2022年高二下学期第三次月考数学试卷（文科） 含解析(I)

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1、2022年高二下学期第三次月考数学试卷（文科） 含解析(I) 　 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，点的直角坐标是（　　） A． B． C． D． 2．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为（　　） A．6 B．12 C．18 D．16 3．命题“∃x∈R，x3﹣2x+1=0”的否定是（　　） A．∃x∈R，x3﹣2x

2、+1≠0 B．不存在x∈R，x3﹣2x+1≠0 C．∀x∈R，x3﹣2x+1=0 D．∀x∈R，x3﹣2x+1≠0 4．若a、b为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则直线a⊥平面α的一个充分不必要条件是（　　） A．a∥β且α⊥β B．a⊂β且α⊥β C．a⊥b且b∥α D．a⊥β且α∥β 5．直线3x+4y+10=0和圆的位置关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交但不过圆心 D．相交且过圆心 6．已知命题p：x2﹣2x﹣3≥0；命题q：0＜x＜4．若q是假命题，p∨q是真命题，则实数x的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞） B．（﹣∞，﹣1

3、]∪[3，+∞） C．[﹣1，0]∪[3，4] D．（﹣∞，0]∪[3，+∞） 7．执行题图的程序框图，则输出的结果为（　　） A．66 B．64 C．62 D．60 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　） A． B． C．8 D．4 9．如图，在半径为的圆O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为（　　） A．5 B． C． D．4 10．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC=（　　） A． B． C． D．4 11．

4、已知点P为双曲线的右支上一点，F1、F2为双曲线的左、右焦点，若，且△PF1F2的面积为2ac（c为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（　　） A． +1 B． +1 C． +1 D． +1 12．设f（x）是R上的连续可导函数，当x≠0时，，则函数的零点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 　 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知复数z=，则它的共轭复数=　　　　　　． 14．经调查某地若干户家庭的年收入x（万元）和年饮食支出y（万元）具有线性相关关系，并得到y关于x的线性回归直线方程： =0.254x+0.321，由回归直线方程可知，

5、家庭年收入每增加l万元，年饮食支出平均增加　　　　　　万元． 15．球O的球面上有三点A，B，C，且BC=3，∠BAC=30°，过A，B，C三点作球O的截面，球心O到截面的距离为4，则该球的体积为　　　　　　． 16．如图，半径为5cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1cm的小圆区域，现将半径为1cm的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币随机完全落在纸板内，则硬币与小圆无公共点的概率为　　　　　　． 　 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A的极坐标为（，

6、），直线的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线上． （1）求a的值及直线的直角坐标方程； （2）圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线与圆的位置关系． 18．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示． （1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？ （2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取

7、2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率． 19．如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD． （Ⅰ）证明PQ⊥平面DCQ； （Ⅱ）求棱锥Q﹣ABCD的体积与棱锥P﹣DCQ的体积的比值． 20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）． （1）求椭圆的标准方程； （2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若kAC•kBD=﹣， （i） 求•的最值． （ii） 求证：四边形ABCD的面积为定值． 21．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）． （1）当a=﹣4时，求

8、函数f（x）在[1，e]上的最大值及相应的x值； （2）当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0根的个数． （3）若a＞0，且对任意的x1，x2∈[1，e]，都有，求实数a的取值范围． 　 [选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，△ABC内接于圆O，AB=AC，AD⊥AB，AD交BC于点E，点F在DA的延长线上，AF=AE．求证： （1）BF是圆O的切线； （2）BE2=AE•DF． 　 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐

9、标系中，点的直角坐标是（　　） A． B． C． D． 【考点】简单曲线的极坐标方程． 【分析】由极值坐标点（ρ，θ）的直角坐标，将M点坐标代入即可求得答案． 【解答】解：在坐标点的直角坐标，解得：， ∴M（1，）， 故答案选：B． 　 2．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为（　　） A．6 B．12 C．18 D．16 【考点】分层抽样方法． 【分析】根据四个专业各有的人数，得到本校的总人数，根据要抽取的人数，得到每个个体被抽到

