专题1实数及其运算

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1、 中国领先的个性化教育品牌 精锐教育学科教师辅导讲义 年 级： 辅导科目：数学 课时数：3 课 题 实数及其运算 教学目的 教学内容 中考要求： 1.理解有理数的意义，能用书抽上的点表示有理数，会比较有理数的大小，会用科学计数法表示数；借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数和绝对值；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算及简

2、单的混合运算，能运用运算律简化运算。 2.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点的一一对应关系；会用平方运算求某些非负数的算术平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根。 3.能用有理数个估计一个无理数的大致范围，了解近似数与有效数字的概念，能用计算器进行近似计算并按要求对结果取近似值，能运用实数的运算解决一些简单的实际问题。 第1讲 走进实数世界 一、【三年中考】 1．(2010·宁波)－3的相反数是(　　) A．3 B. C．－3 D．－ 解析：因－3的相反数可表示为－(－3)＝

3、3，故选A. 答案：A 2．(2010·台州)－4的绝对值是(　　) A．4 B．－4 C. D．－ 解析：由一个负数的绝对值是它的相反数，得|－4|＝4，故选A. 答案：A 3．(2010·湖州)3的倒数是(　　) A．－3 B．－ C. D．3 解析：由倒数的定义可得3的倒数是，故选C. 答案：C 4．(2009·温州)在0,1，－2，－3.5这四个数中，是负整数的是(　　) A．0 B．1 C．

4、－2 D．－3.5 解析：由实数的分类可知，－2是负整数，故选C. 答案：C 5．(2008·金华)如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为(　　) A．－5吨 B．＋5吨 C．－3吨 D．＋3吨 解析：因互为相反意义的量中，一个用“＋”表示，则另一个用“－”表示，所以运出5吨可表示为－5吨，故选A. 答案：A 6．2010·湖州)2010年5月，湖州市第11届房交会总成交金额约2.781亿元．近似数2.781亿元的有效数字的个数是(　　) A．1 B．2 C

5、．3 D．4 解析：因为2.781中有4个有效数字，故选D. 答案：D 7．(2010·绍兴)自上海世博会开幕以来，中国馆以其独特的造型吸引了世人的目光．据预测，在会展期间，参观中国馆的人次数估计可达到14 900 000，此数用科学记数法表示是(　　) A．1.49×106 B．0.149×108 C．14.9×107 D．1.49×107 解析：由科学记数法的形式a×10n，(1≤|a|<10，n为整数)可得14 900 000＝1.49×107.故选D. 答案：D 8．(2010·宁波)据《中国经济周刊》报道，上海世

6、博会第四轮环保活动投资总额高达820亿元，其中820亿用科学记数法表示为(　　) A．0.82×10 11 B．8.2×1010 C．8.2×109 D．82×108 解析：因820亿＝820×108＝8.2×1010，故选B. 答案：B 9．(2009·嘉兴)用四舍五入法，精确到0.1，对5.649取近似值的结果是________． 解析：由题目要求可得5.649≈5.6. 答案：5.6 10．(2010·嘉兴)据统计，2009年嘉兴市人均GDP约为4.49×104，比上年增长7.7%.其中，近似数4.49×104有___

7、__个有效数字． 解析：因为4.49×104中有效数字分别是4,4,9.共3个． 答案：3 二、【考点知识梳理】 （一） 实数的有关概念 1．数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线，叫做数轴．实数和数轴上的点是一一对应的． 2．相反数 (1)实数a的相反数为－a； (2)a与b互为相反数⇔a＋b＝0； (3)相反数的几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等． 3．倒数 (1)实数a的倒数是，其中a≠0； (2)a和b互为倒数⇔ab＝1. 4．绝对值 在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫做这个数的绝对值．即一个正数的绝对值等于

8、它本身；0的绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数． 即|a|＝ （二） 实数的分类 1．按实数的定义分类 实数 2．按正负分类 实数 温馨提示： 正确理解实数的分类，特别注意是无理数，不是分数；是分数，不是无理数。 （三） 科学记数法、近似数、有效数字 1．科学记数法 把一个数N表示成a×10n(1≤|a|＜10，n是整数)的形式叫科学记数法．当|N|≥1时，n等于原数N的整数位数减1；当|N|＜1且N≠0时，n是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零)． 2．近似数与有效数字 一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确

9、到哪一位，这时从左边第一个不为0的数字起，到末位数字为止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字． 三、【中考典例精析】 类型一 实数的有关概念 (1)－5的倒数是(　　) A．5 B. C．－5 D．－ (2)－5的相反数是(　　) A．5 B．－5 C. D．－ (3)的绝对值是(　　) A．－4 B．－ C. D．4 (4)下列实数中，是无理数的为(　　) A．3.14 B. C.

