2019-2020学年新教材高中数学 第3章 函数的概念与性质 3.3 幂函数教学案 新人教A版必修第一册

《2019-2020学年新教材高中数学 第3章 函数的概念与性质 3.3 幂函数教学案 新人教A版必修第一册》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年新教材高中数学 第3章 函数的概念与性质 3.3 幂函数教学案 新人教A版必修第一册（10页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、3.3 幂函数 (教师独具内容) 课程标准：1.通过具体实例了解幂函数的概念.2.会画幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，并能通过图象了解幂函数的图象与性质.3.能正确应用幂函数的知识解决相关问题． 教学重点：1.幂函数的概念.2.幂函数的图象与性质． 教学难点：应用幂函数的知识解决相关问题． 【知识导学】 知识点一　幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数(power function)，其中x是自变量，α是常数． 知识点二　一些常用幂函数的图象 同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象(如图)． 知识点三　一

2、些常用幂函数的性质 【新知拓展】 1．幂函数的特征 (1)xα的系数是1； (2)xα的底数x是自变量； (3)xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 2．幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； (3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象

3、在x轴上方无限接近x轴； (4)在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x3＋2是幂函数．(　　) (2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点．(　　) (3)幂函数y＝xα的定义域为R，与指数无关．(　　) (4)当x＞1时，函数y＝x2的图象总在函数y＝x3的图象的下方．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝________. (2)已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(

4、2,8)，则f(－2)＝________. (3)若y＝ax是幂函数，则该函数的值域是________． 答案　(1)3　(2)－8　(3)[0，＋∞) 题型一 幂函数的定义 例1　已知幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域． [解]　∵y＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数， ∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0； 当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y＝x－3或y＝x0，它们的定义域都是{x|x≠0}．

5、 金版点睛 判断函数是幂函数的依据 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即满足：①指数α为常数；②底数x为自变量；③系数为1. 　(1)在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)已知y＝(m2－4m＋4)x＋2n－3是幂函数，求m，n的值． 答案　(1)B　(2)见解析 解析　(1)y＝＝x－2，所以是幂函数；y＝2x2由于系数是2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图

6、象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数． (2)由题意得解得 所以m＝3，n＝. 题型二 幂函数的图象及应用 例2　幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝x，y＝x在第一象限内的图象依次是图中的曲线(　　) A．C2，C1，C3，C4 B．C4，C1，C3，C2 C．C3，C2，C1，C4 D．C1，C4，C2，C3 [解析]　由于在第一象限内直线x＝1的右侧，幂函数y＝xα的图象从上到下相应的指数α由大变小，即幂函数图象在第一象限内直线x＝1右侧的“高低”关系是“指大图高”，故幂函数y＝x2在第一象限内的图象为C1，y＝x－1在第一象限内的图象为C4，y＝x在第

7、一象限内的图象为C2，y＝x在第一象限内的图象为C3. [答案]　D 金版点睛 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． (2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断． 　(1)如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　) A．－11 D．n

8、<－1，m>1 (2)已知函数y＝. ①求定义域； ②判断奇偶性； ③已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间． 答案　(1)B　(2)见解析 解析　(1)在(0,1)内取x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0

9、区间(－∞，0]上单调递减. 题型三 幂函数的性质及应用 例3　比较下列各题中两个值的大小： (1)2.3，2.4； (2)() ，()； (3)(－0.31)2,0.352. [解]　(1)∵y＝x在[0，＋∞)上单调递增，且2.3<2.4，∴2.3<2.4. (2)∵y＝x在(0，＋∞)上单调递减，且<， ∴()>(). (3)∵y＝x2为R上的偶函数，∴(－0.31)2＝0.312. 又函数y＝x2在[0，＋∞)上单调递增，且0.31<0.35， ∴0.312<0.352，即(－0.31)2<0.352. 金版点睛 比较幂值大小的方法 比较幂值的大小，关

10、键是构造适当的函数，若指数相同，底数不同，则考虑构造幂函数，然后根据所构造的幂函数的性质如单调性、奇偶性等来解决问题． 例4　若(3－2m) >(m＋1) ，求实数m的取值范围． [解]　因为y＝x在定义域[0，＋∞)上单调递增， 所以解得－1≤m<. 故实数m的取值范围为. 金版点睛 利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注

11、意分类讨论思想的应用． 　(1)比较下列各组数的大小： ①与；②－3.143与－π3； (2)已知幂函数y＝(m2＋m－5)xm2－2m－3，当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，求此幂函数的解析式． 解　(1)①∵y＝x在[0，＋∞)上单调递增，且>， ∴>. ②∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π， ∴3.143<π3，∴－3.143>－π3. (2)∵y＝(m2＋m－5)xm2－2m－3是幂函数， ∴m2＋m－5＝1，即(m－2)(m＋3)＝0， ∴m＝2或m＝－3. 当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是幂函数，且满足当x∈(0，＋∞)

12、时，y随x的增大而减小； 当m＝－3时，m2－2m－3＝12，y＝x12是幂函数，但不满足当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，故舍去． ∴y＝x－3(x≠0)． 1．下列函数是幂函数的是(　　) A．y＝5x B．y＝x5 C．y＝5x D．y＝(x＋1)3 答案　B 解析　由幂函数的定义知函数y＝5x不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数． 2．函数y＝x3的图象大致是图中的(　　) 答案　B 解析　∵函数y＝x3是奇函数，且α＝3>1，则其为增函数，且y随x

13、的增大急剧增大，∴函数图象为B. 3．设a＝2－6，b＝3－4，c＝7－2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b