2020版高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第8节 函数与方程教学案 理（含解析）新人教A版

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1、第八节　函数与方程 [考纲传真]　结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数． 1．函数的零点 (1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0. 2．二

2、次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 2 1 0 [常用结论] 1．f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，且f(x)的图象连续不断，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在区间[a，b]上只有一个零点． [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√

3、”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　) (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.(　　) (3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改编)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是(　　) A．(0,1)　　 B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) C　[由题

4、意得f(1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0，f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0， f(3)＝ln 3＋6－6＝ln 3＞0， f(4)＝ln 4＋8－6＝ln 4＋2＞0， ∴f(x)的零点所在的区间为(2,3)．] 3．(教材改编)已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6 则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 B　[∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4

5、)＜0，f(4)·f(5)＜0， 故函数f(x)在区间[1,6]内至少有3个零点．] 4．函数f(x)＝x－x的零点有________个． 1　[如图所示，函数f(x)＝x－x的零点有1个．] 5．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________． 　[∵函数f(x)的图象为直线， 由题意可得f(－1)·f(1)＜0， ∴(－3a＋1)·(1－a)＜0，解得＜a＜1， ∴实数a的取值范围是.] 判断函数零点所在的区间 1．函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间为(　　) A．(0,1)　　 B．(1,2)

6、C．(2,3) D．(3,4) B　[由题意知函数f(x)是增函数，因为f(1)＜0，f(2)＝ln 2－＝ln 2－ln ＞0，所以函数f(x)的零点所在的区间是(1,2)．故选B.] 2．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 A　[∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0， 由

7、函数零点存在性判定定理可知：在区间(a，b)(b，c)内分别存在一个零点； 又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点， 因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.] 3．已知函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点在(k∈Z)内，那么k＝________. 5　[∵f′(x)＝＋2＞0，x∈(0，＋∞)，∴f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，且f＝ln －1＜0，f(3)＝ln 3＞0，∴f(x)的零点在内，则整数k＝5.] [规律方法]　判断函数零点所在区间的方法 (1)解方程，当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上来判断.

8、(2)利用零点存在性定理进行判断. (3)数形结合画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间内是否有交点来判断. 判断函数零点的个数 【例1】　(1)函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (1)D　(2)C　[依题意，在考虑x＞0时可以画出函数y＝ln x与y＝x2－2x的图象(如图)，可知两个函数的图象有两个交点，当x≤0时，函数f(x)＝2x＋1与x轴只有一个交点，综上，函数

9、f(x)有3个零点．故选D. (2)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，即x＝0是函数f(x)的1个零点． 当x＞0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f(x)有1个零点． 根据对称性知，当x＜0时，函数f(x)也有1个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3.] [规律方法]　函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，再结合函数的图象与

10、性质确定函数零点个数； (3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数. (1)函数f(x)＝2x|log0.5 x|－1的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)已知函数f(x)＝若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为________． (1)B　(2)3　[(1)令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0， 可得|log0.5x|＝x. 设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝x. 在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x

11、)有2个零点．故选B. (2)依题意得 由此解得 由g(x)＝0得f(x)＋x＝0， 该方程等价于① 或② 解①得x＝2，解②得x＝－1或x＝－2.因此，函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为3.] 函数零点的应用 【例2】　(1)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则(　　) A．g(a)＜0＜f(b) B．f(b)＜0＜g(a) C．0＜g(a)＜f(b) D．f(b)＜g(a)＜0 (2)已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取

12、值范围是________． (1)A　(2)(3，＋∞)　[(1)∵f(x)＝ex＋x－2， ∴f′(x)＝ex＋1＞0， 则f(x)在R上为增函数， 又f(0)＝e0－2＜0，f(1)＝e－1＞0， 且f(a)＝0，∴0＜a＜1.∵g(x)＝ln x＋x2－3， ∴g′(x)＝＋2x. 当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0， ∴g(x)在(0，＋∞)上为增函数， 又g(1)＝ln 1－2＝－2＜0，g(2)＝ln 2＋1＞0，且g(b)＝0，∴1＜b＜2，∴a＜b， ∴故选A. (2)画出f(x)的草图如图所示，若存在实数b，使得f(x)＝b有3个不同的根， 则4m－

13、m2＜m，即m2－3m＞0， 又m＞0，解得m＞3.] [规律方法]　已知函数有零点求参数取值范围常用的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决. (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解. (1)已知函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝ln x＋x，h(x)＝ln x－1的零点依次为a，b，c，则(　　) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c (2)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在

14、区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　) A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2) (1)A　(2)C　[(1)在同一坐标系中，画出函数y＝ex，y＝ln x与y＝－x，y＝－1的图象如图所示． 由图可知a＜b＜c， 故选A. (2)∵函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)＜0， ∴(－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，∴0＜a＜3.] 1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则

15、a的取值范围是(　　) A．[－1,0)　　　 B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) C　[函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示， 由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.] 2．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　　) A．－ B. C. D．1 C　[法一：f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋

16、a[ex－1＋e－(x－1)]－1， 令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1. ∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)， ∴函数g(t)为偶函数． ∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点． 又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0， ∴2a－1＝0，解得a＝. 故选C. 法二：f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x. ex－1＋e－x＋1≥2＝2， 当且仅当x＝1时取“＝”． 又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”． 若a＞0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a， 要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝. 若a≤0，则f(x)的零点不唯一． 故选C.] - 7 -