2022年高三数学一轮复习 专项训练 三角函数（1）（含解析）

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1、2022年高三数学一轮复习 专项训练 三角函数（1）（含解析） 1、若sin α·tan α＜0，且＜0，则角α是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：由sin α·tan α＜0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限的角，由＜0，可知cos α，tan α异号．从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角． 答案：C 2、 已知一扇形的圆心角为α(α＞0)，所在圆的半径为R. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2)若扇形的周长是一

2、定值C(C＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解　(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则 α＝60°＝，R＝10，l＝×10＝(cm)， S弓＝S扇－S△＝××10－×102×sin ＝π－＝50(cm2)． (2)法一　扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝， ∴S扇＝α·R2＝α·2 ＝α·＝·≤. 当且仅当α2＝4，即α＝2 rad时，扇形面积有最大值. 法二　由已知，得l＋2R＝C， ∴S扇＝lR＝(C－2R)R＝(－2R2＋RC) ＝－2＋. 故当R＝，l＝2R，α＝2 rad时，这个扇形的面积最大，最大值为. 3．若sin α＜0且tan α＞

3、0，则α是(　　)． A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析　∵sin α＜0，则α的终边落在第三、四象限或y轴的负半轴；又tan α＞0，∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限． 答案　C 4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝______. 解析　因为sin θ＝＝－，所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8. 答案　－8 5. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α＝____.

4、解析　因为A点纵坐标yA＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－，由三角函数的定义可得cos α＝－. 答案　－ 6．函数y＝的定义域为________． 解析　 ∵2cos x－1≥0，∴cos x≥. 由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示)． ∴x∈(k∈Z)． 答案　(k∈Z) 7．(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤α<720°的元素α写出来： ①60°；②－21°. (2)试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来． 解　(1)①

5、S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－300°，60°，420°； ②S＝{α|α＝－21°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－21°，339°，699°. (2)终边在y＝－x上的角的集合是S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°. 8．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围

6、是(　　)． A．(－2,3] B．(－2,3) C．[－2,3) D．[－2,3] 解析　由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上，所以有解得－2＜a≤3. 答案　A 9．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋＝________. 解析　原式＝＋，由题意知角α的终边在第二、四象限，sin α与cos α的符号相反，所以原式＝0. 答案　0 同角三角函数关系式 1、 (1)已知tan α＝2，则＝___________， 4sin2 α－3sin αcos α－5cos2α＝________. (2)已知sin θ·cos θ＝

7、，且＜θ＜，则cos θ－sin θ的值为________． 解析　(1)＝＝＝－1， 4sin2 α－3sin αcos α－5cos2α＝ ＝＝＝1. (2)当＜θ＜时，sin θ＞cos θ， ∴cos θ－sin θ＜0， 又(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－＝， ∴cos θ－sin θ＝－. 答案　(1)－1　1　(2)－ 2、已知sin α＋cos α＝，0＜α＜π，则tan α＝______. 解析：法二　∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝2， 即1＋2sin αcos α＝，∴2sin αcos α＝

8、－， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝. ∵sin αcos α＝－＜0且0＜α＜π， ∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0， ∴sin α－cos α＝， 由得∴tan α＝－. 诱导公式 1、 (1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________. (2)设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，则f＝________. 解析　(1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin1 050° ＝－sin(3×360

9、°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°) ＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330° ＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝1. (2)∵f(α)＝ ＝＝＝， ∴f＝＝ ＝＝. 答案　(1)1　(2) 2、 (1)sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)＋tan(－1 089°)tan(－540

10、°)＝________. (2)化简：＝________. 解析　(1)原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°· sin 261°＋tan 1 089°·tan 540° ＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)· sin(270°－9°)＋tan(3×360°＋9°)·tan(360°＋180°) ＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＋tan 9°·tan 180° ＝0＋0＝0. (2)原式＝ ＝＝ ＝－＝－·＝－1. 答案　(1)0　(2)－1 4 (1)已知sin＝，则cos＝_

