2022年高三数学上学期期中试题 理（含解析）新人教A版

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1、2022年高三数学上学期期中试题 理（含解析）新人教A版 【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷. 以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、三视图、导数函数的应用、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、直线圆的位置关系，数列等； 【题文】一、选择题 【题文】1．全集,集合，则（ ）

2、 A. B. C. D. 【知识点】集合及其运算A1 【答案解析】B A={x，则={x故选B. 【思路点拨】先求出集合A再求。 【题文】2．已知复数满足(其中为虚数单位），则的虚部为 （ ） A. B . C. D. 【知识点】复数的基本概念与运算L4 【答案解析】C ∵i4=1，∴ixx=（i4）503•i2=-1．∴z== =--i． ∴=-+i，其虚部为．故选：C． 【思路点拨】利用i4=1，复数的运

3、算法则、虚部的定义即可得出． 【题文】3．已知等差数列，若，则 （ ） A. 24 B. 27 C . 15 D. 54 【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2 【答案解析】B 由等差数列的性质可得a4+a5+a6=3a5=9，解得a5=3， ∴S9===9a5=27故选：B 【思路点拨】利用等比数列的性质求解。 【题文】4若，则

4、（ ） A. B. C . D. 【知识点】二倍角公式C6 【答案解析】C cos(2x-)=1-=故选C。 【思路点拨】根据二倍角公式求解 【题文】5．若的解集为且函数的最大值为-1，则实数的值为 A. 2 B . C. 3 D. （ ） 【知识点】指数与指数函数 对数与对数函数B6 B7 【答案解析】B ：∵ax＞1的解集

5、为{x|x＜0}，∴0＜a＜1， ∵y= (x+)的最大值为-1，x+≥2，∴a-1=2，∴a=，故选：B． 【思路点拨】先确定0＜a＜1，再利用y= (x+)的最大值为-1，x+ ≥2，即可求出实数a的值． 【题文】6.若某多面体的三视图(单位：cm), 如图所示， 其中正视图与俯视图均为等腰三角形，则 此多面体的表面积是（ ） A. B. C. 15 D. 【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2 【答案解析】B 由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥，侧棱PC=4且PC⊥底面，底面是底边为

6、6、高为4的等腰三角形．在等腰三角形ABC中，CD⊥AB，CD=4，AB=6，∴AC=BC= =5． ∵PC⊥底面ABC，∴PC⊥AC，PC⊥BC，PC⊥CD． ∴S表面积=2××5×4+×6×4+×6×4=32+12． 故答案为B． 【思路点拨】由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥，侧棱PC=4且PC⊥底面，底面是底边为6、高为4的等腰三角形．据此即可计算出答案． 【题文】7若函数的图像在点处的切线方程为，则函数 的图像在点处的切线方程为 （ ） A . B . C . D. 【知识点

7、】导数的应用B12 【答案解析】A 由函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=3x-2，得 f′（1）=3，f（1）=1．又函数g（x）=x2+f（x），∴g′（x）=2x+f′（x）， 则g′（1）=2×1+f′（1）=2+3=5．g（1）=12+f（1）=1+1=2． ∴函数g（x）=x2+f（x）的图象在点（1，g（1））处的切线方程为y-2=5（x-1）． 即5x-y-3=0．故答案为：A． 【思路点拨】由函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=3x-2，可得f′（1）=3，f（1）=1，求出函数g（x）的导函数，再求出g（1）和g

8、′（1），则由直线方程的点斜式可求函数g（x）=x2+f（x）的图象在点（1，g（1）） 处的切线方程． 【题文】8．已知函数为偶函数，则的一个取值为（ ） A. 0 B. C . D. 【知识点】函数的图象与性质C4 【答案解析】B f（x）=sin（x+ϕ）+cos（x+ϕ）= sin（x+ϖ+） ∵函数f（x）为偶函数，∴ϖ+=+kπ（k∈Z）∴ϖ=+kπ（k∈Z）当k=0时，ϖ=． 故

9、选B． 【思路点拨】利用两角和的正弦公式化成标准形式，根据函数f（x）为偶函数， 结合诱导公式得ϖ+=+kπ（k∈Z），进而求出ϖ的值． 【题文】9．设（e是自然对数的底数），则 （ ） A. B . C . D. 【知识点】指数对数B6 B7 【答案解析】D ∵x=log510=log55+log52＜1+ =1+==z， y= == ＞= ＞z，∴x＜z＜y，故选：D． 【思路点拨】分别利用对数

