2022年高二上学期期中数学试卷（文科） 含解析(III)

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1、2022年高二上学期期中数学试卷（文科） 含解析(III) 　 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．点A在直线l上，l在平面α外，用符号表示正确的是（　　） A．A∈l，l∉α B．A∈l，l⊄α C．A⊂l，l⊄α D．A⊂l，l∈α 2．直线经过点A（﹣2，0），B（﹣5，3），则直线的倾斜角（　　） A．45° B．135° C．﹣45° D．﹣135° 3．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　） A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β C．若l

2、⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β 4．直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为﹣3，而且它的倾斜角是直线x﹣y=3倾斜角的2倍，则（　　） A． B． C． D． 5．已知直线l1：3x+2ay﹣5=0，l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣2=0，若l1∥l2，则a的值为（　　） A．﹣ B．6 C．0 D．0或﹣ 6．直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=（　　） A．1 B．2 C． D．4 7．已知侧棱长为2a的正三棱锥（底面为等边三角形）其底面周长为9a，则棱锥的高为（　　） A．a B．2a C

3、． a D． a 8．已知：平面α⊥平面β，α∩β=l，在l上取线段AB=4，AC、BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC=3，BD=12，则CD的长度（　　） A．13 B． C．12 D．15 9．直线y=kx+1与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相交于A，B，两点，若|AB|≥，则k的取值范围（　　） A．[0，1] B．[﹣1，0] C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．[﹣1，1] 10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） A．7 B．7 C．7 D．8 11．设点A（﹣2，3），B（3，2），若直线ax+y+2=0与线段

4、AB没有交点，则a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣]∪[，+∞） B．（﹣，） C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞） 12．已知圆O：x2+y2=16和点M（1，2），过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，则四边形ABCD面积的最大值（　　） A．4 B． C．23 D．25 　 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案分别填写在答题卡相应位置） 13．经过点（﹣2，3），且斜率为2的直线方程的一般式为　　． 14．不论a为何实数，直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7=0恒过定点　　． 15．在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣

5、y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为　　． 16．已知三棱锥S﹣ABC所在顶点都在球O的球面上，且SC⊥平面ABC，若SC=AB=AC=1，∠BAC=120°，则球O的表面积为　　． 　 三、解答题（共6小题，满分70分） 17．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面四边形ABCD平行四边形，AD⊥平面SAB． （1）若SA=3，AB=4，SB=5，求证：SA⊥平面ABCD （2）若点E是SB的中点，求证：SD∥平面ACE． 18．如图，在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1

6、，2），求点A和点C的坐标． 19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD垂直于底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD=90°，且AB=2AD=2DC=2PD=4，E为PA的中点． （1）若正视方向与AD平行，作出该几何体的正视图并求出正视图面积； （2）证明：平面CDE⊥平面PAB． 20．如图，已知圆C的方程为：x2+y2+x﹣6y+m=0，直线l的方程为：x+2y﹣3=0． （1）求m的取值范围； （2）若圆与直线l交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值． 21．如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，且PA⊥平

7、面ABCD，AB=AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=平行四边形T，Q，M，N的四个顶点分别在棱PC、PA、AB、BC的中点． （1）求证：四边形TQMN是矩形； （2）求四棱锥C﹣TQMN的体积． 22．平面直角坐标系xoy中，直线x﹣y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为 （1）求圆O的方程； （2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程； （3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 　

8、 参考答案与试题解析 　 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．点A在直线l上，l在平面α外，用符号表示正确的是（　　） A．A∈l，l∉α B．A∈l，l⊄α C．A⊂l，l⊄α D．A⊂l，l∈α 【考点】平面的基本性质及推论；平面的概念、画法及表示． 【分析】利用点线面的关系，用符号表示即可． 【解答】解：∵点A在直线上l，直线l在平面α外， ∴A∈l，l⊄α． 故选B． 　 2．直线经过点A（﹣2，0），B（﹣5，3），则直线的倾斜角（　　） A．45° B．135° C．﹣45° D．

9、﹣135° 【考点】直线的倾斜角． 【分析】由两点求斜率求出过A、B两点的直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率，结合倾斜角的范围求解直线的倾斜角． 【解答】解：设过A、B的直线的斜率为k， 则． 再设该直线的倾斜角为α（0°≤α＜180°）， 由tanα=﹣1，得α=135°． 故选B． 　 3．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　） A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β C．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间

10、的位置关系． 【分析】根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A； 根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断B； 根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断C； 根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断D． 【解答】解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A错误； 若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确； 若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误； 若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误； 故选B 　 4．直线mx+n