10、的概率，利用丙专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到丙专业要抽取的人数． 【解答】解：∵高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生 ∴本校共有学生150+150+400+300=1000， ∵用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查 ∴每个个体被抽到的概率是=， ∵丙专业有400人， ∴要抽取400×=16 故选D． 　 3．命题“∃x∈R，x3﹣2x+1=0”的否定是（　　） A．∃x∈R，x3﹣2x+1≠0 B．不存在x∈R，x3﹣2x+1≠0 C．∀x∈R，x3﹣2x+1=0 D．∀x∈R，x3﹣2x+1≠0 【考点】命

11、题的否定． 【分析】因为特称命题“∃x∈R，x3﹣2x+1=0”，它的否定：∀x∈R，x3﹣2x+1≠0即可得答案 【解答】解：“∃x∈R，x3﹣2x+1=0”属于特称命题，它的否定为全称命题， 从而答案为：∀x∈R，x3﹣2x+1≠0． 故选D． 　 4．若a、b为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则直线a⊥平面α的一个充分不必要条件是（　　） A．a∥β且α⊥β B．a⊂β且α⊥β C．a⊥b且b∥α D．a⊥β且α∥β 【考点】平面的基本性质及推论；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】若a⊥β且α∥β，则有a⊥α，反之不成立，于是，“a⊥β且α∥

12、β”是“a⊥α”成立的充分不必要条件． 【解答】解：若a⊥β且α∥β，则有a⊥α， 反之不成立， 于是，“a⊥β且α∥β”是“a⊥α”成立的充分不必要条件， 故选D． 　 5．直线3x+4y+10=0和圆的位置关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交但不过圆心 D．相交且过圆心 【考点】圆的参数方程． 【分析】求出圆的普通方程，得出圆心和半径，计算圆心到直线的距离，比较距离与半径的关系得出结论． 【解答】解：圆的普通方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=25， ∴圆的圆心为（2，1），半径r=5． 圆心到直线的距离d==4． ∵0＜d＜r， ∴直线与圆相交但不过圆

13、心． 故选：C． 　 6．已知命题p：x2﹣2x﹣3≥0；命题q：0＜x＜4．若q是假命题，p∨q是真命题，则实数x的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） C．[﹣1，0]∪[3，4] D．（﹣∞，0]∪[3，+∞） 【考点】复合命题的真假． 【分析】解出命题p．由q是假命题，p∨q是真命题，可得p是真命题，即可得出． 【解答】解：命题p：x2﹣2x﹣3≥0，解得x≥3或x≤﹣1； 命题q：0＜x＜4． 由q是假命题，p∨q是真命题， 可得p是真命题，∴， 解得x≥4或x≤﹣1． 则实数x的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[4

14、，+∞）． 故选：A． 　 7．执行题图的程序框图，则输出的结果为（　　） A．66 B．64 C．62 D．60 【考点】程序框图． 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=21+22+23+24+25的值，并输出． 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是： 累加S=21+22+23+24+25的值， ∵S=21+22+23+24+25=62． 故选C． 　 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　） A． B． C．8 D．4 【

15、考点】由三视图求面积、体积． 【分析】根据三视图得出几何体为放倒的直三棱柱，底面为正视图，高为2，即可求出该几何体的表面积． 【解答】解：根据三视图得出几何体为放倒的直三棱柱，底面为正视图，高为2， ∴该几何体的表面积为+2×2×2+2×=12+4， 故选：A． 　 9．如图，在半径为的圆O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为（　　） A．5 B． C． D．4 【考点】与圆有关的比例线段． 【分析】首先利用相交弦定理求出CD的长，再利用勾股定理求出圆心O到弦CD的距离，注意计算的正确率． 【解答】解：由相交弦定理得，AP×PB

16、=CP×PD， ∴2×2=CP•1， 解得：CP=4，又PD=1， ∴CD=5， 又⊙O的半径为， 则圆心O到弦CD的距离为d==． 故选：B． 　 10．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC=（　　） A． B． C． D．4 【考点】与圆有关的比例线段． 【分析】由已知条件推导出△ABC∽△CDE，从而BC2=AB•DE=12，由此能求出BC的值． 【解答】解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．即AC⊥BD． 又∵BC=CD，∴AB=AD，∴∠D=∠ABC，∠EAC=∠B

