
xy
2aaa„i
3.2.i5)
(£x)b+(£xx)b+(£xx)b+...+(£x2)bka0iakai
a„ia„i
2a
a„i
ka
ka
a„
4、i
„£xy
ka
方程组（3.2.15）式，被称为正规方程组。
如果引入一下向量和矩阵：
b„
(b)
0
b
1
b
2
x
11
,Y
y2
,X
a„1
x
12
x
13
5、
...x
23
k3
...x
2n
kn
x
x
11
21
x
x
12
22
x
x
13
23
...
...
x
x
1n
2n
x
x
x
丿
x
k1
x
k2
x
k3
x
kn
£x
ia
£an„1
x
2a
a„i
£x
ka
a„i
B„XTY„
£x
ia
£x
2a
£x
ka
£an„1
x2
1a
£xx
ia2a
a„i
£xx
ia2a
a„£i
£xx
iaka
x2
2aa„i
£an„1
xx
2akaa„i
6、
£xx
ia
a„i
£x
ka
a„1
x
11
x
12
x
13
x
2aka
£n
x2
ka丿
x
21
x
22
x
23
7、式可得：
b€A-1B€(XtX)-1XtY(3.2.16)
如果引入记号：
L€L€,(x一x)(x一x)(i,j€1,2,...,k)
ijjiiaijaj
a€1
(x一x)(y一y)(i=1,2,...,k)
iyiaia
a€1
则正规方程组也可以写成：
Lb+Lb+...+Lb€L
1111221kk1y
Lb+Lb+...+Lb€L
2112222kk2y
…(3.2.15'')
Lb+Lb+...+Lb€L
k11_k2_2kkkky
b€y一bx一bx一…一bx
01122kk
（二）多元线性回归模型的显著性检验与一元线性回归模型一样，当
8、多元线性回归模型建立以后，也需要进行显著性检验。与前面的一元线性回归分析一样，因变量y的观测值y,y,...,y之间的波动或差异，是由两个因
12n
素引起的，一是由于自变量x,x,...,x的取之不同，另一是受其他随机因素的影响而引起
12k
的。为了从y的离差平方和中把它们区分开来，就需要对回归模型进行方差分析，也就是将y的离差平方和ST或（Lyy分解成两个部分，即回归平方和U与剩余平方和Q：
S€L€U+Q
Tyy
在多元线性回归分析中，回归平方和表示的是所有k个自变量对y的变差的总影响，它可以按公式
U€,（y-y）€,bL
aiiy
a€1i€1
计算，而剩余平方和为
Q€工（y-F/€L一U
aayy
a€1
以上几个公式与一元线性回归分析中的有关公式完全相似。它们所代表的意义也相似，即回归平方和越大，则剩余平方和Q就越小，回归模型的效果就越好。不过，在多元线性回归分析中，各平方和的自由度略有不同，回归平方和U的自由度等于自变量的个数k，而剩余平方和的自由度等于n-k-1，所以F统计量为：
U/k
F二一
Q/(n€k€1)
当统计量F计算出来之后，
就可以查F分布表对模型进行显著性检验。
多元线性回归模型公式
