九年级数学上学期期中试卷（含解析） 新人教版(IV)

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1、九年级数学上学期期中试卷（含解析） 新人教版(IV) 一、选择题（每题3分，共计36分） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　） A．y=3x﹣1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2﹣2t+1 D．y=x2+ 3．一元二次方程2x2﹣3x+1=0化为（x+a）2=b的形式，正确的是（　　） A． B． C． D．以上都不对 4．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞且k≠2 B．k≥且k≠2 C．

2、k＞且k≠2 D．k≥且k≠2 5．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（　　） A．45° B．30° C．75° D．60° 6．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了15条航线，则这个航空公司共有飞机场（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 7．将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（　　） A．y=（x﹣1）2+4 B．y=（x﹣4）2+4 C．y=（x+2）2+6 D．y=（x﹣4）2+6 8．在二次函数y=x2﹣2x﹣3中

3、，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（　　） A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．0，0 9．在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 10．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 11．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个

4、条件，这个条件可以是（　　） A．AD=BD B．OD=CD C．∠CAD=∠CBD D．∠OCA=∠OCB 12．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x=，且经过点（2，0），有下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（0，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1=y2．上述说法正确的是（　　） A．①②④ B．③④ C．①③④ D．①② 　 二、填空题（每题4分，共计20分） 13．实数a，b是关于x的方程2x2+3x+1=0的两根，则点P（a，b）关于原点对称的点Q的坐标为　　． 14．某商场第一季度的利润是

5、82.75万，其中一月份的利润是25万，若利润的平均月增长率为x，可列出方程为：　　． 15．已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y=（x﹣2）2﹣m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为　　． 16．已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则=　　． 17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为　　cm． 　 三、解答题（共计64分） 18．用适当的方法解下面的方程 ①3x2+x

6、﹣1=0 ②（3x﹣2）2=4（3﹣x）2． 19．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）． （1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标； （2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2． 20．某花店将进货价为20元/盒的百合花，在市场参考价28～38元的范围内定价36元/盒销售，这样平均每天可售出40盒，经过市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每盒下调1元，则平均每天可多销售10盒，要使每天的利润达到750元，应将每盒百合花在售价上下调多少元？ 21．如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA

7、的延长线上，且∠CDA=∠CBD． （1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由． （2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长． 22．九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表： 售价（元/件） 100 110 120 130 … 月销量（件） 200 180 160 140 … 已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元． （1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是 （　　）元；②月销量是 （　　）件；（直接写出结果） （2）设销售该运动服的月利润为y元，那么

8、售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？ 23．探究：如图1和2，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°． （1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能证得 EF=BE+DF，请写出推理过程； ②如图2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系　　时，仍有EF=BE+DF； （2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长． 24．如图，在直角坐标系中，点A的

9、坐标为（﹣2，0），OB=OA，且∠AOB=120°． （1）求经过A，O，B三点的抛物线的解析式． （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点M为抛物线上一点，点N为对称轴上一点，是否存在点M，N使得A，O，M，N构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 　 xx学年山东省德州市庆云县九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（每题3分，共计36分） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D．

10、 【考点】中心对称图形；轴对称图形． 【分析】利用轴对称图形与中心对称图形的定义判断即可． 【解答】解：下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是， 故选B 　 2．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　） A．y=3x﹣1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2﹣2t+1 D．y=x2+ 【考点】二次函数的定义． 【分析】根据二次函数的定义，可得答案． 【解答】解：A、y=3x﹣1是一次函数，故A错误； B、y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，故B错误； C、s=2t2﹣2t+1是二次函数，故C正确； D、y=x2+不是二次函数，故D错误； 故

11、选：C． 　 3．一元二次方程2x2﹣3x+1=0化为（x+a）2=b的形式，正确的是（　　） A． B． C． D．以上都不对 【考点】解一元二次方程-配方法． 【分析】先把常数项1移到等号的右边，再把二次项系数化为1，最后在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，然后配方即可． 【解答】解：∵2x2﹣3x+1=0， ∴2x2﹣3x=﹣1， x2﹣x=﹣， x2﹣x+=﹣+， （x﹣）2=； ∴一元二次方程2x2﹣3x+1=0化为（x+a）2=b的形式是：（x﹣）2=； 故选C． 　 4．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等

12、的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞且k≠2 B．k≥且k≠2 C．k＞且k≠2 D．k≥且k≠2 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义． 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣2≠0且△=（2k+1）2﹣4（k﹣2）2＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【解答】解：根据题意得k﹣2≠0且△=（2k+1）2﹣4（k﹣2）2＞0， 解得：k＞且k≠2． 故选C． 　 5．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（　　） A．45° B．30° C．75° D．60° 【考点】圆周角定理；含30度角的直