17、AC． ∵CE与⊙O相切于点C，∴∠ACE=∠ABC．∴∠AEC=∠ACB=90°． ∴△CED∽△ACB． ∴， 又CD=BC， ∴BC==2． 故选：B． 　 11．已知点P为双曲线的右支上一点，F1、F2为双曲线的左、右焦点，若，且△PF1F2的面积为2ac（c为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（　　） A． +1 B． +1 C． +1 D． +1 【考点】双曲线的简单性质；向量在几何中的应用． 【分析】先由得出△F1PF2是直角三角形得△PF1F2的面积，再把等量关系转化为用a，c来表示即可求双曲线C的离心率． 【解答】解：先由得出： △F1PF2是直角

18、三角形， △PF1F2的面积=b2cot45°=2ac 从而得c2﹣2ac﹣a2=0，即e2﹣2e﹣1=0， 解之得e=1±， ∵e＞1，∴e=1+． 故选：A． 　 12．设f（x）是R上的连续可导函数，当x≠0时，，则函数的零点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理． 【分析】由题意可得，x≠0，因而 g（x）的零点跟 xg（x）的非零零点是完全一样的．当x＞0时，利用导数的知识可得xg（x）在（0，+∞）上是递增函数，xg（x）＞1恒成立，可得xg（x）在（0，+∞）上无零点．同理可得xg（x）在（﹣∞，0

19、）上也无零点，从而得出结论． 【解答】解：由于函数g（x）=f（x）+，可得x≠0， 因而 g（x）的零点跟 xg（x）的非零零点是完全一样的， 故我们考虑 xg（x）=xf（x）+1 的零点． 由于当x≠0时，， ①当x＞0时，（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（）＞0， 所以，在（0，+∞）上，函数x•g（x）单调递增函数． 又∵ [xf（x）+1]=1， ∴在（0，+∞）上， 函数 x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立， 因此，在（0，+∞）上，函数 x•g（x）=xf（x）+1 没有零点． ②当x＜0时，由于（x•g（x））′=（

20、xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（）＜0， 故函数 x•g（x）在（﹣∞，0）上是递减函数，函数 x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立， 故函数 x•g（x）在（﹣∞，0）上无零点． 综上可得，函数g（x）=f（x）+在R上的零点个数为0， 故选：A． 　 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知复数z=，则它的共轭复数=　﹣2﹣i　． 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则它的共轭复数可求． 【解答】解：z==， 则它的共轭复数=﹣2﹣i． 故答案为：﹣2﹣i． 　 14．经调查某

21、地若干户家庭的年收入x（万元）和年饮食支出y（万元）具有线性相关关系，并得到y关于x的线性回归直线方程： =0.254x+0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加l万元，年饮食支出平均增加　0.254　万元． 【考点】回归分析的初步应用． 【分析】写出当自变量增加1时的预报值，用这个预报值去减去自变量x对应的值，即可得到家庭年收入每增加 1万元，年饮食支出平均增加的数字． 【解答】解：∵y关于x的线性回归直线方程： =0.254x+0.321① ∴年收入增加l万元时，年饮食支出y=0.254（x+1）+0.321② ②﹣①可得：年饮食支出平均增加0.254万元 故答案为：0

22、.254 　 15．球O的球面上有三点A，B，C，且BC=3，∠BAC=30°，过A，B，C三点作球O的截面，球心O到截面的距离为4，则该球的体积为　　． 【考点】球的体积和表面积． 【分析】根据正弦定理，求出△ABC的外接圆半径r，进而根据球心O到截面的距离d=4，结合R=求出球的半径，代入球的体积公式，可得答案． 【解答】解：∵△ABC中BC=3，∠BAC=30°， ∴△ABC的外接圆半径r满足： 2r==6． 故r=3． 又∵球心O到截面的距离d=4， ∴球的半径R==5． 故球的体积V==， 故答案为： 　 16．如图，半径为5cm的圆形纸板内有一个相同圆心

