2018版高中数学 第三章 导数及其应用 习题课 导数的应用学案 苏教版选修1-1

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1、 习题课 导数的应用 学习目标　1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用． 知识点一　函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x) f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递________ f′(x)<0 单调递________ 知识点二　求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值． (2)如果在x0附近的左侧_____

2、___，右侧________，那么f(x0)是极小值． 知识点三　函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的求法 1．求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值． 2．将函数y＝f(x)的________与端点处的函数值________比较，其中________的一个是最大值，________的一个是最小值． 类型一　数形结合思想的应用 例1　已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是________． 反思与感悟　解决函数极值与函数、导函数图象的关系时，应注意： (1)对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪

3、个区间上为正，在哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在交点附近导函数值是怎样变化的． (2)对于函数的图象，函数重点考查递增区间和递减区间，进而确定极值点． 跟踪训练1　设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是________． 类型二　构造函数求解 命题角度1　比较函数值的大小 例2　已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋<0，若a＝f()，b＝－f(－)，c＝(ln )f(ln )，则a，b，c的大小关系是________． 反思与感悟

4、　本例中根据条件构造函数g(x)＝xf(x)，通过g′(x)确定g(x)的单调性，进而确定函数值的大小，此类题目的关键是构造出恰当的函数． 跟踪训练2　设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________． 命题角度2　求解不等式 例3　定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数f′(x)，满足f(x)2ex的解集为________． 反思与感悟　根据所求结论与已知条件，构造函数g(x)＝，通过导函数判断g(x)的单调性，利用单调性得到x的取值范围． 跟踪训练3　设函数f(x)是定义在R上的偶函数，f′(x)为其导函数．当x>0时

5、，f(x)＋x·f′(x)>0，且f(1)＝0，则不等式x·f(x)>0的解集为________． 命题角度3　利用导数证明不等式 例4　已知x>1，证明不等式x－1>ln x. 　 　 反思与感悟　利用函数的最值证明不等式的基本步骤 (1)将不等式构造成f(x)>0(或<0)的形式； (2)利用导数将函数y＝f(x)在所给区间上的最小值(或最大值)求出； (3)证明函数y＝f(x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)即可证得原不等式成立． 跟踪训练4　证明：当x>0时，2＋2x<2ex. 　 　 类型三　利用导数研究函数的极值与最值 例5　已知函数

6、f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)在区间[0，t](0

7、函数值比较即可获得． 跟踪训练5　已知函数f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋48(a－2)x＋b的图象关于原点成中心对称． (1)求a，b的值； (2)求f(x)的单调区间及极值； (3)当x∈[1,5]时，求函数的最值． 　 　 1．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数y＝f(x)在区间内单调递增； ②函数y＝f(x)在区间内单调递减； ③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增； ④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值； ⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值． 则上述判断中正确的是________．(填序号)

8、 2．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，则此函数在[－2,2]上的最小值为________． 3．已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围为________． 4．设f(x)、g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当af(b)g(b)；②f(x)g(a)>f(a)g(x)； ③f(x)g(b)>f(b)g(x)；④f(x)g(x)>f(a)g(a)． 5．已知x>0，求证：x>sin x. 　

9、 导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法． 提醒：完成作业　第3章　习课题 答案精析 知识梳理 知识点一 增　减 知识点二 (1)f′(x)>0　f′(x)<0 (2)f′(x)<0　f′(x)>0 知识点三 2．极值　f(a)，f(b)　最大　最小 题型探究 例1　④　跟踪训练1　① 例2　bb>c 例3　(0，＋∞)　跟踪训练3

10、　(1，＋∞) 例4　证明　设f(x)＝x－1－ln x，x∈(1，＋∞)， 则f′(x)＝1－＝， 因为x∈(1，＋∞)， 所以f′(x)＝>0， 即函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数， 又x>1，所以f(x)>f(1)＝1－1－ln 1＝0， 即x－1－ln x>0，所以x－1>ln x. 跟踪训练4　证明　设f(x)＝2＋2x－2ex， 则f′(x)＝2－2ex＝2(1－ex)． 当x>0时，ex>e0＝1， ∴f′(x)＝2(1－ex)<0. ∴函数f(x)＝2＋2x－2ex在(0，＋∞)上是减函数， ∴f(x)

11、0时，2＋2x－2ex<0， ∴2＋2x<2ex. 例5　解　(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3. 又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2. 所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2. (2)由f(x)＝x3－3x2＋2， 得f′(x)＝3x2－6x. 由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. ①当0

12、时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表： x 0 (0,2) 2 (2，t) t f′(x) 0 － 0 ＋ ＋ f(x) 2 ↘ －2 ↗ t3－3t2＋2 f(x)min＝f(2)＝－2， f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个． 因为f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0， 所以f(x)max＝f(0)＝2. (3)令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c， 则g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)． 当x∈[1,2)时，g′(x)<0；当x∈(2,3]时，g′(x)>0. 要使g(x)＝0在[1,3]上

13、恰有两个相异的实根， 则解得－20，得x<－4或x>4

14、. ∴f(x)的递减区间为(－4,4)，递增区间为(－∞，－4)和(4，＋∞)， ∴f(x)极大值＝f(－4)＝128， f(x)极小值＝f(4)＝－128. (3)由(2)知，函数在[1,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，则f(4)＝－128， f(1)＝－47，f(5)＝－115， ∴函数的最大值为－47，最小值为－128. 当堂训练 1．③　2.－37　3.(－∞，)　4.③ 5．证明　设f(x)＝x－sin x(x>0)，则f′(x)＝1－cos x≥0对x∈(0，＋∞)恒成立， ∴函数f(x)＝x－sin x在(0，＋∞)上是单调增函数， 又f(0)＝0，∴f(x)>0对x∈(0，＋∞)恒成立， ∴x>sin x(x>0)． 7