2019-2020学年高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入章末复习课学案 新人教B版选修1-2

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1、第3章 数系的扩充与复数的引入 复数的概念及分类 1.复数a＋bi(a，b∈R) 2．复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程(或不等式)即可． 【例1】　当实数a为何值时，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i： (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)对应的点在第一象限内； (4)对应的点在直线x－y＝0上． [思路探究]　解答本题可根据复数的分类标准，列出方程(不等式)求解． [解]　(1)由z∈R，得a2－3a＋2＝0， 解得a＝1或a＝2. (2)z为纯虚数，

2、 即 故a＝0. (3)z对应的点在第一象限， 则 ∴ ∴a<0或a>2. ∴a的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)． (4)依题得(a2－2a)－(a2－3a＋2)＝0， ∴a＝2. 1．当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为 (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． [解]　(1)当 即m＝2时，复数z是实数． (2)当 即m≠0且m≠2时，复数z是虚数． (3)当 即m＝－3时，复数z是纯虚数． 复数的四则运算 复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．

3、 【例2】　计算：＋. [思路探究]　先由－－i＝i，1－i＝(－2)，将原式化简，再利用－＋i的特殊性进行求解． [解]　原式＝i12＋＝1×1＋ ＝1＋16＝－7＋8i. 2．计算：(1)； (2)－. [解]　(1)原式＝＝－·＝－·(－4)· ＝－1＋i. (2)原式＝－ ＝－ ＝－i＝i－i＝0. 共轭复数与复数的模 共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复数问题时，除用共轭复数定义与模的计算公式解题外，也常用下列结论简化解题过程： (1)|z|＝1⇔z＝. (2)z∈R⇔＝z. (3)z≠0，z为纯虚数⇔＝－z. 【例3】　设

4、z＝a＋bi(a，b∈R)，若∈R，则a，b应满足什么条件？并说明理由． [思路探究]　解答本题可求出的代数形式，由其虚部为0可得a，b满足的条件；也可利用共轭复数的性质求解． [解]　法一：＝ ＝ ＝∈R， ∴b(a2＋b2－1)＝0. ∴b＝0或a2＋b2＝1. 法二：∵∈R，∴＝＝＝， 即z(1＋2)－(1＋z2)＝0， ∴z＋|z|2·－－|z|2·z＝0， 即(z－)(1－|z|2)＝0， ∴z＝或1－|z|2＝0. 由z＝，得b＝0. 由1－|z|2＝0，得a2＋b2＝1. ∴b＝0或a2＋b2＝1. 3．已知为纯虚数，且(z＋1)(＋1)＝|z|

5、2，求复数z. [解]　由(z＋1)(＋1)＝|z|2⇒z＋＝－1. ① 由为纯虚数⇒＋＝0⇒z·－1＝0. ② 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi， 代入①②， 得a＝－，a2＋b2＝1. ∴a＝－，b＝±. ∴z＝－±i. 复数的几何意义 1.点Z(a，b)或向量称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的几何表示，因此复平面的点与复平面的向量是复数的两个几何形象． 2．复数形式的基本轨迹 (1)当|z－z1|＝r时，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆；单位圆|z|＝1. (2)当|z－z1|＝|z－z2|时，表示以复数z1，z2的对应

6、点为端点的线段的垂直平分线． (3)|z1－z2|表示两点间的距离，即表示复数z1与z2对应点间的距离． 【例4】　若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是(　　) A．2　 B．3　　　 C．4　　　 D．5 [思路探究]　常规方法是运用复数的代数形式，把复数最值问题转化为一般函数最值问题再解决，而运用|z－z0|的几何意义解决更为简便． [解析]　如图，|z＋2－2i|＝1表示以C(－2,2)为圆心，1为半径的圆，则|z－2－2i|的最小值是指点A(2,2)到圆的最短距离，显然|AB|＝|AC|－1＝3，即为最小值，故选B. [答案]　B 4．

7、已知|z|＝2，则|z＋1＋i|的最大值和最小值分别为________． [解析]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z|＝2知x2＋y2＝4， 故z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上， 又|z＋1＋i|表示点(x，y)到点(－1，－)的距离． 又因为点(－1，－)在圆x2＋y2＝4上，所以圆上的点到点(－1，－)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4， 即|z＋1＋i|的最大值和最小值分别为4和0. [答案]　4,0 1．(1＋i)(2－i)＝(　　) A．－3－i　　　 B．－3＋i C．3－i D．3＋i [解析]　(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2

8、＝3＋i，故选D. [答案]　D 2．设z＝＋2i，则|z|＝(　　) A．0 B. C．1 D. [解析]　∵z＝＋2i＝＋2i ＝＋2i＝i. ∴|z|＝1，故选C. [答案]　C 3．若z＝4＋3i，则＝(　　) A．1　　　　　 B．－1 C.＋i D.－i [解析]　∵z＝4＋3i，∴＝4－3i，|z|＝＝5， ∴＝＝－i. [答案]　D 4．设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 [解析]　(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由题意知a－2＝1＋2a，

9、解得a＝－3，故选A. [答案]　A 5．设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为(　　) A.＋ B.＋ C.－ D.－ [解析]　|z|＝≤1，即(x－1)2＋y2≤1，表示的是圆及其内部，如图所示．当|z|≤1时，y≥x表示的是图中阴影部分，其面积为S＝π×12－×1×1＝.又圆的面积为π，根据几何概型公式得概率P＝＝－. [答案]　D 6．设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为______． [解析]　∵z2＝3＋4i，∴|z2|＝|z|2＝|3＋4i|＝＝5， ∴|z|＝. [答案]　 - 7 -