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1、2022年高三第二次月考 数学理试题 含答案
数学(理科)试题
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 则=（ ）
A． B． C． D．
2.若,则定义域为（ ）
A． B． C． D．
3.已知幂函数的图象过点(),则的值为（ ）
A． B．- C． D．
4.设函数,则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5.已知集合;,则中所含元素的个
数为( )
A． B． C． D．
2、
6.使命题“对任意的”为真命题的一个充分不必要条件为（ ）
A． B． C． D．
7. 已知函数则（ ）
A． B． C． D．
8.已知函数是定义在R上的增函数,函数的图像关于对称.若任
意的,不等式恒成立,则当时,
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9.已知函数在R上是单调函数,且满足对任意,都有,若则
的值是（ ）
A．3 B．7 C．9 D．12
10.设函数,则函数的零点的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3、
二．填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上.
11. 已知为奇函数,当时,,则______.
12.已知，那么= _________________.
13.若函数,(且)的值域为R,则实数的取值范围是__________;
考生注意：14～16题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．
14.如图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3过C作圆的切线l，则点A直线l的距离AD=_____________________
15．在极坐标系中，点A的极坐标是(，π)，点P是曲线C：ρ＝2sin θ上
4、与点A距离最大的点，则点P的极坐标是_________________
16.若不等式|x＋1|＋|x－4|≥a＋a(4)对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是_________
三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.
17. 已知
(Ⅰ)若,求;
(Ⅱ)若,求实数a的取值范围.
18. 已知函数,曲线在点处切线方程为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的极大值
19.一个口袋中装有大小形状完全相同的张卡片,其中一张卡片上标有数字1,二张卡片上标有数字2,其余n张卡片上均标有数字3(), 若从这个口袋中随机地抽出二张卡片,恰有一
5、张卡片上标有数字2的概率是,
(Ⅰ)求n的值
(Ⅱ) 从口袋中随机地抽出2张卡片,设ξ表示抽得二张卡片所标的数字之和,求ξ的分布列和关于ξ的数学期望Eξ
20.定义在上的函数,如果满足:对任意,存在常数,都有成立,则称是上的有界函数,其中称为函数的上界.已知函数;
(I)当时,求函数在上的值域,并判断函数在上是否为有界函数,请说明理由;
(Ⅱ)若函数在上是以3为上界的有界函数,求实数的取值范围;
21.设函数.
(Ⅰ)求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根,求实数的取值范围.
22. 设
(Ⅰ)若对一切恒成立,求
6、的最大值.
(Ⅱ)设,且是曲线上任意两点,若对任意的,直线AB的斜率恒大于常数,求的取值范围;
(Ⅲ)求证:.
参考答案
1-10:BAADD,CDBCD
11.-2 12. 13. 14. 15. 16.
17.解:(Ⅰ)当a=1时,
∴
(Ⅱ)
且
18.【解析】(Ⅰ)=.
由已知得=4,=4,故,=8,从而=4,;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,=,
==,
令=0得,=或=-2,
∴当
7、时,>0,当∈(-2,)时,<0,
∴在(-∞,-2),(,+∞)单调递增,在(-2,)上单调递减.
当=-2时,函数取得极大值,极大值为
19.解(Ⅰ).由题设,即,解得
(Ⅱ) ξ取值为3,4,5,6.
则; ; ;
ξ的分布列为:
∴Eξ=
20.解:(I)当时,
因为在上递减,所以,即在的值域为
故不存在常数,使成立
所以函数在上不是有界函
8、数
(Ⅱ)由题意知,在上恒成立.
,
∴ 在上恒成立
∴
设,,,由得 t≥1,
(设,
所以在上递减,在上递增, (单调性不证,不扣分))
在上的最大值为, 在上的最小值为
所以实数的取值范围为
方法2:∵,
∴
即,
令, ∵,且,
由.
∴在区间内单调递增,在区间内单调递减
∵,,,
又,
故在区间内恰有两个相异实根.
即.
综上所述,的取值范围是
22.解:(Ⅰ)∵f(x)=ex-a(x+1),∴f′(x)=ex-a, ∵a>0,f′(x)=ex-a=0的解为x=lna.
∴f(x)min=f(lna)=a-a(lna+1)=-alna, ∵f(x)≥0对一切x∈R恒成立,
∴-alna≥0,∴alna≤0,∴amax=1
(II)设是任意的两实数,且
,故
不妨令函数,则上单调递增,
,恒成立
=
故
(III)由(1) 知ex≥x+1,取x=,得1-
即
累加得
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