10、 D. 【点拨】解决此类题的关键是准确掌握实数的有关概念． 【答案】(1)D　(2)A　(3)C　(4)C 类型二 科学记数法、近似数与有效数字 (1)2010年6月5日上海世博园入园参观人数约为470 000人，将这个数用科学记数法表示为4.7×10n，那么n的值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 (2)据统计，2010年一季度，浙江城镇居民人均可支配收入6 631.67元，那么这个数的有效数字的个数是(　　) A．2 B．4 C．5 D．

11、6 (3)横跨深圳及香港之间的深圳湾大桥(Shenzhen Bay Bridge)是中国唯一倾斜的独塔单索面桥，大桥全长4 770米，这个数字用科学记数法表示为(保留两个有效数字)(　　) A．47×102 B．4.7×103 C．4.8×103 D．5.0×103 (4)2008北京奥运会火炬传递的路程约为13.7万公里．近似数13.7万是精确到(　　) A．十分位 B．十万位 C．万位 D．千位 【点拨】用科学记数法表示的数必须满足a×10n(1≤|a|＜10，n为整数)的形式；求近似数时注

12、意看清题目要求和单位的换算；查有效数字时，要从左边第1个非零数查起，到精确到的数为止． 【答案】(1)C　(2)D　(3)C　(4)D 四、【易错题探究】 1．把61万用科学记数法可表示为(　　) A．6.1×104 B．6.1×105 C．6.0×105 D．61×104 【解析】61万＝61×104＝6.1×105，故选B. 【易错警示】科学记数法a×10n中，要注意a的取值范围；审题时不仔细，容易漏掉61后面的单位． 2．由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是(　　) A．精确到十分位，有2个有效数字

13、 B．精确到个位，有2个有效数字 C．精确到百位，有2个有效数字 D．精确到千位，有4个有效数字 【解析】理解近似数的概念是关键，8.8×103＝8 800,8.8×103中，第二个8在百位，所以精确到百位，8.8中有两个有效数字，故选C. 【易错警示】用科学记数法a×10n(1≤|a|<10，n为整数)表示的数，精确度看a中最后一位在原数中的位置；有效数字只看a中所有数字的个数． 五、【课堂基础检测】 1．下列各数中，相反数等于5的数是(　　) A．－5 B．5 C．－ D. 答案：A 2．－6的绝对值是(　　)

14、 A．6 B．－6 C．＋ D．－ 答案：A 3．在实数5、、π、 中，无理数是(　　) A．5 B. C．π D. 答案：C 4．如果＋10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作(　　) A．－18% B．－8% C．＋2% D．＋8% 答案：B 5．2010年一季度，全国城镇新增就业人数为289万人，用科学记数法表示289万正确的是(　　) A．2.89×107 B．2.89×106

15、 C．2.89×105 D．2.89×104 答案：B 6．若|m－3|＋(n＋2)2＝0，则m＋2n的值为(　　) A．－4 B．－1 C．0 D．4 答案：B 7．作为历史上第一个正式提出“低碳世博”理念的世博会，上海世博会从一开始就确定以“低碳、和谐、可持续发展的城市”为主题．如今在世博场馆和周边共运行着一千多辆新能源汽车，为目前世界上规模最大的新能源汽车示范运行，预计将减少温室气体排放约28 400吨．将28 400吨用科学记数法表示为(　　) A．0.284×105吨 B．2.8

16、4×104吨 C．28.4×103吨 D．284×102吨 答案：B 六、【课后达标练习】 一、选择题 1．－的相反数是(　　) A. B．－ C．2 D．－2 解析：因－(－)＝，故选A. 答案：A 2．－的倒数是(　　) A．－3 B．－ C. D．3 解析：因＝－3，故选A. 答案：A 3．|－|的值是(　　) A．3 B．－3 C. D．－ 解析：因|－|＝，故选C.

