2019年高考数学一轮复习 不等式选讲 第2节 不等式的证明学案 文 北师大版

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1、 第二节　不等式的证明 [考纲传真]　通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法． (对应学生用书第166页) [基础知识填充] 1．不等式证明的方法 (1)比较法： ①求差比较法： 知道a>b⇔a－b>0，ab，只要证明a－b＞0即可，这种方法称为求差比较法． ②求商比较法： 由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明＞1即可，这种方法称为求商比较法． (2)分析法： 从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止．这种证法称为分析法，即

2、“执果索因”的证明方法． (3)综合法： 从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出了所要证明的结论，即“由因寻果”的方法．这种证明不等式的方法称为综合法． (4)几何法：通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的解法称为几何法． (5)放缩法和反证法： 在证明不等式时，有时可以通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法． 反证法是常用的证明方法．它是通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论一定成立．其证明的步骤是：①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；

3、③否定假设，肯定结论． 2．几个常用基本不等式 (1)柯西不等式： ①柯西不等式的代数形式：对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当向量(a，d)与向量(c，d)共线时．等号成立)． ②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． ③一般形式的柯西不等式 设a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn是两组实数，则有(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当向量(a1，a2，…，an)与向量(b1，b2，…，bn)共

4、线时，等号成立． (2)算术—几何平均不等式 若a1，a2，…，an为正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立． [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．(　　) (2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．(　　) (3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．(　　) (4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．(　　

5、) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．(教材改编)若a＞b＞1，x＝a＋，y＝b＋，则x与y的大小关系是(　　) A．x＞y　　　 B．x＜y C．x≥y D．x≤y A　[x－y＝a＋－ ＝a－b＋＝. 由a＞b＞1得ab＞1，a－b＞0， 所以＞0，即x－y＞0，所以x＞y.] 3．(教材改编)已知a≥b＞0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为________． M≥N　[2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．

6、 因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0， 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2B．] 4．已知a＞0，b＞0且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是________. 【导学号：00090380】 4　[由题意得，a＋b＝1，a＞0，b＞0， ∴＋＝(a＋b)＝2＋＋ ≥2＋2＝4， 当且仅当a＝b＝时等号成立．] 5．已知x＞0，y＞0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy. [证明]　因为x＞0，y＞0， 所以1＋x＋y2≥3＞0,1＋x2＋y≥3＞0， 故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y

7、)≥3·3＝9xy. (对应学生用书第167页) 比较法证明不等式 　已知a＞0，b＞0，求证：＋≥＋. [证明]　法一：∵－(＋) ＝＋＝＋ ＝＝≥0， ∴＋≥＋. 10分 法二：由于＝ ＝ ＝－1 ≥－1＝1. 8分 又a＞0，b＞0，＞0， ∴＋≥＋. 10分 [规律方法]　1.在法一中，采用局部通分，优化了解题过程；在法二中，利用不等式的性质，把证明a＞b转化为证明＞1(b＞0)． 2．作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号． 提醒：在使用作商比较法时，要注意

8、说明分母的符号． [变式训练1]　(2018·长沙模拟)设a，b是非负实数， 求证：a2＋b2≥(a＋b)． [证明]　因为a2＋b2－(a＋b) ＝(a2－a)＋(b2－b) ＝a(－)＋b(－) ＝(－)(a－b) ＝. 6分 因为a≥0，b≥0，所以不论a≥b≥0，还是0≤a≤b，都有a－b与a－b 同号，所以(a－b)≥0， 所以a2＋b2≥(a＋b). 10分 综合法证明不等式 　(2018·长春模拟)设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明： (1)ab＋bc＋ac≤； (2)＋＋≥1. [证明]　(1)由a2＋b2≥

9、2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， 得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca， 由题设得(a＋b＋c)2＝1， 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1， 所以3(ab＋bc＋ca)≤1， 即ab＋bc＋ca≤. 5分 (2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 则＋＋≥a＋b＋c，所以＋＋≥1. 10分 [规律方法]　1.综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论)，它的常见书面表达式是“∵，∴”或“⇒”．

10、 2．综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键． [变式训练2]　(2017·石家庄调研)已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|. (1)求f(x)的最小值m； (2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝m，求证：＋＋≥3. 【导学号：00090381】 [解]　(1)当x＜－1时，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x＞3； 2分 当－1≤x＜2时，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3,6)； 当x≥2时，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x≥6.

11、 综上，f(x)的最小值m＝3. 5分 (2)证明：a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝3， 因为＋＋＋(a＋b＋c) ＝＋＋ ≥2＝2(a＋b＋c). 8分 (当且仅当a＝b＝c＝1时取“＝”) 所以＋＋≥a＋b＋c， 即＋＋≥3. 10分 分析法证明不等式 　(2015·全国卷Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明： (1)若ab>cd，则＋>＋； (2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件． [证明]　(1)∵a，b，c，d为正数，且a＋b＝c＋d， 欲证＋＞＋， 只需证明(＋)2＞(＋)2， 也就

12、是证明a＋b＋2＞c＋d＋2， 只需证明＞， 即证ab＞cD． 由于ab＞cd， 因此＋＞＋. 5分 (2)①若|a－b|<|c－d|， 则(a－b)2<(c－d)2， 即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cD． 因为a＋b＝c＋d，所以ab>cD． 由(1)，得＋>＋. 8分 ②若＋>＋， 则(＋)2>(＋)2， 即a＋b＋2>c＋d＋2. 因为a＋b＝c＋d，所以ab>cD． 于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2. 因此|a－b|<|c－d|. 综上，＋>＋是|a－b|<|c－d|

13、的充要条件. 10分 [规律方法]　1.本题将不等式证明与充要条件的判定渗透命题，考查推理论证能力和转化与化归的思想方法，由于两个不等式两边都是正数，可通过两边平方来证明． 2．当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆． 3．分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为： →→→…→ [变式训练3]　已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：＜A． [证明]　要证＜a， 只需证b2－ac＜3a2. ∵a＋b＋c＝0，只需证b2＋a(a＋b)＜3a2， 只需证2a2－ab－b2＞0， 4分 只需证(a－b)(2a＋b)＞0， 只需证(a－b)(a－c)＞0. ∵a＞b＞c，∴a－b＞0，a－c＞0， ∴(a－b)(a－c)＞0显然成立， 故原不等式成立. 10分 7