13、角三角形；翻折变换（折叠问题）． 【分析】作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图，根据折叠的性质得OD=CD，则OD=OA，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OAD=30°，接着根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°， 然后根据圆周角定理计算∠APB的度数． 【解答】解：作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图， ∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O， ∴OD=CD， ∴OD=OC=OA， ∴∠OAD=30°， 又OA=OB， ∴∠CBA=30°， ∴∠AOB=120°， ∴∠APB=∠AOB=60°． 故选D． 　 6．某航空公司有若干

14、个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了15条航线，则这个航空公司共有飞机场（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【考点】一元二次方程的应用． 【分析】每个飞机场都要与其余的飞机场开辟一条航行，但两个飞机场之间只开通一条航线．等量关系为：飞机场数×（飞机场数﹣1）=15×2，把相关数值代入求正数解即可． 【解答】解：设这个航空公司共有飞机场共有x个． x（x﹣1）=15×2， 解得x1=6，x2=﹣5（不合题意，舍去）． 答：这个航空公司共有飞机场共有6个． 故选：B． 　 7．将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后

15、，得到的抛物线的解析式为（　　） A．y=（x﹣1）2+4 B．y=（x﹣4）2+4 C．y=（x+2）2+6 D．y=（x﹣4）2+6 【考点】二次函数图象与几何变换． 【分析】根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解析式． 【解答】解：将y=x2﹣2x+3化为顶点式，得y=（x﹣1）2+2． 将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y=（x﹣4）2+4， 故选：B． 　 8．在二次函数y=x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（　　） A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．0，0

16、 【考点】二次函数的最值． 【分析】首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，在距对称轴最远处取得最大值． 【解答】解：抛物线的对称轴是x=1， 则当x=1时，y=1﹣2﹣3=﹣4，是最小值； 当x=3时，y=9﹣6﹣3=0是最大值． 故选A． 　 9．在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象． 【分析】根据二次函数y=x2+a得抛物线开口向上，排除B，根据一次函数y=ax+2，得直线与y轴的正半轴相交，排除A；根据抛物线得a＜0，故排除C． 【解答】解

17、：∵二次函数y=x2+a ∴抛物线开口向上， ∴排除B， ∵一次函数y=ax+2， ∴直线与y轴的正半轴相交， ∴排除A； ∵抛物线得a＜0， ∴排除C； 故选D． 　 10．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【考点】切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征． 【分析】根据直线的解析式求得OB=4，进而求得OA=12，根据切线的性质求得PM⊥AB

18、，根据∠OAB=30°，求得PM=PA，然后根据“整圆”的定义，即可求得使得⊙P成为整圆的点P的坐标，从而求得点P个数． 【解答】解：∵直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B， ∴B（0，4）， ∴OB=4， 在RT△AOB中，∠OAB=30°， ∴OA=OB=×=12， ∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB， ∴PM=PA， 设P（x，0）， ∴PA=12﹣x， ∴⊙P的半径PM=PA=6﹣x， ∵x为整数，PM为整数， ∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数， ∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6． 故选：A． 　 11．如图，已知

19、在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（　　） A．AD=BD B．OD=CD C．∠CAD=∠CBD D．∠OCA=∠OCB 【考点】菱形的判定；垂径定理． 【分析】利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，进而求出即可． 【解答】解：∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB， ∴AD=DB， 当DO=CD， 则AD=BD，DO=CD，AB⊥CO， 故四边形OACB为菱形． 故选：B． 　 12．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x=，且经过点（2，0），有下列说法：

20、①abc＜0；②a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（0，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1=y2．上述说法正确的是（　　） A．①②④ B．③④ C．①③④ D．①② 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号； ②根据对称轴求出b=﹣a； ③把x=2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关系； ④求出点（0，y1）关于直线x=的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y1和y2的大小． 【解答】解：①∵二次函数的图象开口向下， ∴a＜0， ∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点， ∴

21、c＞0， ∵对称轴是直线x=， ∴﹣， ∴b=﹣a＞0， ∴abc＜0． 故①正确； ②∵由①中知b=﹣a， ∴a+b=0， 故②正确； ③把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c， ∵抛物线经过点（2，0）， ∴当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0． 故③错误； ④∵（0，y1）关于直线x=的对称点的坐标是（1，y1）， ∴y1=y2． 故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 故选：A 　 二、填空题（每题4分，共计20分） 13．实数a，b是关于x的方程2x2+3x+1=0的两根，则点P（a，b）关于原点对称的点Q的坐标为　（1