17、 答案：C 4．在－1、0、1、2这四个数中，既不是正数也不是负数的是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：由0既不是正数也不是负数知，选B. 答案：B 5．数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为(　　) A．6或－6 B．6 C．－6 D．3或－3 解析：由绝对值的意义知，|±6|＝6，故选A. 答案：A 6．某市2009年实现生产总值(GDP)1 545.35亿元，用科学记数法表示应是(结果保留3个有效数字)(　　) A．1.54×108元

18、 B．1.545×1011元 C．1.55×1010元 D．1.55×1011元 解析：因1 545.35亿元＝1 545.35×108元＝1.545 35×1011元≈1.55×1011元，故选D. 答案：D 7．汽车向东行驶5千米记作5千米，那么汽车向西行驶5千米记做(　　) A．5千米 B．－5千米 C．10千米 D．0千米 解析：因向东5千米记做5千米，所以向西5千米记做－5千米，故选B. 答案：B 8．如果a＋b＝0，那么a、b两个实数一定是(　　) A．都等于0 B．一正一负 C．互为相反数

19、 D．互为倒数 解析：因为互为相反数的两个数的和为0，故选C. 答案：C 9．甲型H1N1流感病毒的直径大约是0.000 000 081米，用科学记数法可表示为(　　) A．8.1×10－9米 B．8.1×10－8米 C．81×10－9米 D．0.81×10－7米 解析：因为0.000 000 081＝8.1×10－8，故选B. 答案：B 10．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10……这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16……这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两

20、个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是(　　) A．13＝3＋10 B．25＝9＋16 C．36＝15＋21 D．49＝18＋31 解析：由前三个图的规律类推可得36＝15＋21，故选C. 答案：C 二、填空题 11．在数轴上表示－ 的点到原点的距离为________． 解析：因为|－|＝. 答案： 12．上海世博会预计约有69 000 000人次参观，69 000 000用科学记数法表示为 ________. 解析：因为69 000 000＝6.9×107. 答案：6.9×107 13．有一组数列：2，－3,

21、2，－3,2，－3,2，－3，…，根据这个规律，那么第2 011个数是________． 解析：因2和－3循环，第奇数个为2，所以第2 011个数为2. 答案：2 14．地球与太阳之间的距离约为149 600 000千米，用科学记数法表示(保留2个有效数字)约为________千米． 解析：答案：1.5×108 因为149 600 000＝1.496×108≈1.5×108. 15．将自然数按以下规律排列，则2 008所在的位置是第________行第________列． 第一列　第二列　第三列　第四列　　… 第一行　　1　　　 2　　　 9　　　 10　　　　　… 第二行

22、　　4　　　 3　　　 8　　　 11　　　　　… 第三行　　5　　　 6　　　 7　　　 12　　　　　… 第四行　 16　　　15　　　14　　　13　　　　　… 第五行　　17　　　… 　… 解析：由产生前四行的规律类推可得第2 008所在位置为第18行第45列． 答案：18　45 三、解答题 16．如图，点A、B在数轴上，它们所对应的数分别是－3和，且点A、B到原点的距离相等，求x的值． 答案：解：∵点A、B到原点的距离相等，∴－3＋＝0， 解得x＝，经检验x＝是原方程的解． 即：x的值为. 第2讲　实数的运算及大小比较 一、【三年中考】 1．

23、(2010·温州)给出四个数0，，－，0.3，其中最小的是(　　) A．0 B. C．－ D．0.3 解析：因为正数>0>负数，所以－最小，故选C. 答案：C 2．(2010·金华)如图，若A是实数a在数轴上所对应的点，则关于a，－a,1的大小关系表示正确的是(　　) A．a<1<－a B．a<－a<1 C．1<－a

24、 B．三层楼的高度 C．姚明的身高 D．一张纸的厚度 解析：因28 cm＝256 cm，所以选C. 答案：C 4．(2009·丽水)在下面四个数中，比0小的数是(　　) A．0.5 B．－2 C．1 D．3 解析：因为负数<0，故选B. 答案：B 5．(2009·嘉兴)实数x，y在数轴上的位置如图所示，则(　　) A．x>y>0 B．y>x>0 C．xx>0.故选B.

