2022年高中数学 圆锥曲线中存在点关于直线对称问题知识点分析 新人教A版选修2

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1、2022年高中数学 圆锥曲线中存在点关于直线对称问题知识点分析 新人教A版选修2 在直线与圆锥曲线的位置关系中，常出现这样一类问题：一个圆锥曲线上存在两点A,B关于直线L对称，求方程中参数的范围. 对于此类问题抓住两点A,B关于直线L对称，对称中体现的两要点：垂直（斜率之积为－1或k1，k2中一个为0，一个不存在）和两点连线中点C在对称直线L上(也是L与LAB的交点)， 分析一：（第一种通法）由于LAB与圆锥曲线交于两点AB，所以LAB与圆锥曲线方程联立方程组，得一元二次方程，△＞0求参数的范围，步骤如下： 1．假设这样的对称点A、B存在，利用对称中的垂直关系设出两点A、B所在的直线方

2、程. 2．联立AB所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C的坐标. 3．把C的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式. 4．利用联立后方程的△求出其中需求参数的范围. 分析二：（第二种通法）由于中点C为相交弦AB的中点，所以可用点差法，求出参数与中点的关系，又中点C在对称直线L上，故可用参数表示中点的坐标代入不等式，求出参数的范围第二种通法，不过首先说明以下两个问题： x y o y o x x y o 弦中点位置问题 椭圆 双曲线 抛物线 弦中点在内部

3、 弦中点在Ⅰ（交点在同一支上） 弦中点在抛物线“内部” 范围问题 ： 或Ⅱ（交点不在同一支上） 抛物线：y2=2px 椭圆： ＋=1 双曲线 ： － =1 M（x0，y0）为中点，则 M（x0，y0）为中点，则 M（x0，y0）为中点，则 y2<2px ＋<1 － >1（交点AB在同一支上） 分析： 或 －<0（交点AB在两支上）

4、 步骤如下：1.设出两点和中点坐标（x，y）； 2.用“点差法”根据垂直关系求出x，y满足的关系式； 3.联立直线方程，求出交点，即中点； 4.由中点位置及对应范围求出参数取值范围. 例1：已知椭圆C：,试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x＋m，椭圆C上有不同两点关于这条直线对称. 解法一：设存在两点A（x1,y1）、B(x2,y2)关于l对称，中点为C（x0,y0）， 则AB所在直线为y=－x＋b.与椭圆联立得：x2－bx＋2b2－6=0， ∴ x0= = y0= = －×+b= ∵ C在y=4x＋m上,

5、 ∴= ×4＋m, b=.又∵ △=b2－4× (2b2－6)>0, 故 b2<,即(－)2<，解得：－

6、 =1,双曲线存在关于直线l：y=k x＋4的对称点，求k的取值范围. 注：对于此类求斜率k范围要考虑k=0和k≠0，因为要用到－ . 解法一：由题意k≠0:设存在两点A（x1,y1）、B(x2,y2)关于l对称，中点为C（x0,y0）， 则AB所在直线为y=－x＋b.代入x2－ =1得：(3k2－1)x2＋2kb x－(b2+3) k2=0， 显然3k2－1≠0,即k2 ≠ x0= = y0= = －×+b= ∵ C在y=k x＋4上,∴= k ×＋4, ∴k2 b=3k2－1∴b= 又∵ △= 4k2 b2+4×(3k2－1) (b2+3) k2>0, ∴

7、k2 b2+3k2－1>0∴k2 b2+ k2 b>0∴ b2+ b>0∴b>0或b<－1 >0或<－1解得: k <－或k>或－或－1（交点AB在同一支上）或－<0 （交点AB在两支上）

8、 ∴k2< 或k2>且 k≠0解得: k <－或k>或－或－

9、中因为存在这样的两点， 点关系求出两根之和、两根之积 故方程x2－ x＋=0的△>0，当然，不管是两种通法还是针对抛物线的特殊法，都无非紧紧抓住两 即 －4>0，a> .点关于直线对称所产生的垂直及，构造方程，利用△求出参数范围. 中点问题，不过在有关范围关系式的产生上有差别 x y o 弦中点位置问题点M为相交弦AB的中点 椭圆 弦中点在内部范围问题 ：椭圆： ＋=1M（x0，y0）为中点，则＋<1 y o x 双曲线 弦中点在Ⅰ（交点在同一支上）或Ⅱ（交点不在同一支上）双曲线 ： － =1 M（x0，y0）为中点，则 － >1（交点AB在同一支上）或 －<0 （交点AB在两支上） x y o 抛物线 弦中点在抛物线“内部” 抛物线：y2=2pxM（x0，y0）为中点，则 y2<2px