2018高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入学案 理 苏教版选修2-2

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1、 第3章 数系的扩充与复数的引入 一、学习目标： 1. 理解复数的基本概念； 2. 理解复数相等的充要条件； 3. 了解复数的代数表示法及其几何意义； 4. 会进行复数代数形式的四则运算； 5. 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。 二、重点、难点 重点：掌握复数的概念；复数的加法与减法的运算及几何意义；复数的四则运算。 难点：对复数概念和复数的几何意义的灵活运用及复数运算的准确运用。 三、考点分析： 1. 复数的有关概念和复数的几何意义是高考命题的热点之一，常以选择题的形式出现，属容易题； 2. 复数的代数运算是高考的另一热点，以选择题、填空题的形

2、式出现，属容易题。 一、复数的有关概念 1. 复数的概念 形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部。若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数。 2. 复数相等：a＋bi＝c＋dia＝c且b＝d（a，b，c，d∈R）。 3. 共轭复数：a＋bi与c＋di共轭a＝c，b＝－d（a，b，c，d∈R）。 4. 复平面 借用直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。 5. 复数的模 向量的模

3、r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝。 二、复数的几何意义 1. 复数z＝a＋bi复平面内的点Z（a，b）（a，b∈R）； 2. 复数z＝a＋bi平面向量（a，b∈R）。 三、复数的运算 1. 复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则 ①加法：z1＋ z2＝（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i； ②减法：z1－ z2＝（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i； ③乘法：z1· z2＝（a＋bi）·（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i； ④除

4、法： 2. 复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何、、∈C，有＋＝＋，（＋）＋＝＋（＋）。 注：任意两个复数不一定能比较大小，只有这两个复数全是实数时才能比较大小。 知识点一：复数的有关概念 例1 当实数m为何值时，z＝lg（m2－2m－2）＋（m2＋3m＋2）i （1）为纯虚数；（2）为实数；（3）对应的点在复平面的第二象限内。 思路分析：根据复数分类的条件和复数的几何意义求解。 解题过程：根据复数的有关概念，转化为实部和虚部分别满足的条件求解。 （1）若z为纯虚数，则解得m＝3 （2）若z为实数，则解得m＝－1或m＝－2 （3）若z的对应

5、点在第二象限，则解得－1

6、题过程： …………………………① 或…………………………………………② 或…………………………③ 由①得a＝－3，b＝±2，经检验，a＝－3，b＝－2不合题意，舍去。 ∴a＝－3，b＝2 由②得a＝±3，b＝－2。又a＝－3，b＝－2不合题意，∴a＝3，b＝－2； 由③得，此方程组无整数解。 综合①②③得a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2。 解题后反思：利用复数相等可实现复数问题向实数问题的转化。解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式。注：对于复数z，如果没有给出代数形式，可设z＝a＋bi（a，b∈R）。 知识点三：复数的代数运算 例3 计算： 思路分析：根据

7、复数的运算法则计算。 解题过程： 。 解题后反思：（1）在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度： ④ ⑤ ⑥。 （2）复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉i的特点及熟练应用运算技巧。 知识点四：复数加减法的几何意义 例4 如图，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求： （1）表示的复数；（2）对角线所表示的复数。 思路分析：求某个向量对应的复数，只要求出向量的起点和终点对应

8、的复数即可。 解题过程：（1）＝－，∴表示的复数为－3－2i。∵＝，∴表示的复数为－3－2i。 （2）＝－，∴所表示的复数为（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i。 解题后反思：（1）解决这类题目时可利用复数a＋bi（a，b∈R）与复平面内以原点为起点的向量之间一一对应的关系，相等的向量表示同一复数，然后借助于向量运算的平行四边形法则和三角形法则进行求解。 （2）复数问题实数化是解决复数问题最基本也是最重要的思想方法，桥梁是设z＝x＋yi，依据是复数相等的充要条件。 （湖北高考）若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是（ ） A. E B.

9、F C. G D. H 思路分析：首先在图形上看出复数z的代数形式，再进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，在坐标系中看出对应的点。 解题过程：观察图形可知z＝3＋i， ∴， 即对应点H（2，－1）， 故选D。 解题后反思：本题考查复数的几何意义，考查根据复数的代数形式，在坐标系中找出对应的点，根据复平面上的点写出对应的复数的表示式。 问题：已知z为复数，z＋2i和均为实数，其中i是虚数单位。 （1）求复数z； （2）若复数（z＋ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围。 思路分析： （1）设出复数的代数

10、形式，整理出z＋2i和，根据两个都是实数、虚部都等于0，得到复数的代数形式。 （2）根据上一问得出的复数的结果，代入复数（z＋ai）2中，利用复数的加减和乘方运算，写出代数的标准形式，根据复数对应的点在第一象限，写出关于实部大于0和虚部大于0，解不等式组，得到结果。 解题过程：（1）设复数z＝a＋bi（a，b∈R）， 由题意，z＋2i＝a＋bi＋2i＝a＋ ∴b＋2＝0，即b＝－2。 又， ∴2b＋a＝0，即a＝－2b＝4。∴z＝4－2i。 （2）由（1）可知z＝4－2i， ∵（z＋ai）2＝（4－2i＋ai）2＝[4＋（a－2）i]2＝16－（a－2）2＋8（a－2）i 对

11、应的点在复平面的第一象限， ∴ 解得a的取值范围为2＜a＜6。 解题后反思：本题考查复数的加减乘除运算，复数的代数形式和几何意义，复数与复平面上的点的对应，及解决实际问题的能力，是一道综合题。 1. 掌握复数的代数形式，理解实部和虚部的概念，及复数的几何意义。 2. 熟练进行复数的加减法和乘除法的运算。常用的运算公式要记牢： （1±i）2＝±2i，＝－i，＝i，＝－i，＝b－ai， （－±i）3＝1，（±i）3＝－1 3. 解决复数的根本思想，就是将复数问题转化为实数问题来解决。 4. 高考主要考查复数的运算，这是高考中重要的知识点。 下节课我们开始学习——选修2－3第1章第1节 两个基本计数原理，请大家阅读课本思考： 1. 什么是分类计数原理？ 2. 什么是分步计数原理？ 5