25、答案：B 6．(2008·绍兴)下列计算结果等于1的是(　　) A．(－2)＋(－2) B．(－2)－(－2) C．－2×(－2 ) D．(－2)÷(－2) 解析：A中(－2)＋(－2)＝－4，B中(－2)－(－2)＝0，C中－2×(－2)＝4.D中(－2)÷(－2)＝1，故选D. 答案：D 7．(2010·嘉兴)比较大小：2________π.(填“>”，“<”或“＝”) 解析：因为2≈2.828，π≈3.141 59，所以2<π. 答案：< 8．(2009·衢州)计算：(－1)0＝________. 解析：因为a0(a≠0)＝

26、1，所以(－1)0＝1. 答案：1 9．(2009·绍兴)计算：(－)－1－＋(1－)0＋4sin60°. 解：原式＝－2－2＋1＋4×＝－2－2＋1＋2＝－1. 二、【考点知识梳理】 （一） 实数的运算 1．实数的运算种类有：加法、减法、乘法、除法、乘方、开方六种，其中减法转化为加法运算，除法、乘方都转化为乘法运算． 2．在实数范围内运算顺序是：先算乘方(或开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．同一级运算，从左到右依次进行． （二） 零指数、负整数指数幂 若a≠0，则a0＝1；若a≠0，n为正整数，则a－n＝. (三)实数的大小比较 1．在数轴上表

27、示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，两个负数比较，绝对值大的反而小. 2．设a、b是任意两个数，若a－b＞0，则a > b；若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，则a < b. 3．实数大小比较的特殊方法①平方法：由3＞2，则 > ；②商比较法：已知a＞0、b＞0，若＞1，则a > b；若＝1，则a＝b；若＜1，则a < b.③近似估算法；④中间值法． 4．n个非负数的和为0，则这n个非负数同时为0. 例如：若|a|＋b2＋＝0，则a＝b＝c＝0. 温馨提示： 1. 注意零指数、负整指数的意义，遇到绝对值一般要先去掉绝对值符号再进行计算，关键是把好符号关。 2.

28、 三个重要的非负数 3.当两个无理数比较大小时，可用计算器求出其近视值，再比较。 三、【中考典例精析】 类型一 实数的大小比较 (1)在－3，－，－1,0这四个实数中，最大的是(　　) A．－3 B．－ C．－1 D．0 (2)下面四个数中比－2小的数是(　　) A．1 B．0 C．－1 D．－3 (3)若0

29、 D．x2

30、C．3－1＝－3 D.＝±3 (2)计算：3－2＝________. (3)计算：(＋π)0＋2－1＝________. (4)计算：2－1＋·tan30°－(π－2 010)0 【点拨】本题主要考查a0＝1(a≠0)，a－n＝(a≠0，n为正整数)． 【答案】(1)B　(2)　(3) (4)原式＝＋×－1＝ 类型三 实数的运算 (1)某年哈尔滨市一月份的平均气温为－18 ℃，三月份的平均气温为2 ℃，则三月份的平均气温比一月份的平均气温高(　　) A．16 ℃ B．20 ℃ C．－16 ℃ D．－20

31、℃ (2)下列运算结果等于1的是(　　) A．(－3)＋(－3) B．(－3)－(－3) C．－3×(－3 ) D．(－3)÷(－3) (3)计算：(－3)2－|－|＋2－1－. (4)计算：(π－3.14)0＋＋(－)－1－|1－|. 【点拨】实数的运算一定要把握好运算种类和运算顺序． 【答案】(1)B　(2)D (3)解：原式＝9－＋－3＝6. (4)解：原式＝1＋3＋(－2)－(－1)＝1＋3－2－＋1＝2. 方法总结： 实数运算的一般步骤：（1）观察运算的总类；（2）确定运算的顺序；（3）把握每步运算法则和符号；（4）灵活运用

