(经典)讲义：等比数列及其前n项和

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1、 〔经典〕讲义：等比数列与其前n项和 1．等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示． 2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，那么它的通项an＝a1·qn－1. 3．等比中项 假设G2＝a·b(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项． 4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N＋)． (

2、2)假设{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，那么ak·al＝am·an. (3)假设{an}，{bn}(项数一样)是等比数列，那么{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． (4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，那么Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn. 5．等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn， 当q＝1时，Sn＝na1； 当q≠1时，Sn＝＝. 【注意】 6.利用错位相减法推导等比数列的前n项和： Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，

3、 同乘q得：qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn， 两式相减得(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝(q≠1)． 7.1由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. 7.2在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误． 8.等比数列的判断方法有： (1)定义法：假设＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，那么{an}是等比数列． (2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，那么数列{an}是等比数列． (3)通项

4、公式法：假设数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，那么{an}是等比数列． 一、知识梳理 1.等比数列前项和公式 (1) 探索导引: 求和 说明：对于等比数列的前项和公式: 从方程观点看:由等比数列的前项和公式与通项公式可知,假设中的三个即可建立方程组求其余两个,即“知三求二〞.在运用等比数列的前项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1. 2.与前项和有关的等比数列的性质 (1)假设等比数列中,公比为,依次项和成公比为的等比数列. (2)假设等比数列的公比为,且项数为,那么. 探索导引: 等比数列中，，，求，并考虑等式是否成

5、立？ 说明：利用性质(1)可以快速的求出某些和.但在运用此性质时,要注意是成等比数列,而不是成等比数列. 二、方法 〔一〕等差数列前项和公式的应用 理解例题1:在等比数列中， 〔1〕求； 〔2〕求； 〔3〕求和； 〔4〕求； 分析:在等比数列中有五个重要量只要任意三个，就可以求出其他两个.其中和两个最重要的量,通常要先求出和. 解:(1). . (2)， (3)，， (4) 〔2〕÷〔1〕得 或 当时，，当时， 知识体验:等比数列的五个量中的任意三个求其他两个时,要用等比数列的通项公式以其与前项和公式. 〔二〕与等差数列

6、前项和有关的性质的应用 理解例题2:等比数列中,求. 分析:在有关等比数列的问题中, 均可化成有关、的关系列方程求解.此题中注意下标的关系,可考虑用等差数列前项和的有关性质来简化运算. 解法一: 由，可知〔假设〕 解得， 解法二: 成等比数列 知识体验:在学习了等比数列前项和的有关性质后，我们用其来求解有关 等差数列的前项和问题. 方法提炼:求解该类问题一般有两种方法: ①可化成有关、的关系列方程组求解. ②可利用等比数列中连续等段和成等比的性质即性质(1)求解. 三、 例题 （一） 题型分类全析 1．等比数列前项和公式的根本运算 例

7、1：在等比数列的中:求公比, 与. 思路直现:由两个条件，可建立关于的方程组，分别解出的值，代入即可求出. 解:由可得 总结：在求数列的根本量问题时,把条件转化成根本量解方程是解决数列问题的根本方法. 例2 数列是等比数列,其前项和,假设,求该数列的公比. 思路直现:由两个条件，可建立关于的方程组，分别解出的值，代入即可求出. 解: 假设,那么, ,,此时 , 即, 即 故. 笔记：在使用等比数列的前项和公式时,一定要注意公式的条件.假设题目中不明确,应对进展讨论. 此题有关等比数列前项和的根本运算的考察. 转化为关于的方程组求解.

8、 此题考察了等比数列前项和公式的运用和分类讨论的思想. 因不知的值,故对进展讨论. 2．利用等差数列的性质求和 例3：等比数列中，，求? 思路直现:注意到,下标的关系,可考虑利用等比数列的性质解决. 解:是等比数列， 成等比 ，故 故或 注意到， 同号, 笔记：遇到类似下标成倍数关系的前项和问题,一般可考虑用等比数列中依次项和成等比数列来解决,可简化计算量.在,利用这一性质求时,要考虑是否会出现增根的问题. 例4 一个项数为偶数,首项为1的等比数列,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比与项数. 思路:此题涉与到项数为

9、偶数的等比数列,且奇数项和与偶数项和都,由此利用等比数列的性质即可求出公比,进而求其通项. 解：该数列是一项数为偶数的等比数列 ，又 故 阅题笔记：利用等比数列奇、偶项数和的性质简单明了，运算量较低. 此题考察了等比数列连续等段和成等比的性质. 利用等比数列分段和成等比. 考虑是否两解都满足条件. 建议：求 时，尽量列方程求解，假设用性质应考虑是否会出现增根. 此题考察了等比数列的性质. 注意这个性质是在项数为偶数这一前提下成立的. 建议：巧用特例，熟记等差等比数列奇偶项的一些性质. 3．某些特殊数列的求和 例5:(1)数列的通项公式，求该数列的前项和；

10、(2)数列的通项公式，求该数列的前项和. 解:(1) (2) = 笔记:分组求和法适用于某些特殊数列的求和,这些特殊数列的通项是可写成几个等比数列或等差数列的和的形式. 例6：数列的通项公式，求该数列的前项和； 思路:写出数列的前项和注意其与等比数列形式类似，考虑用推导等比数列求和的方法来求其前项和. 解： 笔记:错位相减法适用与求一个等差数列与一个等比数列的积组成的新数列的前项和. 考察数列的分组求和问题. 等差等比数列各自分组求和. 不同公比的等比数列按公比