10、函数的单调性和指数函数的单调性比较大小即可． 【题文】10．定义在R上的函数是增函数，且对任意的恒有，若实数 满足不等式组，则的范围为 （ ） A. B . C . D. 【知识点】函数的单调性与最值B3 【答案解析】C ∵f（x）=-f（2-x），∴-f（x）=f（2-x）， ∴f（a2-6a+23）+f（b2-8b）≤0可化为f（a2-6a+23）≤-f（b2-8b）=f（2-b2+8b）， 又∵f（x）在R上单调递增，∴a2-6a+23≤2-b2+8b， 即a2-6a+23+b2-8b-2≤0，配方可得（a-3）

11、2+（b-4）2≤4， ∴原不等式组可化为， 如图，点（a，b）所对应的区域为以（3，4）为圆心，2为半径的右半圆（含边界）， 易知a2+b2表示点（a，b）到点（0，0）的距离的平方， 由图易知：|OA|2≤a2+b2≤|OB|2，可得点A（3，2），B（3，6） ∴|OA|2=32+22=13，|OB|2=32+62=45， ∴13≤m2+n2≤45，即m2+n2的取值范围为[13，45]．故选：C 【思路点拨】由函数的性质可化原不等式组为，a2+b2表示点（a，b）到点（0，0）的距离的平方，数相结合可得答案． 【题文】11．三棱锥的四个顶点均在半径为2的球面上，且,

12、平 面平面，则三棱锥的体积的最大值为 （ ） A. 4 B. 3 C. D. 【知识点】棱柱与棱锥G7 【答案解析】B 根据题意：半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2， △ABC为截面为大圆上三角形，设圆形为O，AB的中点为N，ON═=1 ∵平面PAB⊥平面ABC， ∴三棱锥P-ABC的体积的最大值时，PN⊥AB，PN⊥平面ABC，PB==， ∴三棱锥P-ABC的体积的最大值为××（2）2×=3，故选：B 【思路点拨】运用题意判断出三棱锥P-ABC的体积的最大值时，几

13、何体的性质，在求解体积的值． 【题文】12．在中，是的内心，若,其中，则动点的轨迹所覆盖图形的面积为 （ ） A. B . C . D. 【知识点】单元综合F4 【答案解析】B 根据向量加法的平行四边形法则，得动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形，其面积为△BOC面积的2倍．在△ABC中，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，代入数据，解得BC=7， 设△ABC的内切圆的半径为r，则bcsinA=(a+b+c)r，解得r=， 所以S△BOC=×BC×r=×

14、7×=， 故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC=．故答案为B. 【思路点拨】根据向量加法的平行四边形法则，得动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形，其面积为△BOC面积的2倍． 第II卷（非选择题，共90分） 【题文】二、填空题 【题文】13．已知两点，向量，若，则实数k的值为 【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2 【答案解析】 两点A（-1，0），B（1，3），向量=（2k-1，2），=（2，3）， ∥，3（2k-1）=4，解得：k=故答案为：． 【思路点拨】求出AB向量，然后利用向量的平行，求出k的值即可．

15、 【题文】14．已知等差数列的前项和是, 用由此可类比得到各项均为正的等比数列的前项积 （表示） 【知识点】等比数列等差数列D2 D3 【答案解析】 在等差数列{an}的前n项和为，因为等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，所以各项均为正的等比数列{bn}的前n项积Tn= 故答案为：． 【思路点拨】由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果，在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积． 【题文】15．若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是 【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系H4 【答案解析】[-3，1] 由

16、题意可得，圆心到直线的距离小于或等于半径，，化简得|a+1|≤2，故有-2≤a+1≤2，求得-3≤a≤1，故答案为：[-3，1]． 【思路点拨】由题意可得，圆心到直线的距离小于或等于半径，即 ，解绝对值不等式求得实数a取值范围． 【题文】16．已知函数，给出如命题： ①是偶函数；②在上单调递减，在上单调递增； ③函数在上有3个零点；④当时，恒成立； 其中正确的命题序号是 【知识点】三角函数的图象与性质C3 【答案解析】①④ 对于①，显然定义域为R，f（-x）=-xsin（-x）+cos（-x）=xsinx+cosx=f（x）．所以函数为偶函数，所以

17、①为真命题； 对于②，f′（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，当x∈[0，]时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，故②为假命题；对于③，令f（x）=0，所以=-tanx，做出y=及y=-tanx在[-，]上的图象可知，它们在[-，]上只有两个交点，所以原函数在[-，]有两个零点，故③为假命题；对于④，要使当x≥0时，f（x）≤x2+1恒成立，只需当x≥0时，f（x）-x2-1≤0恒成立，即y=xsinx+cosx-x2-1≤0恒成立，而y′=xcosx-2x=（cosx-2）x显然小于等于0恒成立，所以该函数在[0，+∞）上递减，因此x=0时ymax=0+cos0-1=0，故