22、，）或（，1）　． 【考点】解一元二次方程-因式分解法；关于原点对称的点的坐标． 【分析】利用因式分解法求出方程2x2+3x+1=0的两根，由此即可得出点P的坐标，再根据点P与点Q关于原点对称，即可得出点Q的坐标． 【解答】解：∵2x2+3x+1=（2x+1）（x+1）=0， ∴或， ∴点P的坐标为（﹣1，﹣）或（﹣，﹣1）． ∵点P（a，b）关于原点对称的点Q， ∴点Q的坐标为（1，）或（，1）． 故答案为：（1，）或（，1）． 　 14．某商场第一季度的利润是82.75万，其中一月份的利润是25万，若利润的平均月增长率为x，可列出方程为：　25+25（1+x）+25（1

23、+x）2=82.75　． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果利润的平均月增长率为x，那么根据题意即可得出方程．2.75 【解答】解：设利润的平均月增长率为x， 又知：第一季度的利润是82.75万，其中一月份的利润是25万； 所以，可得方程为：25+25（1+x）+25（1+x）2=82.75． 　 15．已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y=（x﹣2）2﹣m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为　y3＞y1＞y2　． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】

24、先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=2，然后比较三个点离直线x=2的远近得到y1、y2、y3的大小关系． 【解答】解：A（4，y1），B（，y2），在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∵＜4， ∴y2＜y1， ∴点A离直线x=2近，点C离直线x=2最远， 而抛物线开口向上， 则y3＞y1， 故y3＞y1＞y2， 故答案是：y3＞y1＞y2． 　 16．已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则=　﹣　． 【考点】根与系数的关系． 【分析】由m≠n时，得到m，n是方程3x2+6x﹣5=0的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求

25、解． 【解答】解：∵m≠n时，则m，n是方程3x2+6x﹣5=0的两个不相等的根，∴m+n=﹣2，mn=﹣． ∴原式====﹣， 故答案为：﹣． 　 17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为　42　cm． 【考点】旋转的性质． 【分析】根据将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，可得△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，BD=BC=12cm，从而得到△BCD为等边三角形，得到CD=BC=CD=12cm，在Rt△ACB中，利用勾股定

26、理得到AB=13，所以△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD，即可解答． 【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE， ∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°， ∴BD=BC=12cm， ∴△BCD为等边三角形， ∴CD=BC=CD=12cm， 在Rt△ACB中，AB==13， △ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42（cm）， 故答案为：42． 　 三、解答题（共计64分） 18．用适当的方法解下面的方程 ①3x2+x﹣1=0

27、 ②（3x﹣2）2=4（3﹣x）2． 【考点】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】①求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可． ②方程移项后利用因式分解法求出解即可． 【解答】解：①3x2+x﹣1=0 a=3，b=1，c=﹣1， △=b2﹣4ac=1+12=13＞0， x=， ∴x1=，x2=． ②（3x﹣2）2=4（3﹣x）2， 移项得：（3x﹣2）2﹣4（3﹣x）2，=0， 分解因式得：[（3x﹣2）+2（3﹣x）][（3x﹣2）﹣2（3﹣x）]=0， 可得x+4=0或5x﹣8=0， 解得：x1=﹣4，x2=． 　 19．如图，△ABC三个顶点

28、的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）． （1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标； （2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2． 【考点】作图-旋转变换． 【分析】（1）直接利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案． 【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，A1（﹣2，﹣4）； （2）如图所示：△A2B2C2，即为所求． 　 20．某花店将进货价为20元/盒的百合花，在市场参考价28～38元的范围内定价36元/盒销售，这样平均

29、每天可售出40盒，经过市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每盒下调1元，则平均每天可多销售10盒，要使每天的利润达到750元，应将每盒百合花在售价上下调多少元？ 【考点】一元二次方程的应用． 【分析】设应将售价下调x元，利用每一盒的利润×销售的数量=获得的利润列出方程解答即可． 【解答】解：设应将售价下调x元，由题意得 （36﹣20﹣x）（40+10x）=750， 解得：x1=1，x2=11， 当x=11时，36﹣11=25，不在28元～38元的范围内，不合题意，舍去， 答：应将每盒百合花在售价下调1元． 　 21．如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CD

30、A=∠CBD． （1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由． （2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长． 【考点】切线的判定与性质． 【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°，求出∠CDA+∠ADO=90°，根据切线的判定推出即可； （2）根据勾股定理求出DC，根据切线长定理求出DE=EB，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）直线CD和⊙O的位置关系是相切， 理由是：连接OD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠DAB+∠DBA=90°， ∵∠CDA=∠C