11、_____； (2)已知tan＝，则tan＝________. 解析　(1)∵＋＝， ∴cos＝cos＝sin＝. (2)∵＋＝π，∴tan＝ －tan＝－tan＝－. 答案　(1)　(2)－ 5、 (1)已知sin＝，则cos＝________； (2)若tan(π＋α)＝－，则tan(3π－α)＝________. 解析　(1)cos＝cos＝cos ＝－cos， 而sin＝sin＝cos＝， 所以cos＝－. (2)因为tan(π＋α)＝tan α＝－， 所以tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝. 答案　(1)－　(2) 简单的三角函数

12、计算 1、(xx·浙江卷)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α＝(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C．－ D．－ 解析：法一　(直接法)两边平方，再同时除以 cos2 α，得3tan2 α－8tan α－3＝0，tan α＝3或tan α＝－，代入tan 2α＝， 综上，tan 2α＝－.故选C. 2、已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ的值为(　　)． A. B．－ C. D．－ 解析：∵0＜θ＜，∴cos θ＞sin θ， 又(sin θ＋cos θ)

13、2＝1＋2sin θcos θ＝， ∴2sin θcos θ＝， ∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－＝， ∴sin θ－cos θ＝－. 3.sin＋cos－tan＝(　　)． A．0 B. C．1 D．－ 解析　原式＝sin(4π＋)＋cos(－10π＋)－tan(6π＋) ＝sin＋cos－tan ＝＋－1＝0. 答案　A 4．已知＝5，则sin2 α－sin αcos α的值是(　　)． A. B．－ C．－2 D．2 解析　由＝5得＝5 即tan α＝2，所以sin2 α－s

14、in αcos α＝＝＝. 答案　A 5．若sin α是5x2－7x－6＝0的根，则 ＝(　　)． 　A. B. C. D. 解析　由5x2－7x－6＝0，得x＝－或2.∴sin α＝－.∴原式＝＝＝. 答案　B 6．如果sin(π＋A)＝，那么cos的值是________． 解析　∵sin(π＋A)＝，∴－sin A＝. ∴cos＝－sin A＝. 答案　 7．已知sin＝，则cos的值为________． 解析　cos＝cos ＝－sin＝－. 答案　－ 8．已知sin＝，且－π＜α＜－，则cos＝________. 解析

15、　∵sin＝， 又－π＜α＜－， ∴＜－α＜， ∴cos＝－＝－. 答案　－ 9．已知在△ABC中，sin A＋cos A＝. (1)求sin Acos A的值； (2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A的值． 解　(1)∵sin A＋cos A＝，① ∴两边平方得1＋2sin Acos A＝， ∴sin Acos A＝－， (2)由sin Acos A＝－＜0，且0＜A＜π， 可知cos A＜0，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形． (3)∵(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A＝1＋＝， 又sin A＞0，cos A

16、＜0，∴sin A－cos A＞0， ∴sin A－cos A＝，② ∴由①，②可得sin A＝，cos A＝－， ∴tan A＝＝＝－. 10．(xx·辽宁卷)已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝(　　)． A．－1 B．－ C. D．1 解析　法一　因为sin α－cos α＝， 所以sin＝，所以sin＝1. 因为α∈(0，π)，所以α＝，所以tan α＝－1. 11．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1, 则sin α的值是(　　)． A.

17、 B. C. D. 解析　由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，又sin2α＋cos2α＝1，α为锐角． 故sin α＝. 答案　C 三角函数的图像与性质 1、函数y＝的定义域为________． (2)当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的最小值是________，最大值是________． 解析：sin x－cos x＝sin≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ，k∈Z， 解得2kπ＋≤x≤2kπ＋，

18、k∈Z. 所以定义域为. (2)y＝3－sin x－2cos2x ＝3－sin x－2(1－sin2x)＝2sin2 x－sin x＋1， 令sin x＝t∈， ∴y＝2t2－t＋1＝22＋，t∈， ∴ymin＝，ymax＝2. 答案　(1)　(2)　2 2、已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是(　　)． A．函数f(x)的最小正周期为π B．函数f(x)是偶函数 C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称 D．函数f(x)在区间上是增函数 (2)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为 (　　)．　　　　　　　　　　　