32、运算律 四、【易错题探究】 1．在1，－2，－，0，π这五个数中最小的数是________． 【解析】明确实数大小比较的方法―→数形(画数轴)结合法．正数>0>负数，数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大．所以最小的数是－2. 【易错警示】比较－2与－的大小．注意：两个负数比较大小时，绝对值大的反而小． 2．计算：|－2|＋2sin30°－(－)2＋(tan45°)－1. 【解析】原式＝2＋2×－3＋1－1＝2＋1－3＋1＝1. 【易错警示】(－)2＝3，(tan45°)－1＝1－1＝1. 五、【课堂基础检测】 1．计算：(－1)2＋(－1)3＝________

33、.(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 答案：C 2．如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是(　　) A．ab>0 B．a－b>0 C．a＋b>0 D．|a|－|b|>0 答案：D 3．计算－2－6的结果是(　　) A．－8 B．8 C．－4 D．4 答案：A 4．将一刻度尺如图所示放在数轴上(数轴的单位长度是1 cm)，刻度尺上的“0 cm”和“15 cm”分别对应数轴上的－3.6和x，则(　　

34、) A．9

35、：因为正数>0>负数，所以3最大，故选D. 答案：D 2．计算3×(－2)的结果是(　　) A．5 B．－5 C．6 D．－6 解析：因为3×(－2)＝－6，故选D. 答案：D 3．下列计算正确的是(　　) A．(－1)－1＝0 B．(－3)2＝－6 C．π 0＝1 D．(－2)6÷(－2)3＝(－2)2 解析：A项(－1)－1＝1，A错误；B项(－3)2＝9，B错误；D项应为－8，D错误，故选C. 答案：C 4．2＋(－2)的值是(　　) A．－4 B．－

36、 C．0 D．4 解析：因为2＋(－2)＝0，故选C. 答案：C 5．－2的3倍是(　　) A．－6 B．1 C．6 D．－5 解析：因为－2×3＝－6，故选A. 答案：A 6．下列命题中，正确的是(　　) A．若a·b>0，则a>0，b>0 B．若a·b<0，则a<0，b<0 C．若a·b＝0，则a＝0，且b＝0 D．若a·b＝0，则a＝0，或b＝0 解析：因为几个数的积为0，这几个数都有可能为0，故选D. 答案：D 7．比较2、、的大小，正确的是(　　) A．2<< B．2<< C.<

37、 2< D.<<2 解析：因≈2.236，≈1.913，所以<2<.故选C. 答案：C 8．下列计算中，正确的个数是(　　) ①0－(－5)＝－5； ②(－4)＋(－8)＝－12； ③×(－)＝－； ④(－36)÷(－9)＝－4. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：因②、③正确，故选B. 答案：B 9．如果a的倒数是－1，那么a2 011等于(　　) A．1 B．－1 C．2 011 D．－2 011 解析：由a的倒是－1，得a＝－1，所以(－1)2 011

38、＝－1.故选B. 答案：B 二、填空题 10．计算：－3＋2＝________；(－3)×2＝________. 解析：－3＋2＝－1，－3×2＝－6. 答案：－1　－6 11．比较大小：________3.(填写“<”或“>”) 解析：≈2.646<3. 答案：< 12．|－2|＝________，－(－2)＝________，(a3)4＝________. 解析：|－2|＝2，－(－2)＝2，(a3)4＝a12. 答案：2　－2　a12 13．计算(＋π)0＋2－1＝________. 解析：(＋π)0＋2－1＝1＋＝. 答案： 14．若将三个数－、、表示在数

39、轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是________． 解析：因为2<≈2.646<3. 答案： 三、计算题 15．计算：(－3)2－|－1|＋()－1. 解：原式＝9－1＋2＝10. 16．计算：|－2|－(2－)0＋(－)－2. 解：原式＝ 2－1＋＝2－1＋4＝5. 17．计算：|－4|－(－3)2÷－2 0100. 解：原式＝4－9×3－1＝4－27－1＝－24. 18．计算：(－)－1－|－3|－2 0100＋()2. 解：原式＝－4－3－1＋2＝－8＋2＝－6. 19．计算：(＋1)0＋(－)－1－|－2|－2sin45°. 解：原式＝1－3－(2－)－2×＝－2－2＋－＝－4. 20．计算：()－1－(－2)0＋－(－2)2·. 解：原式＝3－1＋3－4＝2－. 精锐教育网站：www.1smart.org - 16 - 精锐教育· 考试研究院