2019高考数学 突破三角函数与解三角形问题中的套路 专题02 三角函数的图象与性质学案 理

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1、 专题02 三角函数的图象与性质 知识必备 一、正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 最值 当时，； 当时，． 当时，； 当时，． 既无最大值，也无最小值 周期性 最小正周期为 最小正周期为 最小正周期为 奇偶性 ,奇函数 ，偶函数 ，奇函数 单调性 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数． 对称性 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形.

2、 对称中心； 无对称轴， 是中心对称图形但不是轴对称图形. 二、函数的图象与性质 1．函数的图象的画法 （1）变换作图法 由函数的图象通过变换得到（A>0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图. （2）五点作图法 找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为： ①先确定最小正周期T=,在一个周期内作出图象； ②令,令X分别取0，,,,求出对应的x值，列表如下： 由此可得五个关键点； ③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到的简图. 2．函数（A>0,ω>0）的性

3、质 （1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数. （2）周期性：存在周期性，其最小正周期为T= . （3）单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间. （4）对称性：利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x. 利用y=sin x的对称轴为求解，令，得其对称轴. 3．函数（A>0,ω>0）的物理意义 当函数（A>0,ω>0,）表示一个简谐振动量时，则A叫做振幅，T=叫做周期，f =叫做频率,叫做相位，x=0时的相位叫做初相. 核心考点 考点一 三角函数的图象与性质 【例1】（奇偶性与对称性）已知函数在处取得最大值，则函数是

4、 A．偶函数且它的图象关于点对称 B．偶函数且它的图象关于点对称 C．奇函数且它的图象关于点对称 D．奇函数且它的图象关于点对称 【答案】B 备考指南 1．对于函数y=Asin（ωx＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x=x0或点（x0，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f（x0）的值进行判断． 2．若f（x）=Asin（ωx＋φ）为偶函数，则φ=kπ＋（kZ），同时当x=0时，f（x）取得最大或最小值．若f（x）=Asin（ωx＋φ）为奇函数，则φ=kπ（k∈Z），同时当x=0时，f（x

5、）=0. 【例2】（周期性）已知函数，且，，若的最小值为，则的值为 A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】结合三角函数的图象可知，即，则由三角函数的周期公式可得.故选C． 备考指南 求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y=Asin(ωx＋φ)，y=Acos(ωx＋φ)，y=Atan(ωx＋φ)的形式，再分别应用公式T=，T=，T=求解． 【例3】（单调性）已知函数的图象的一个对称中心为，则函数的单调递增区间是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意

6、得 因此， 所以选C． 备考指南 1．已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y=Asin（ωx＋φ）或y=Acos（ωx＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． 2．已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 3．利用三角函数的单调性求值域（或最值）．形如y=Asin（ωx＋φ）＋b或可化为y=Asin（ωx＋φ）＋b的三角函数的值域（或最值）问

7、题常利用三角函数的单调性解决. 【例4】（最值或值域问题）已知函数=（）的最大值为2，函数的图象与轴的交点为（0，），现将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若是偶函数，则在上的值域为 . 【答案】 【解析】因为=，所以，由函数的图象与轴的交点为（0，1）得，，解得，所以=，所以= =，由是偶函数得，即（），因为，所以，所以=，因为，所以，由正弦函数图象知在上的值域为. 备考指南 1．形如y=asinx＋bcosx＋k的三角函数化为y=Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)． 2．形如y=asin2x＋bsinx＋k的三角函数，可先设sinx=t，化为关于

8、t的二次函数求值域(最值)． 3．形如y=asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值). 【例5】（三角函数性质的综合）已知. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的最大值，并写出取最大值时自变量的集合； （3）求函数在上的单调区间. 【解析】（1）函数的最小正周期. （3）令，，得：，， ∴函数的单调增区间为，． ∵， ∴是的单调递增区间， 令，，得：，， ∴函数的单调减区间为，． ∵， ∴是的单调递减区间. 备考指南 高考中常将三角函数的性质综合起来考查，熟练掌

9、握三角函数的性质：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、对称性以及三角图象变换等，即可顺利解决此类问题. 考点二 三角函数的图象变换 【例6】（简单的三角函数图象变换）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数（ ）的图象． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，于是只需将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象．故选B． 备考指南 1．对函数y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中