19、　　　　　　　 A. B. C. D. 解析　(1)f(x)＝sin＝－cos 2x，故其最小正周期为π，A正确；易知函数f(x)是偶函数，B正确；由函数f(x)＝－cos 2x的图象可知，函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，C错误；由函数f(x)的图象易知，函数f(x)在上是增函数，D正确，故选C. (2)由题意得3cos＝3cos ＝3cos＝0，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z， ∴φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0， 得|φ|的最小值为. 答案　(1)C　(2)A 3、函数y＝2cos2－1是 (　　)． A．最小正周期为π的奇函数 B

20、．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 解析：y＝2cos2－1＝cos＝sin 2x为奇函数，T＝＝π. 4、函数y＝2sin(3x＋φ)的一条对称轴为x＝，则φ＝________. 解析：由y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)， 所以3×＋φ＝kπ＋(k∈Z)， 得φ＝kπ＋(k∈Z)， 又|φ|＜，∴k＝0，故φ＝. 答案　(1)A　(2) 5、设函数f(x)＝sin(－2x＋φ)(0＜φ＜π)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝. (1)求φ；　(2)求函数y＝f(x)的单调区间． 解　(1)令(－2)×＋φ

21、＝kπ＋，k∈Z， ∴φ＝kπ＋，k∈Z， 又0＜φ＜π，∴φ＝. (2)由(1)得f(x)＝sin＝－sin， 令g(x)＝sin， 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 即g(x)的单调增区间为，k∈Z； 由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 即g(x)的单调减区间为(k∈Z)， 故f(x)的单调增区间为(k∈Z)； 单调减区间为(k∈Z). 6、 (xx·安徽卷)已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值； (2)讨论f(x)在区间[0，]上的单调

22、性． 解　(1)f(x)＝4cos ωx·sin(ωx＋)＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋＝2sin(2ωx＋)＋. 因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0， 从而有＝π，故ω＝1. (2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x＋)＋. 若0≤x≤，则≤2x＋≤. 当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增； 当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减． 综上可知，f(x)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减． 7、(xx·陕西卷)已知向量a＝，b＝(sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.

23、 (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在上的最大值和最小值． [规范解答]　f(x)＝·(sin x，cos 2x) ＝cos xsin x－cos 2x (2分) ＝sin 2x－cos 2x ＝sin(4分) (1)f(x)的最小正周期为T＝＝＝π， 即函数f(x)的最小正周期为π. (6分) (2)∵0≤x≤， ∴－≤2x－≤. (8分) 由正弦函数的性质，得 当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1. 当2x－＝－， 即x＝0时，f(0)＝－， 当2x－＝，即x＝时，f＝， ∴f(x)的最小值为－.(11分) 因此，f(x)在上最大值是1，

24、最小值是－.(12分) 8、已知函数f(x)＝cos＋2sinsin. (1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴； (2)求函数f(x)在区间上的值域． 解　(1)f(x)＝cos＋2sinsin ＝cos 2x＋sin 2x＋(sin x－cos x)(sin x＋cos x) ＝cos 2x＋sin 2x＋sin2x－cos2x ＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin. ∴最小正周期T＝＝π， 由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)． ∴函数图象的对称轴为x＝＋(k∈Z)． (2)∵x∈，∴2x－∈， ∴－≤sin≤1. 即函数f(x)在

25、区间上的值域为. 9．下列函数中周期为π且为偶函数的是(　　)． A．y＝sin B．y＝cos C．y＝sin D．y＝cos 解析　y＝sin＝－cos 2x为偶函数，且周期是π. 答案　A 10．已知函数f(x)＝sin －1(ω＞0)的最小正周期为，则f(x)的图象的一条对称轴方程是(　　)． A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 解析　依题意得，＝，|ω|＝3，又ω＞0，因此ω＝3，所以3x＋＝kπ＋，解得x＝＋，当k＝0时，x＝. 因此函数f(x)的图象的一条对称轴方程是x＝. 答案　A 11．若函数y＝cos(ω∈N*)的一个对称中心是，则