31、BD， ∴∠DAB+∠CDA=90°， ∵OD=OA， ∴∠DAB=∠ADO， ∴∠CDA+∠ADO=90°， 即OD⊥CE， 已知D为⊙O的一点， ∴直线CD是⊙O的切线， 即直线CD和⊙O的位置关系是相切； （2）∵AC=2，⊙O的半径是3， ∴OC=2+3=5，OD=3， 在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD=4， ∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B， ∴DE=EB，∠CBE=90°， 设DE=EB=x， 在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2=BE2+BC2， 则（4+x）2=x2+（5+3）2， 解得：x=6， 即BE=6． 　 22．九

32、年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表： 售价（元/件） 100 110 120 130 … 月销量（件） 200 180 160 140 … 已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元． （1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是 （　x﹣60　）元；②月销量是 （　400﹣2x　）件；（直接写出结果） （2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？ 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）根据利润=售价﹣进价求出利润，运用待定系数法求出月销量； （2）根据月利润=每

33、件的利润×月销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利润． 【解答】解：（1）①销售该运动服每件的利润是（x﹣60）元； ②设月销量W与x的关系式为w=kx+b， 由题意得，， 解得，， ∴W=﹣2x+400； （2）由题意得，y=（x﹣60）（﹣2x+400） =﹣2x2+520x﹣24000 =﹣2（x﹣130）2+9800， ∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元． 　 23．探究：如图1和2，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°． （1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△A

34、BE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能证得 EF=BE+DF，请写出推理过程； ②如图2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系　∠B+∠D=180°　时，仍有EF=BE+DF； （2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长． 【考点】四边形综合题． 【分析】（1）①根据旋转的性质得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，求出∠EAF=∠GAF=45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF=GF，即可求出答案； ②根据旋转的性

35、质得出AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，求出C、D、G在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF=GF，即可求出答案； （2）根据等腰直角三角形性质好勾股定理求出∠ABC=∠C=45°，BC=4，根据旋转的性质得出AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，求出∠FAD=∠DAE=45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出DF=DE，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3﹣x，根据勾股定理得出方程，求出x即可． 【解答】（1）①解：如图1， ∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合， ∴AE=AG，∠BA

36、E=∠DAG，BE=DG， ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠DAG+∠DAF=45°， 即∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF和△GAF中 ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； ②解：∠B+∠D=180°， 理由是： 把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合， 则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG， ∵∠B+∠ADC=180°， ∴∠ADC+∠ADG=180°， ∴C、D、G在一条直线上， 和①知求法类似，∠EAF=∠GAF=45°，

37、 在△EAF和△GAF中 ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； 故答案为：∠B+∠D=180°； （2）解：∵△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：BC===4， 把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF． 则AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE， ∵∠DAE=45°， ∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=90°﹣45°=45°， ∴∠FAD=∠DAE=45°， 在△FAD和△EAD

38、中 ∴△FAD≌△EAD， ∴DF=DE， 设DE=x，则DF=x， ∵BC=1， ∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x， ∵∠FBA=45°，∠ABC=45°， ∴∠FBD=90°， 由勾股定理得：DF2=BF2+BD2， x2=（3﹣x）2+12， 解得：x=， 即DE=． 　 24．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），OB=OA，且∠AOB=120°． （1）求经过A，O，B三点的抛物线的解析式． （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点M为抛物线上一点，点N

39、为对称轴上一点，是否存在点M，N使得A，O，M，N构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）先确定出点B坐标，再用待定系数法即可； （2）先判断出使△BOC的周长最小的点C的位置，再求解即可； （3）分OA为对角线和为边两种情况进行讨论计算． 【解答】解：（1）过点B作BD⊥x轴于点D，由已知可得：OB=OA=2，∠BOD=60°， 在Rt△OBD中，∠ODB=90°，∠OBD=30° ∴OD=1，DB= ∴点B的坐标是（1，）． 设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c， 由已知可得：， 解得

40、： ∴所求抛物线解析式为y=． （2）存在， ∵△BOC的周长=OB+BC+CO， 又∵OB=2 ∴要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小， ∵点O和点A关于对称轴对称 ∴连接AB与对称轴的交点即为点C， 且有OC=OA 此时△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+AC； 点C为直线AB与抛物线对称轴的交点 设直线AB的解析式为y=kx+b， 将点A（﹣2，0），B（1，）分别代入，得： ， 解得：， ∴直线AB的解析式为y=x+ 当x=﹣1时，y=， ∴所求点C的坐标为（﹣1，）； （3）如图， ①当以OA为对角线时， OA与MN互相垂直且平分 ∴点M（﹣1，﹣）， ②当以OA为边时 OA=MN且OA∥MN 即MN=2，MN∥x轴 设N（﹣1，t） 则M（﹣3，t）或（1，t） 将M点坐标代入y=． ∴t= ∴M（﹣3，）或（1，） 综上：点M的坐标为：M（﹣1，﹣）或（﹣3，）或（1，）．