2022年高二数学下学期期中试题 理(VIII)

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1、2022年高二数学下学期期中试题 理(VIII) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案涂在答题卡上)。 1．复数2＝(　 ) （A）－3－4i　　 （B）－3＋4i （C）3－4i （D）3＋4i 2．函数的导数为（ ） （A） （B） （C） （D） 3．设函数f(x)＝ax＋2，若f′(1)＝3，则a＝(　　) （A）2 （B）－2 （C）3 （D）－3 4．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一

2、个钝角”时，假设正确的是（ ） （A）假设至少有一个钝角 　（B）假设至少有两个钝角　　 （Ｃ）假设没有一个钝角　　（Ｄ）假设没有一个钝角或至少有两个钝角 5．i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b的值是(　　) （A）0 （B） （C）1 （D）2 6．函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为 (　　) （A）(－∞，－1]和[0,1] （B）[－1,0]和[1，＋∞) （C）[－1,1] （D）(－∞，－1]和[1，＋∞) 7

3、．函数在处有极值10, 则点为 （　 ） （A） （B）或 （C） （D）不存在 8． 曲线， 和直线围成的图形面积是 （　　） (A) (B) (C) (D) 9．用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由到时，不等式的左边（ ） （A）增加了一项 （B）增加了两项 （C）增加了两项，又减少了； （D）增加了一项，又减少了一项； 10、如图是导函数的图象，那么函数在下面哪个区间是减函数（ ） （A） （B） （C） （D） 11．设底面

4、为等边三角形的直棱柱的体积为，则其表面积最小时，底面边长为（ ） （Ａ）　　　　　（Ｂ） （Ｃ）　　 　　　（D） 12．点是曲线上任意一点, 则点到直线的距离的最小值是（　 ） (A) １ 　　 (B) 　 (C) ２ 　 (D) 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应题中横线上）。 13. 设复数z的模为17,虚部为- 8,则复数z=_________； 14. 曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程为____________

5、； 15. 设，当时，恒成立，则实数的取值范围为______； 16． ____________。 三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。把答案写在答题卡相应题目的位置，写错位置的不给分） 17．（本小题10分）已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i；当实数m取什么值时，复数z是： （1）零；(2)纯虚数． 18. （本小题12分） 求函数y=2x3-6x2+7的单调增区间。 19. （本小题12分） 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x

6、＝时，y＝f(x)有极值． (1)求a，b，c的值； (2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值． 20.（本小题12分） 已知数列的前项和． （1）计算，，，； （2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 21. （本小题12分） 已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0. (1)求f (x)的单调区间； (2)若f (x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f (x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围． 22. （本小题12分） 已知函数f(x)＝xln x. (1

7、)求函数f(x)的极值点； (2)设函数g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函数g(x)在区间[1，e]上的最小值．(其中e为自然对数的底数) 答案 A B C B C A C D C A C D 高二数学(理科)答案 13. 14. y=2x 15. 16. 10 17. 解析　(1)由得m＝1，即当m＝1时，z＝0. (2)由得m＝0.即当m＝0时，z是纯虚数． 18. (-∞,0),(2,+∞) 19. 解析：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，

8、 得f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.① 当x＝时，y＝f(x)有极值， 则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0.② 由①②解得a＝2，b＝－4. 由于切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4， ∴1＋a＋b＋c＝4，∴c＝5. ∴a＝2，b＝－4，c＝5. (2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5， ∴f′(x)＝3x2＋4x－4， 令f′ (x)＝0，得x1＝－2，x2＝. 当x变化时，y、y′的取值及变化如下表： x －3 (－3，－2) －2 1 y′ ＋ 0 － 0 ＋

9、 y 8 单调递增↗ 13 单调递减↘ 单调递增↗ 4 ∴y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为. 20.解：（1）依题设可得，，，； （2）猜想：． 证明：①当时，猜想显然成立． ②假设时，猜想成立，即． 那么，当时，，即． 又，所以， 从而．即时，猜想也成立． 故由①和②，可知猜想成立． 21.解　(1)f ′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)． 当a<0时，对x∈R，有f ′(x)>0， ∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)． 当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－或x>； 由f′(x)<0，解得－

10、当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－)， (，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－，)． (2)∵f(x)在x＝－1处取得极值， ∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1. ∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3. 由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1. 由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x＝1处取得极小 值f(1)＝－3. ∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，∴结合f(x)的单调性可知，m 的取值范围是(－3,1)． 22. 解　(1)f′(x)＝ln x＋1，x>0， 由

11、f′(x)＝0得x＝， 所以，f(x)在区间(0，)上单调递减， 在区间(，＋∞)上单调递增． 所以，x＝是函数f(x)的极小值点，极大值点不存在． (2)g(x)＝xln x－a(x－1)，则g′(x)＝ln x＋1－a， 由g′(x)＝0，得x＝ea－1， 所以，在区间(0，ea－1)上，g(x)为减函数， 在区间(ea－1，＋∞)上，g(x)为增函数， 所以x＝ea－1是极小值点． 以下对极小值点是否在[1，e]上作分类讨论． 当ea－1≤1，即a≤1时，在区间[1，e]上，g(x)为增函数， 所以g(x)的最小值为g(1)＝0. 当1