26、ω的最小值为(　　)． A．1 B．2 C．4 D．8 解析　依题意得cos＝0，(ω＋1)＝kπ＋，ω＝6k＋2(其中k∈Z)；又ω是正整数，因此ω的最小值是2. 答案　B 12．已知f(x)＝sin2 x＋sin xcos x，则f(x)的最小正周期和一个单调增区间分别为(　　)． A．π，[0，π] B．2π， C．π， D．2π， 解析　由f(x)＝sin2x＋sin xcos x ＝＋sin 2x ＝＋＝＋sin. ∴T＝＝π.又∵2kπ－≤2x－≤2kπ＋， ∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈

27、Z)为函数的单调递增区间．故选C. 答案　C 13．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则f等于(　　)． A．2或0 B．－2或2 C．0 D．－2或0 解析　由f＝f知，函数图象关于x＝对称，f是函数f(x)的最大值或最小值． 答案　B 14．函数y＝lg(sin x)＋的定义域为________． 解析　要使函数有意义必须有 即解得 ∴2kπ＜x≤＋2kπ(k∈Z)， ∴函数的定义域为. 答案　(k∈Z) 15、已知函数f(x)＝(sin2 x－cos2x)－2sin xcos x.

28、 (1)求f(x)的最小正周期； (2)设x∈，求f(x)的单调递增区间． 解　(1)∵f(x)＝－(cos2x－sin2 x)－2sin xcos x ＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin， ∴f(x)的最小正周期为π. (2)∵x∈，∴－≤2x＋≤π， 当y＝sin单调递减时，f(x)单调递增． ∴≤2x＋≤π，即≤x≤. 故f(x)的单调递增区间为. 16．已知函数f(x)＝a＋b. (1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间； (2)若x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值． 解　f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b

29、 ＝asin＋a＋b. (1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1， 由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)， ∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)． (2)∵0≤x≤π， ∴≤x＋≤， ∴－≤sin≤1，依题意知a≠0. (ⅰ)当a＞0时， ∴a＝3－3，b＝5. (ⅱ)当a＜0时， ∴a＝3－3，b＝8. 综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8. 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 1、已知f(x)＝sin(ω＞0)的图象与y＝－1的图象的相邻两交点间的距离为π，要得到y＝f(x)的图象，只需把y＝cos

30、 2x的图象 (　　)． A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 解析：依题意T＝π，∴T＝π＝，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋)，∴只需y＝cos 2x＝sin(2x＋)＝sin2(x＋) f(x)＝sin(2x＋)． 答案　B 2、已知函数y＝2sin.说明y＝2sin的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到． 解析：法一　把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin的图象；再把y＝sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；最后把y＝sin的图象上所有点的纵坐

31、标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象． 法二　将y＝sin x的图象上所有点的横坐标x缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin 2＝sin的图象；再将y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y＝2sin的图象． 3、函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象 如图所示，则函数f(x)的解析式为________． 解析　由图可知A＝， 法一　＝－＝，所以T＝π，故ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)， 又对应

32、五点法作图中的第三个点，因此2×＋φ＝π，所以φ＝，故f(x)＝sin. 法二　以为第二个“零点”，为最小值点， 列方程组解得 故f(x)＝sin. 答案　f(x)＝sin 4、(xx·四川卷)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是 (　　)． A．2，－ 　　　　　 B．2，－ C．4，－ 　　　　　 D．4， 解析　由图象知f(x)的周期T＝＝π，又T＝，ω>0，∴ω＝2.由于f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的一个最高点为，故有2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ－，又－<φ<，∴φ＝－

33、，选A. 答案　A 5、已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω，A>0,0<φ<)的最大值为2，最小正周期为π，直线x＝是其图象的一条对称轴． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数g(x)＝f－f的单调递增区间． 解　(1)由题意，得A＝2，ω＝＝2， 当x＝时，2sin＝±2， 即sin＝±1，所以＋φ＝kπ＋， 解得φ＝kπ＋，又0＜φ＜，所以φ＝. 故f(x)＝2sin. (2)g(x)＝2sin－2sin ＝2sin 2x－2sin ＝2sin 2x－2 ＝sin 2x－cos 2x＝2sin. 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