11、各自分组求和 建议：熟记几种常见的数列求和类型与其对应方法. 考察数列的错位相减法求和的问题。 建议：错位相减法是高考的一个常考点，平时训练给予重视. 〔二〕重点突破 例7:〔2007〕在数列中，，，． 〔Ⅰ〕证明数列是等比数列； 〔Ⅱ〕求数列的前项和； 〔Ⅲ〕证明不等式，对任意皆成立． 思路直现: (1)由递推关系式构造出数列,并证明其是等比数列. (2)利用分组求和法求出的前项和. (3)考虑用作差法证明. (Ⅰ)证明：由题设，得 ，． 所以数列是首项为，且公比为的等比数列． (Ⅱ)解：由〔Ⅰ〕可

12、知， ． (Ⅲ)证明：对任意的， ． 所以不等式，对任意皆成立． 笔记: 此题实际上第一步的证明起到一个提示的作用,即应从递推关系出发构造出的形式,并证明其为等比数列. 例8: 〔2007〕数列，满足，，且, 〔I〕令，求数列的通项公式； 〔II〕求数列的通项公式与前项和公式． 思路:(1)由于要构造,故把两式相加,即可得出规律. (2)由〔I〕提示,可考虑两式相减. 〔Ｉ〕解：由题设可得， 即〔〕 易知是首项为，公差为２的等差数列 ． 〔II〕解：由题设得，令，那么 ． 易知是首项为，公比为的等比数列 ． 由解得

13、 阅题: 这是一道创新题,题目较为新颖,遇见题目不要慌乱,其实(1)问已经提示解答此题的方法,应整体考虑. 本小题考察等比数列的概念、等比数列的通项公式与前项和公式、不等式的证明 利用递推关系式证明数列成等比. 利用分组求和法求和 利用作差比拟法证明不等式. 建议：学会解题的技巧，有时候题目的提示往往在问题当中. 本小题主要考察等差数列、等比数列等根底知识，考察根本运算能力 两式相加构造 两式相减构造 列方程组求 分组求和求 建议：在学习中重视整体思想的训练. 四、习题

14、 一、选择题 1.〔2008)设是公比为正数的等比数列，假设,那么数列前7项的和为 A.63 B.64 C.127 D.128 2.〔2008〕是等比数列，，那么= A.B. C.D. 3.〔2008〕设等比数列的公比，前项和为，那么 A. 2 B. 4 C. D. 4．(2007) 各项均为正数的等比数列的前n项和为，假设 那么等于 A.80　　　　B.30 C. 26 D.16 5．〔2006〕 在等比数列中,,前项和为,假设数列也是等比数列,那么等于 A.B.C. D. 6.数列的

15、前项和为〔 〕 A. B. C. D. 7. A. B. C. D. 二、填空题 8.等比数列共项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，那么公比 9．(2007全国Ⅰ) 等比数列的前项和为，，，成等差数列， 那么的公比为． 10.假设等比数列的前项和为满足,那么此数列的公比为 三、解答题 11.〔2007全国Ⅱ〕设等比数列的公比，前项和为．，求的通项公式． 12.(2008全国Ⅰ)．在数列中，，． 〔Ⅰ〕设．证明：数列是等差数列； 〔Ⅱ〕求数列的前项和． 13.数列满足：且 〔1〕令，求的通项公式； 〔2〕求数列的通项公式； 〔3〕求数列的前

16、项和 习题答案 1. C.分析：由与是公比为正数得公比，所以 2. C. 分析：为等比数列，， 设，是首项为8，公比为的等比数列. ， 3. C 分析: 4.B分析:为等比数列，成等比 即或 各项均为正数，故，故， 成等比，所以， 5.D 分析:解：依题意，为首项为2，公比为的前项和，根据等比数列的求和公式可得D 6.C 分析：因数列为等比，那么，因数列也是等比数列，那么，即，所以，应选择答案C。 7.A 分析： 8.B分析:设

17、， 那么 两式相减得 9. 分析:由题意可知因为等比数列共项， 10. 分析：假设塔每层有盏，塔尖有盏，由题意知道数列为公比为2的等比数列， ， 11.分析：，即 解得的公比 12. 分析数列为等比数列，故 成公比为的等比数列，故有 , 13.①④分析:①,,确定,等比数列唯一确定. ②由,得即 不能唯一确定,从而该数列不能唯一确定. ③,为奇数时,为偶数,不唯一,而该数列不能唯一确定. ④唯一确定,等比数列唯一确定 故①④满足题意. 14.分析：由条件列出关于的方程组求解进而得出结论. 解：由题设知， 那么② 由②得，，， 因为，解得或．

18、 当时，代入①得，通项公式； 当时，代入①得，通项公式． 点拨:等比数列求根本量的题目都可转化为关于的方程组解题.当然,应在解题过程中注意有关性质的应用,可简化计算量. 15.分析:利用递归关系式构造等差数列,进而求出数列的通项公式,利用错位相减法求其前项和. 解：〔1〕， ， ， 那么为等差数列，， ，． 〔2〕 两式相减，得 点拨:在求解题目的过程中,不应把思路集中在题目的条件上,有时考虑一下题目的问题上,往往会有“暮然回首，那人却在灯火阑珊处〞的感觉.例如此题充分考虑如何构造. 16分析:(1)构造题目要求的,即可得到结果. (2)利用〔1〕的条件，即可求得的递推关系式,利用递推关系求进而求 (3)利用分组求和法,求 解：〔1〕由题意可得，，即 即，所以为首项为公比为的等比数列 〔2〕由〔1〕可知，故 ，故 故 即为首项为公比为的等比数列， 故即 故 〔3〕 点拨:此题较为新颖,所给方程组的未知元过多,因此,如何消元是此题的关键,应注意到题目系数的关系以与问题(1)的中的提示,构建出数列. 11 / 11