2017-2018版高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入章末复习课学案 新人教B版选修1-2

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1、 第三章 数系的扩充与复数的引入章末复习课 题型一　分类讨论思想的应用 例1　实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)满足下列条件？ (1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数. 解　(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i. (1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，该复数为实数. (2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，该复数为虚数. (3)当即k＝4时，该复数为纯虚数. 反思与感悟　当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论.分别确定什么情况下是实数

2、、虚数、纯虚数.当x＋yi没有说明x，y∈R时，也要分情况讨论. 跟踪训练1　(1)若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则(　　) A.a＝－1 B.a≠－1且a≠2 C.a≠－1 D.a≠2 答案　C 解析　若一个复数不是纯虚数，则该复数是一个虚数或是一个实数.当a2－a－2≠0时，已知的复数一定不是纯虚数，解得a≠－1且a≠2；当a2－a－2＝0且|a－1|－1＝0时，已知的复数也不是一个纯虚数，解得a＝2.综上所述，当a≠－1时，已知的复数不是一个纯虚数. (2)实数x取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i是：①实数

3、；②虚数；③纯虚数；④零. 解　①当x2－2x－15＝0，即x＝－3或x＝5时，复数z为实数； ②当x2－2x－15≠0，即x≠－3且x≠5时，复数z为虚数； ③当x2＋x－6＝0且x2－2x－15≠0，即x＝2时，复数z是纯虚数； ④当x2＋x－6＝0且x2－2x－15＝0，即x＝－3时，复数z为零. 题型二　数形结合思想的应用 例2　已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z. 解　设z＝x＋yi，x，y∈R，如图. ∵OA∥BC，|OC|＝|BA|， ∴kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，

4、 即 解得或. ∵|OA|≠|BC|，∴x2＝－3，y2＝4(舍去)， 故z＝－5. 反思与感悟　数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法.本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现.它们得以相互转化.涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等. 跟踪训练2　已知复数z1＝i(1－i)3. (1)求|z1|； (2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值. 解　(1)|z1|＝|i(1－i)3|＝|i|·|1－i|3＝2. (2)如图所示，由|z|＝1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆

5、心为O(0,0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，－2).所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值.由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆半径)＝2＋1. 题型三　转化与化归思想的应用 例3　已知z是复数，z＋2i，均为实数，且(z＋ai)2的对应点在第一象限，求实数a的取值范围. 解　设z＝x＋yi(x，y∈R)， 则z＋2i＝x＋(y＋2)i为实数，∴y＝－2. 又＝＝(x－2i)(2＋i) ＝(2x＋2)＋(x－4)i为实数， ∴x＝4.∴z＝4－2i， 又∵(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋

6、8(a－2)i在第一象限. ∴，解得2

7、法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，只要注意i2＝－1. 在运算的过程中常用来降幂的公式有 (1)i的乘方：i4k＝1，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i(k∈Z)； (2)(1±i)2＝±2i； (3)设ω＝－±i，则ω3＝1，ω2＝，1＋ω＋ω2＝0，＝ω2，ω3n＝1，ω3n＋1＝ω(n∈N＋)等； (4)(±i)3＝－1； (5)作复数除法运算时，有如下技巧： ＝＝＝i，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化. 例4　计算： (1)(1－i)(－＋i)(1＋i)； (2)＋()2 006. 解　(1)方法一　(1－i)(－＋i)(1＋i)

8、 ＝(－＋i＋i－i2)(1＋i) ＝(＋i)(1＋i) ＝＋i＋i＋i2 ＝－1＋i. 方法二　原式＝(1－i)(1＋i)(－＋i) ＝(1－i2)(－＋i)＝2(－＋i)＝－1＋i. (2)＋()2 006＝＋ ＝－＝i－＝i－i＝0. 反思与感悟　复数的运算可以看作多项式的化简，加减看作多项式加减，合并同类项，乘法和除法可看作多项式的乘法. 跟踪训练4　计算：＋－. 解　＋－ ＝＋－ ＝＋－ ＝2－(i＋3)－i＝－1－2i. [呈重点、现规律] 高考对本章考查的重点 1.对复数的概念的考查是考查复数的基础，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念. 2.对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数.最后整理成a＋bi(a，b∈R)的结构形式. 3.对复数几何意义的考查.在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义. 5