34、得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以函数g(x)的单调递增区间是，k∈Z. 6、已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为. (1)求f的值； (2)求函数y＝f(x)＋f的最大值及对应的x的值． 解　(1)f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ) ＝2 ＝2sin. 因为f(x)为偶函数， 则φ－＝＋kπ(k∈Z)，所以φ＝＋kπ(k∈Z)，又因为0＜φ＜π，所以φ＝， 所以f(x)＝2sin＝2cos ωx. 由题意得＝2·，所以ω＝2. 故f(x)＝2cos 2x.

35、因此f＝2cos ＝. (2)y＝2cos 2x＋2cos 2 ＝2cos 2x＋2cos＝2cos 2x－2sin 2x ＝2sin. 令－2x＝2kπ＋(k∈Z)，y有最大值2， 所以当x＝－kπ－(k∈Z)时，y有最大值2. 7．如果函数f(x)＝sin(πx＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期为T，且当x＝2时，f(x)取得最大值，那么(　　)． A．T＝2，θ＝ B．T＝1，θ＝π C．T＝2，θ＝π D．T＝1，θ＝ 解析　T＝＝2，当x＝2时，由π×2＋θ＝＋2kπ(k∈Z)，得θ＝－＋2kπ(k∈Z)，又0＜θ＜2π，∴θ＝. 答案　A 8．已知函数y＝

36、Asin(ωx＋φ)＋k的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为(　　)． A．y＝4sin B．y＝2sin＋2 C．y＝2sin＋2 D．y＝2sin＋2 解析　由题意得解得 又函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最小正周期为， 所以ω＝＝4，所以y＝2sin(4x＋φ)＋2. 又直线x＝是函数图象的一条对称轴， 所以4×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)， 故可得y＝2sin＋2符合条件，所以选D. 答案　D 9．如图是函数y＝sin(ωx＋φ)在区间上的图象，将该图象向右平移m(m＞0

37、)个单位后，所得图象关于直线x＝对称，则m的最小值为(　　)． A. B. C. D. 解析　令f(x)＝y＝sin(ωx＋φ)，由三角函数图象知，T＝π＋＝π，所以＝π，所以ω＝2.因为函数f(x)过点，且0＜φ＜，所以－×2＋φ＝0，所以φ＝，所以f(x)＝sin，将该函数图象向右平移m个单位后，所得图象的解析式是g(x)＝sin，因为函数g(x)的图象关于直线x＝对称，所以2×＋－2m＝＋kπ(k∈Z)，解得m＝－(k∈Z)，又m＞0，所以m的最小值为. 答案　B 10.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象

38、如图所示， 则ω＝________. 解析　由图象可以看出T＝π，∴T＝π＝，因此ω＝3. 答案　3 11．设函数f(x)＝sin，则下列命题： ①f(x)的图象关于直线x＝对称；②f(x)的图象关于点对称；③f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数；④把f(x)的图象向右平移个单位，得到一个奇函数的图象． 其中正确的命题为________(把所有正确命题的序号都填上)． 解析　对于①，f＝sin＝sin＝，不是最值，所以x＝不是函数f(x)的图象的对称轴，该命题错误；对于②，f＝sin＝1≠0，所以点不是函数f(x)的图象的对称中心，故该命题错误；对于③，函数f(x)的周期为T

39、＝＝π，当x∈时，令t＝2x＋∈，显然函数y＝sin t在上为增函数，故函数f(x)在上为增函数，所以该命题正确；对于④，把f(x)的图象向右平移个单位后所对应的函数为g(x)＝sin＝sin 2x，是奇函数，所以该命题正确．故填③④. 答案　③④ 12.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的周期为π，且图象上有一个最低点为M. (1)求f(x)的解析式； (2)求使f(x)＜成立的x的取值集合． 解　(1)由题意知：A＝3，ω＝2， 由3sin＝－3, 得φ＋＝－＋2kπ，k∈Z， 即φ＝＋2kπ，k∈Z. 而0＜φ＜，所以k＝1，φ＝. 故f(x)＝3sin. (

