数学分析课后习题答案(华东师范大学版)

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1、P.182 习题 1．验证下列等式 （1） （2） 证明 （1）因为是的一个原函数，所以. （2）因为, 所以. 2．求一曲线, 使得在曲线上每一点处的切线斜率为, 且通过点. 解 由导数的几何意义, 知, 所以. 于是知曲线为, 再由条件“曲线通过点”知，当时，, 所以有 , 解得, 从而所求曲线为 3．验证是在上的一个原函数. 证明 当时, , ; 当时, , ; 当时, 的导数为, 所以 4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数？ 解 由P.122推论3的证明过程可知：在区间I上的导函数，它在I上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间

2、断点，也就是说导函数不可能出现第一类间断点。因此每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数。 5．求下列不定积分 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽ ⑾ ⑿ ⒀ ⒁ ⒂ ⒃ P.188 习题 1．应用换元积分法求下列不定积分： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽ ⑾ 解法一： 解法二： ⑿解法一：利用上一题的结果，有 解法二： 解法三： ⒀ 解法一： 解法二： 解法三： 解法四： ⒁ ⒂ ⒃ ⒄ ⒅ ⒆

3、⒇ (21) (22) 解法一： 解法二： 解法三： (23) (24) (25) (26) 解 令, 则 (27) 解法2 令, 则 (28) 解 令, 则 (29) 解 令, 则, 其中 (30) 解 令, 则, , 2．应用分部积分法求下列不定积分： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ 所以 ⑽ 所以 类似地可得 3．求下列不定积分： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 4．证明： ⑴ 若，，

4、则 证 . 因为， 所以. 从而. ⑵ 若，则当时， ， 证 所以， 同理可得 P.199 习题 1．求下列不定积分： ⑴ ⑵ 解法一： 解法二： ⑶ 解 去分母得 令，得. 再令，得，于是. 比较上式两端二次幂的系数得 ，从而，因此 ⑷ 解 ⑸ 解 令, 解得 , , , 于是 ⑹ 其中 参见教材P.186 例9或P.193关于的递推公式⑺. 于是，有 2．求下列不定积分 ⑴ 解 令，则 ⑵ ⑶

5、 另解：设，， 则， 所以 ⑷ 其中（利用教材P.185例7的结果） 所以有 ⑸ ⑹ 解 令 ，则，，代入原式得 总 练 习 题 求下列不定积分： ⑴ ⑵ 其中 所以 ⑶ 解 令，则 ⑷ ⑸ ⑹ 解法二：令， ⑺ ⑻ ⑼ ⑽ ⑾ 解 令 去分母得： 解得：，， 所以 ⑿ 解 令， ⒀ 另解： ⒁ 解 令 ⒂ ⒃ ⒄ ⒅ ⒆ ⒇ ，， 解 所以 169