10、的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|. 2．注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移. 【例7】（三角函数图象变换与性质的综合）已知函数（）的最小正周期为，若将其图象沿轴向右平移（）个单位，所得图象关于对称，则实数的最小值为 A． B． C． D． 【答案】C 考点三 三角函数的解析式 【例8】（由图象确定三角函数的解析式）已知函数的部分图象如图所示，则 A． B． C． D．

11、【答案】C 【解析】由图象得，，则函数的解析式为，将点代入得，，又，所以，故选C． 备考指南 1．求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则. 2．求ω，已知函数的周期T，则. 3．求φ，常用方法有： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)． ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ=0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ=；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ=；“第五点”为ωx＋φ=2

12、π. 【例9】（三角函数解析式与性质的综合）已知函数的部分图象如下图所示，若，，将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则函数的单调递增区间为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，，故，故，故，将点代入可得，因为，所以，故，则 ，令，解得，故选D． 能力突破 1．为了得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点 A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】，所以向左平移个单位长度，选C．

13、【名师点睛】三角函数图象变换是高考常考点，必须熟练掌握. 2．函数的部分图象如图所示，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知得函数的最小正周期满足．又函数过点或，又函数过点，，故选D． 【名师点睛】三角函数解析式的确定常以图象为载体，综合考查三角函数的性质. 3．已知函数，将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，则当取最小值时，的单调递减区间为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意得，，故将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则，故，因为，所以的最小值为，所以. 令，即，

14、 即，所以函数的单调递减区间为，故选B． 【名师点睛】三角函数的图象与性质是高考考查的重点，每年高考都会涉及，必须熟练掌握． 4．已知函数（）的一个零点是，其图象上一条对称轴方程为，则当取最小值时，下列说法正确的是 ．（填写所有正确说法的序号） ①当时，函数单调递增； ②当时，函数单调递减； ③函数的图象关于点对称； ④函数的图象关于直线对称． 【答案】①③ 【解析】由已知，或（），（），两式相减得，又，故，此时，，所以，又，则，所以，可知当时，函数单调递增，当时，函数先减后增，函数的图象关于点对称，但不关于直线对称，故填①③． 【名师点睛】对于三角

15、函数性质综合问题，只要逐条掌握每条性质即可顺利求解. 5．设函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）当时，求函数的最大值. 【解析】（1）由题得. ∴函数的最小正周期. 由，，得，， ∴函数的单调递增区间为. （2）， ， ， ∴， 的最大值是3. 【名师点睛】此类问题常与三角函数公式相结合，注意二倍角公式，两角和与差的正、余弦公式等，一定要将函数解析式化简为（）的形式，再根据正弦（余弦）函数的性质求解即可. 高考通关 1．（2018天津理）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C

16、．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】A 【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为.则函数的单调递增区间满足，即，令可得一个单调递增区间为.函数的单调递减区间满足：，即，令可得一个单调递减区间为：.故选A. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．（2017新课标Ⅰ理）已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是 A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

17、B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 【答案】D 【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量而言. 3．（2017新课标Ⅲ理）设函数，则下列结论错误的

18、是 A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．在(,)单调递减 【答案】D 【解析】函数的最小正周期为，则函数的周期为，取，可得函数的一个周期为，选项A正确； 函数图象的对称轴为，即，取，可得y=f(x)的图象关于直线对称，选项B正确； ，函数的零点满足，即，取，可得的一个零点为，选项C正确； 当时，，函数在该区间内不单调，选项D错误. 故选D. 【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为或的形式，则最小正周期为；奇偶性的判断关键是解析式是否为或的形式. （2）求的对称轴，只需令，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令即可.

19、4．（2017新课标Ⅱ理）函数()的最大值是 . 【答案】1 【解析】化简三角函数的解析式： ， 由自变量的范围：可得：， 当时，函数取得最大值1. 【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析. 5．（2017浙江）已知函数． （1）求的值． （2）求的最小正周期及单调递增区间． 【解析】（1）由，，． 得． 【名师

20、点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解． 你都掌握了吗？ 有哪些问题？整理一下！

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