40、2)f(x)＜等价于3sin ＜， 即sin＜， 于是2kπ－＜2x＋＜2kπ＋(k∈Z)， 解得kπ－＜x＜kπ(k∈Z)， 故使f(x)＜成立的x的取值集合为. 13．已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2sin2 x－1，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)将函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在区间上的值域． 解　(1)因为f(x)＝2sin xcos x＋2sin2x－1 ＝sin 2x－cos 2x＝2sin， ∴函

41、数f(x)的最小正周期为T＝π， 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， ∴－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， ∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z. (2)函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，得到y＝2sin； 再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到g(x)＝2sin＝2sin＝2cos 4x， 当x∈时，4x∈， 所以当x＝0时，g(x)max＝2， 当x＝－时，g(x)min＝－1. ∴y＝g(x)在区间上的值域为[－1,2]． 14、定义＝a1a4－a2a3，若函数f(x)＝，则将f(x)的图象向右平移个单位所得曲线的一条对称轴的方程是(

42、　　)． A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝π 解析　由定义可知，f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin，将f(x)的图象向右平移个单位得到y＝2sin＝2sin，由2x－＝＋kπ(k∈Z)，得对称轴为x＝＋(k∈Z)，当k＝－1时，对称轴为x＝－＝. 答案　A 15．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点，则函数解析式f(x)＝________. 解析　据已知两个相邻最高和最低点距离为2，可得＝2，解得T＝4，故ω＝＝，即f(x)＝sin，又函数图象过点，故f(2)＝sin＝－sin φ＝－，又－≤φ≤，解得φ＝，

43、故f(x)＝sin. 答案　sin 16．已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx＋cos 2ωx－(ω＞0)，其最小正周期为. (1)求f(x)的表达式； (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围． 解　(1)f(x)＝sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－ ＝sin 2ωx＋－＝sin， 由题意知f(x)的最小正周期T＝，T＝＝＝， 所以ω＝2，所以f(x)＝sin. (2)将f(x)的图象向右平移个单位后

44、，得到y＝sin的图象；再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，所以g(x)＝sin， 因为0≤x≤，所以－≤2x－≤，所以g(x)∈ 又g(x)＋k＝0在区间上有且只有一个实数解，即函数y＝g(x)与y＝－k在区间上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－≤－k＜或－k＝1， 解得－＜k≤或k＝－1， 所以实数k的取值范围是∪{－1}. 17．若角α的终边经过点P(1，－2)，则tan 2α的值为(　　)． A．－ B. C. D．－ 解析　tan α＝＝－2， tan 2α＝＝＝. 答

45、案　B 18．函数y＝(sin x＋cos x)(sin x－cos x)是(　　)． A．奇函数且在上单调递增 B．奇函数且在上单调递增 C．偶函数且在上单调递增 D．偶函数且在上单调递增 解析　y＝(sin x＋cos x)(sin x－cos x)＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，∴函数是偶函数且在上单调递增． 答案　C 19．函数f(x)＝sin xsin的最小正周期为(　　)． A．4π B．2π C．π D. 解析　f(x)＝sin xsin＝sin xcos x＝sin 2x， 故最小正周期为T＝＝π. 答案　C 20．要得到函数y＝sin

46、的图象，只要将函数y＝sin 2x的图象(　　)． A．向左平移单位 B．向右平移单位 C．向右平移单位 D．向左平移单位 解析　y＝sin 2xy＝sin 2＝sin. 答案　C 21、已知f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的表达式为(　　)． A．f(x)＝2sin B．f(x)＝2sin C．f(x)＝2sin D．f(x)＝2sin 解析　由函数的部分图象可知T＝－，则T＝，结合选项知ω>0，故ω＝＝，排除C，D；又因为函数图象过点，代入验证可知只有B项满足条件． 答案　B 22．将函数f(x)＝3sin图象上所有点的横坐标伸长