18、当x≥0时，f（x）≤x2+1恒成立，故④为真命题．故答案为①④． 【思路点拨】①利用偶函数的定义判断； ②利用导数求解，导数大于0求增区间，导数小于0求减区间； ③研究极值、端点处的函数值的符号； ④转化为f（x）-（x2+1）≤0恒成立，因此只需求左边函数的最大值小于0即可． 【题文】三、解答题 【题文】17．已知集合函数的定义域为 集合B. (1) 若a=1,求集合； (2) 已知a>-1,且是的必要不充分条件，求实数a的取值范围。 【知识点】集合及其运算A1 【答案解析】（1）{x|1＜x≤2或3≤x＜5}（2）≤a≤1+ （1）若a=1，则A={x

19、|（x-1）（x-5）＜0}={x|1＜x＜5}， 函数y=lg =lg，由＞0，解得2＜x＜3，即B=（2，3）， 则∁RB={x|x≤2或x≥3}，则A∩∁RB={x|1＜x≤2或3≤x＜5}， （2）方程（x-1）（x-2a-3）=0的根为x=1或x=2a+3， 若a＞-1，则2a+3＞1，即A={x|（x-1）（x-2a-3）＜0}={x|1＜x＜2a+3} 由＞0得（x-2a）[x-（a2+2）]＜0， ∵a2+2-2a=（a-1）2+1＞0，∴a2+2＞2a ∴（x-2a）[x-（a2+2）]＜0的解为2a＜x＜a2+2，即B={x|2a＜x＜a2+2} 若x∈A”

20、是“x∈B”的必要不充分条件则B⊊A，即且等号不能同时取， 即，则，即≤a≤1+． 【思路点拨】（1）求解集合A．B根据集合的基本运算即可得到结论． （2）求出集合A，B，根据充分条件和必要条件的关系即可得到结论 【题文】18．数列的前项和为，若 （1）求数列的通项公式； （2）设求数列的前项和. 【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3 【答案解析】（1）an=（-3）n-1（2）-(+)•(-3)n （1）∵an+1=-4Sn+1，a1=1，∴Sn=， an=Sn-Sn-1=-=，∴4an=an-an+1，∴an+1=-3an，∴=-3，∵a1=1， ∴an=（-3）

21、n-1． （2）∵bn=nan=n（-3）n-1， ∴Tn=1•（-3）0+2•（-3）+3•（-3）2+…+n（-3）n-1，① -3Tn=1•（-3）+2•（-3）2+3•（-3）3+…+n•（-3）n，② ①-②，得： 4Tn=（-3）0+（-3）+（-3）2+…+（-3）n-1-n•（-3）n =-n•（-3）n=-(+n)•(-3)n，∴Tn=-(+)•(-3)n． 【思路点拨】（1）由已知条件得Sn= ，从而得到an=Sn-Sn-1=，所以=-3，再由a1=1，能求出an=（-3）n-1． （2）由bn=nan=n（-3）n-1，利用错位相减法能求出数列{bn}的前

22、n项和Tn． 【题文】19．已知分别是三角形的三个内角A，B，C的对边， . （1）求角A的大小; （2）求函数的值域. 【知识点】三角函数的图象与性质C3 【答案解析】（1）（2）（1，2]． （1）由题意得（2b-c）cosA=acosC，由正弦定理得：2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC =sin（A+C）即2sinBcosA=sinB，所以cosA=．A是三角形的内角，所以A=． （2）因为函数y=sinB+sin(C-)=sinB+cosB=2sin（B+），而＜B+＜，所以函数y=2sin（B+）的值域（1，2]． 【思路点拨】（1）通过向量的

23、平行，利用共线，通过正弦定理以及两角和的正弦函数化简，求出A的余弦值，然后求角A的大小； （2）通过函数y=sinB+sin(C-)，利用两角和与差的三角函数，化为铁公鸡的一个三角函数的形式，结合B的范围，直接求解函数的值域． 【题文】20．已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线与圆C相切. （1）求圆C的方程； （2）过点的直线与圆C交于不同的两点，且时，求三角形的面积. 【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系H4 【答案解析】（I）（x-2）2+y2=4（II） （I）设圆心为C（a，0），（a＞0），则圆C的方程为（x-a）2+y2=4． 因为圆C与3x-4y+