23、的半径为1cm的小圆区域，现将半径为1cm的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币随机完全落在纸板内，则硬币与小圆无公共点的概率为　　． 【考点】几何概型． 【分析】由题意可得，硬币要落在纸板内，硬币圆心距离纸板圆心的距离应该小于7．硬币与小圆无公共点，硬币圆心距离小圆圆心要大于2，先求出硬币落在纸板上的面积，然后再求解硬币落下后与小圆没交点的区域的面积，代入古典概率的计算公式可求． 【解答】解：记“硬币落下后与小圆无公共点”为事件A 硬币要落在纸板内，硬币圆心距离纸板圆心的距离应该小于4，其面积为16π 无公共点也就意味着，硬币的圆心与纸板的圆心相距超过2cm 以纸板的圆心为圆心，

24、作一个半径2cm的圆，硬币的圆心在此圆外面，则硬币与半径为1cm的小圆无公共点，此半径为2的圆面积是4π 所以有公共点的概率为=，无公共点的概率为P（A）=1﹣=． 故答案为：． 　 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A的极坐标为（，），直线的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线上． （1）求a的值及直线的直角坐标方程； （2）圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线与圆的位置关系． 【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．

25、【分析】（1）运用代入法，可得a的值；再由两角差的余弦公式和直角坐标和极坐标的关系，即可得到直角坐标方程； （2）求得圆的普通方程，求得圆的圆心和半径，由点到直线的距离公式计算即可判断直线和圆的位置关系． 【解答】解：（1）由点A（，）在直线ρcos（θ﹣）=a上，可得a=cos0=， 所以直线的方程可化为ρcosθ+ρsinθ=2， 从而直线的直角坐标方程为x+y﹣2=0， （2）由已知得圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1， 所以圆心为（1，0），半径r=1， ∴圆心到直线的距离d==＜1， 所以直线与圆相交． 　 18．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召

26、义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示． （1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？ （2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率． 【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式． 【分析】（1）先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案； （2）利用古典概型

27、的概率计算公式、互斥事件及相互独立事件的概率计算公式即可得出． 【解答】解：（1）第3，4，5组中的人数分别为0.06×5×100=30，0.04×5×100=20，0.02×5×100=10． 从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者，应从第3，4，5组各抽取人数为，， =1； （2）设“第4组至少有一名志愿者被抽中”为事件A，则P（A）==． 　 19．如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD． （Ⅰ）证明PQ⊥平面DCQ； （Ⅱ）求棱锥Q﹣ABCD的体积与棱锥P﹣DCQ的体积的比值． 【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱

28、锥、棱台的体积． 【分析】（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理证明本题是解决本题的关键，要在平面中寻找与已知直线垂直的两条相交直线，进行线面关系的互相转化； （Ⅱ）利用体积的计算方法将本题中的体积计算出来是解决本题的关键，掌握好锥体的体积计算公式． 【解答】解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形， 因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD 又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC 在直角梯形PDAQ中可得，则PQ⊥DQ，又DQ∩DC=D， 所以PQ⊥平面DCQ； （Ⅱ）设AB=a， 由题设知AQ为棱锥Q﹣ABCD的高，所以棱

29、锥Q一ABCD的体积 由（Ⅰ）知PQ为棱锥P﹣DCQ的高而PQ=．△DCQ的面积为． 所以棱锥P﹣DCQ的体积 故棱锥Q﹣ABCD的体积与棱锥P﹣DCQ的体积的比值为1：l． 　 20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）． （1）求椭圆的标准方程； （2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若kAC•kBD=﹣， （i） 求•的最值． （ii） 求证：四边形ABCD的面积为定值． 【考点】直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程． 【分析】（1）把点代入椭圆的方程，得到，由离心率，再由a2=

30、b2+c2， 联立即可得到a2、b2、c2； （2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），设kAC=k，由kAC•kBD=﹣=﹣，可得． 把直线AC、BD的方程分别与椭圆的方程联立解得点A，B，的坐标，再利用数量积即可得到关于k的表达式，利用基本不等式的性质即可得出最值； （ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB，得到=4，代入计算即可证明． 【解答】解：（1）由题意可得，解得， ∴椭圆的标准方程为． （2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设x1＞0，x2＞0． 设kAC=k，∵kAC•kBD=﹣=﹣，∴