47、到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则y＝g(x)图象的一条对称轴是(　　)． A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 解析　将函数f(x)＝3sin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝3sin，再向右平移个单位长度，得到y＝3sin＝3sin，即g(x)＝3sin.当2x－＝kπ＋时，解得x＝kπ＋，又当k＝0时，x＝，所以x＝是一条对称轴，故选C. 答案　C 23．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是(　　)． A.，k∈Z B

48、.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 解析　f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin，由题设知f(x)的最小正周期为T＝π，所以ω＝2，即f(x)＝2sin.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得，kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，故选C. 答案　C 24. 如图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的一部分，则其函数解析式是________． 解析　由图象知A＝1，＝－＝，得T＝2π，则ω＝1，所以y＝sin(x＋φ)． 由图象过点，可得φ＝2kπ＋(k∈Z)， 又|φ|＜， 所以φ＝，所以所求函数解析式是y＝sin. 答案　y＝sin 25．(xx·辽

49、宁卷)设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈. (1)若|a|＝|b|，求x的值； (2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值． 解　(1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1， 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1. 又x∈，从而sin x＝， 所以x＝. (2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x ＝sin 2x－cos 2x＋ ＝sin＋， 当x＝∈时，sin取最大值1. 所以f(x)的最大值为. 26．已知函数f(x)＝1＋sin

50、xcos x. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)若tan x＝2，求f(x)的值． 解　(1)已知函数可化为f(x)＝1＋sin 2x， 所以T＝＝π， 令＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)， 则＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 即函数f(x)的单调递减区间是(k∈Z)． (2)由已知f(x)＝ ＝， ∴当tan x＝2时，f(x)＝＝. 27．已知m＝(asin x，cos x)，n＝(sin x，bsin x)，其中a，b，x∈R.若f(x)＝m·n满足f＝2，且f(x)的导函数f′(x)的图象关于直线x＝对称． (1)求a，b的值； (2)

51、若关于x的方程f(x)＋log2k＝0在区间上总有实数解，求实数k的取值范围． 解　(1)f(x)＝m·n＝asin2x＋bsin xcos x. 由f＝2，得a＋b＝8.① ∵f′(x)＝asin 2x＋bcos 2x，且f′(x)的图象关于直线x＝对称， ∴f′(0)＝f′， ∴b＝a＋b，即b＝a.② 由①②得，a＝2，b＝2. (2)由(1)得f(x)＝1－cos 2x＋sin 2x ＝2sin＋1. ∵x∈， ∴－≤2x－≤， ∴－≤sin ≤1， ∴0≤2sin＋1≤3，即f(x)∈[0,3]． 又f(x)＋log2k＝0在上有解， 即f(x)＝－log

52、2k在上有解， ∴－3≤log2k≤0，解得≤k≤1，即k∈. 函数图像平移 1、将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为 (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D．－ [正解]　y＝sin(2x＋φ)y＝sin＝sin，则由＋φ＝＋kπ(k∈Z)，根据选项检验可知φ的一个可能取值为.故选B. 答案　B 2、将函数y＝sin 2x＋cos 2x的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式可以是 (　　)． A．y＝cos 2x＋sin

53、 2x B．y＝cos 2x－sin 2x C．y＝sin 2x－cos 2x D．y＝sin xcos x 解析　y＝sin 2x＋cos 2x＝siny＝sin ＝sin ＝cos ＝cos 2x－sin 2x. 答案　B 3．把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为(　　)． A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝ 解析　将y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin；再将图象向右平移个单位，得到函数y＝sin＝sin，x＝－是其图象的一条对称轴方程． 答案　A 4．函数f(x)＝sin(2x＋φ)向左平移个单位后是奇函数，则函数f(x)在上的最小值为(　　)． A．－ B．－ C. D. 解析　函数f(x)＝sin(2x＋φ)向左平移个单位后得到函数为f＝sin＝sin，因为此时函数为奇函数，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝－＋kπ(k∈Z)．因为|φ|＜，所以当k＝0时，φ＝－，所以f(x)＝sin.当0≤x≤时，－≤2x－≤，即当2x－＝－时，函数f(x)＝sin有最小值为sin＝－. 答案　A