24、4=0相切，所以=2，解得：a=2或a=-（舍）， 所以圆C的方程为：（x-2）2+y2=4． （II）依题意：设直线l的方程为：y=kx-3，由得（1+k2）x2-（4+6k）x+9=0， ∵l与圆C相交于不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）， ∴△=（4+6k2）-4（1+k2）×9＞0，且x1+x2=，x1x2=， ∴y1y2=(kx1-3)(kx2-3)=k2•x1x2-3k(x1x2)+9=-+9， 又∵x1x2+y1y2=3，∴+-+9=3， 整理得：k2+4k-5=0解得k=1或k=-5（舍）．∴直线l的方程为：y=x-3． 圆心C到l的距离d==，在△A

25、BC中，∵|AB|=2•=14， 原点O到直线l的距离，即△AOB底边AB边上的高h==， ∴S△AOB=|AB|•h=••= 【思路点拨】（I）设圆心为C（a，0），（a＞0），可得圆C的方程的方程．再根据圆心到直线的距离等于半径求得a的值，可得圆C的方程． （II）依题意：设直线l的方程为：y=kx-3，代入圆的方程化简，里哦也难怪根与系数的关系 求得x1+x2=，x1x2=，再由x1x2+y1y2=3，求得k的值，可得∴直线l的方程．求得圆心C到l的距离d、以及|AB|的值，再由S△AOB=|AB|•h，计算求得结果． 【题文】21.在四棱锥中，平面平面,,在锐角中,并且

26、 , （1）点是上的一点，证明：平面平面； （2）若与平面成角，当面面时，求点到平面的距离. 【知识点】空间向量及运算G9 【答案解析】（1）略（2） 法一（1）∵BD=2AD=8，AB=4，由勾股定理得BD⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊆面ABCD， ∴BD⊥平面PADBD⊆面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD （2）如图，∵BD⊥平面PAD，∴平面PBD⊥平面PAD，∴∠APD=60°， 做PF⊥AD于F，∴PF⊥面ABCD，PF=2， 设面PFC∩面MBD=MN，面MBD⊥平面ABCD∴面PF∥面MBD，∴PF∥MN

27、， 取DB中点Q，得CDFQ为平行四边形，由平面ABCD边长得N为FC中点， ∴MN=PF= 法二（1）同一 （2）在平面PAD过D做AD垂线为z轴，由（1），以D为原点，DA，DB为x，y轴建立空间直角坐标系， 设平面PBD法向量为=(x，y，z)，设P（2，0，a）， 锐角△PAD∴a＞2， 由•=0，•=0， 解得=(-a，0，2)，=(2，0，-a)， |cos＜，＞|==，解得a=2或a=＜2（舍） 设=λ，解得M(2-4λ，4λ，2-2λ) ∵面MBD⊥平面ABCD，AD⊥BD，∴面MBD法向量为=(0，0，4)，∴•=0， 解得λ=，∴M到平面ABD的距离

28、为竖坐标． 【思路点拨】法一：（1）通过证明平面MBD内的直线BD，垂直平面PAD内的两条相交直线，证明直线与平面垂直然后证明两个平面垂直． （2）PA与平面PBD成角60°，面MBD⊥平面ABCD时，做PF⊥AD于F，PF∥MN，然后求点M到平面ABCD的距离． 法二：（1）同法一； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可． 【题文】22.已知函数，. （1）如果函数在上是单调减函数，求的取值范围； （2） 是否存在实数，使得方程在区间内有且只 有两个不相等的实数根？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

29、【知识点】导数的应用B12 【答案解析（1）a≤-2（2）（1，） （1）①当a=0时，f（x）=2x在[1，+∞）上是单调增函数，不符合题意； ②当a＞0时，y=f（x）的对称轴方程为x=- ，y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，不符合题意； ③当a＜0时，函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调减函数，则- ≤1，解得a≤-2， 综上，a的取值范围是a≤-2； （2）把方程=f′（x）-（2a+1）整理为=ax+2-(2a+1)，即方程ax2+（1-2a）x-lnx=0， 设H（x）=ax2+（1-2a）x-lnx（x＞0），则原问题等价于函数H（x）在区间（，e）内有且

30、只有两个零点．H′（x）=2ax+（1-2a）-==，令H′（x）=0，因为a＞0，解得x=1或x=-（舍），当x∈（0，1）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数； 当x∈（1，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数．H（x）在（，e）内有且只有两个不相等的零点，只需，即0