31、． 可得直线AC、BD的方程分别为y=kx，． 联立，． 解得，． ∴=x1x2+y1y2===2，当且仅当时取等号． 可知：当x1＞0，x2＞0时，有最大值2． 当x1＜0，x2＜0．有最小值﹣2． ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB． ∴=4=4=4 =4==128， ∴四边形ABCD的面积=为定值． 　 21．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）． （1）当a=﹣4时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值及相应的x值； （2）当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0根的个数． （3）若a＞0，

32、且对任意的x1，x2∈[1，e]，都有，求实数a的取值范围． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；不等式的证明． 【分析】（1）把a=﹣4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点把给出的定义[1，e]分段，判出在各段内的单调性，从而求出函数在[1，e]上的最大值及相应的x值； （2）把原函数f（x）=alnx+x2求导，分a≥0和a＜0讨论打哦函数的单调性，特别是当a＜0时，求出函数f（x）在[1，e]上的最小值及端点处的函数值，然后根据最小值和F（e）的值的符号讨论在x∈[1，e]时，方程f（x）=0根的个数； （3）a＞0判出函数f（x）=aln

33、x+x2在[1，e]上为增函数，在规定x1＜x2后把转化为f（x2）+＜f（x1）+，构造辅助函数G（x）=f（x）+，由该辅助函数是减函数得其导函数小于等于0恒成立，分离a后利用函数单调性求a的范围． 【解答】解：（1）当a=﹣4时，f（x）=﹣4lnx+x2，函数的定义域为（0，+∞）． ． 当x∈时，f′（x）0， 所以函数f（x）在上为减函数，在上为增函数， 由f（1）=﹣4ln1+12=1，f（e）=﹣4lne+e2=e2﹣4， 所以函数f（x）在[1，e]上的最大值为e2﹣4，相应的x值为e； （2）由f（x）=alnx+x2，得． 若a≥0，则在[1，e]上f′（

34、x）＞0，函数f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数， 由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的个数是0； 若a＜0，由f′（x）=0，得x=（舍），或x=． 若，即﹣2≤a＜0，f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数， 由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的个数是0； 若，即a≤﹣2e2，f（x）=alnx+x2在[1，e]上为减函数， 由f（1）=1，f（e）=alne+e2=e2+a≤﹣e2＜0， 所以方程f（x）=0在[1，e]上有1个实数根； 若，即﹣2e2＜a＜﹣2， f（x）在上为减函数，在上为增函数， 由f（1）=1＞0，f（e）=

35、e2+a． =． 当，即﹣2e＜a＜﹣2时，，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是0． 当a=﹣2e时，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是1． 当﹣e2≤a＜﹣2e时，，f（e）=a+e2≥0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是2． 当﹣2e2＜a＜﹣e2时，，f（e）=a+e2＜0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是1； （3）若a＞0，由（2）知函数f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数， 不妨设x1＜x2，则变为f（x2）+＜f（x1）+，由此说明函数G（x）=f（x）+在[1，e]单调递减，所以G′（x）=≤0对x∈[1，e]恒成立，

36、即a对x∈[1，e]恒成立， 而在[1，e]单调递减，所以a． 所以，满足a＞0，且对任意的x1，x2∈[1，e]，都有成立的实数a的取值范围不存在． 　 [选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，△ABC内接于圆O，AB=AC，AD⊥AB，AD交BC于点E，点F在DA的延长线上，AF=AE．求证： （1）BF是圆O的切线； （2）BE2=AE•DF． 【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明． 【分析】（1）连接BD，证明BF是⊙O的切线，只需证明∠FBD=90°； （2）由切割线定理可得BF2=AF•DF，利用AF=AE，BE=BF，可得结论． 【解答】证明：（1）连接BD，则 ∵AD⊥AB， ∴BD是⊙O的直径， ∵AF=AE， ∴∠FBA=∠EBA， ∵AB=AC， ∴∠FBA=∠C， ∵∠C=∠D，∠D+∠ABD=90°， ∴∠FBA+∠ABD=90°，即∠FBD=90°， ∴BF是⊙O的切线； （2）由切割线定理可得BF2=AF•DF， ∵AF=AE，BE=BF， ∴BE2=AE•DF． 　 xx9月5日