11、y+3=0在y轴上的截距为﹣3，而且它的倾斜角是直线x﹣y=3倾斜角的2倍，则（　　） A． B． C． D． 【考点】直线的倾斜角；直线的截距式方程． 【分析】对于直线mx+ny+3=0，令x=0求出y的值，即为直线在y轴上的截距，根据截距为﹣3求出n的值，再由已知直线的斜率求出倾斜角，确定出所求直线的倾斜角，求出所求直线的斜率，即可求出m的值． 【解答】解：对于直线mx+ny+3=0，令x=0，得到y=﹣，即﹣=﹣3， 解得：n=1， ∵x﹣y﹣3=0的斜率为60°， ∴直线mx+ny+3=0的倾斜角为120°，即斜率为﹣， ∴﹣=﹣m=﹣，即m=． 故选D 　 5．

12、已知直线l1：3x+2ay﹣5=0，l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣2=0，若l1∥l2，则a的值为（　　） A．﹣ B．6 C．0 D．0或﹣ 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系． 【分析】根据两直线平行的条件可知，3（﹣a）﹣2a（3a﹣1）=0．从而可求出a的值． 【解答】解：∵l1∥l2， ∴3（﹣a）﹣2a（3a﹣1）=0． 即6a2+a=0． 解得，a=0或a=． 故选：D． 　 6．直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=（　　） A．1 B．2 C． D．4 【考点】直线与圆的位置关系． 【

13、分析】由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即==cos45°，由此求得a2+b2的值． 【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的， 即==cos45°=，∴a2+b2=2， 故选：B． 　 7．已知侧棱长为2a的正三棱锥（底面为等边三角形）其底面周长为9a，则棱锥的高为（　　） A．a B．2a C． a D． a 【考点】棱锥的结构特征． 【分析】根据正三棱锥的结构特征，先求出底面中心到顶点的距离，再利用测棱长求高． 【解答】解：如图示： ∵正三棱锥底面周长为9a，∴底面边长为3a， ∵正棱锥

14、的顶点在底面上的射影为底面的中心O， ∴OA=AD=×3a×=a， 在Rt△POA中，高PO===a， 故选：A． 　 8．已知：平面α⊥平面β，α∩β=l，在l上取线段AB=4，AC、BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC=3，BD=12，则CD的长度（　　） A．13 B． C．12 D．15 【考点】点、线、面间的距离计算． 【分析】如图所示，连接BC．由DB⊥AB，平面α⊥平面β，α∩β=l=AB，可得BD⊥平面α，BD⊥BC，又AC⊥AB，利用勾股定理即可得出． 【解答】解：如图所示，连接BC． ∵DB⊥AB，平面α⊥平面β，α∩β=l=AB，

15、 ∴BD⊥平面α，BC⊂平面α，∴BD⊥BC， 又AC⊥AB， ∴CD2=BD2+BC2=BD2+AC2+BC2 =122+32+42=132， ∴CD=13， 故选：A． 　 9．直线y=kx+1与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相交于A，B，两点，若|AB|≥，则k的取值范围（　　） A．[0，1] B．[﹣1，0] C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．[﹣1，1] 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于d时，通过|AB|≥，解此不等式求出k的取值范围． 【解答】解：由于圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 则圆心（1，1），

16、半径为1， 设圆心（1，1）到直线y=kx+1的距离为d，由弦长公式得，|AB|=2≥，故d2， 即，化简得 （k﹣1）（k+1）≤0，∴﹣1≤k≤1， 故选：D． 　 10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） A．7 B．7 C．7 D．8 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为2的正方体，去掉两个三棱锥剩余的部分，结合图中数据即可求出它的体积． 【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为2的正方体，去掉两个三棱锥剩余的部分， 如图所示； 所以该几何体的体积为 V=V正方体﹣﹣ =23﹣××

17、12×2﹣××1×2×2 =7． 故选：A． 　 11．设点A（﹣2，3），B（3，2），若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点，则a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣]∪[，+∞） B．（﹣，） C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞） 【考点】两条直线的交点坐标． 【分析】直线ax+y+2=0过定点（0，﹣2），直线ax+y+2=0与线段AB没有交点转化为过定点（0，﹣2）的直线与线段AB无公共点，作出图象，由图求解即可． 【解答】解：直线ax+y+2=0恒过点M（0，﹣2）， 且斜率为﹣a， ∵kMA==﹣， kMB==， 由图可知：﹣a＞﹣且﹣a＜， ∴

18、a∈（﹣，）， 故选B． 　 12．已知圆O：x2+y2=16和点M（1，2），过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，则四边形ABCD面积的最大值（　　） A．4 B． C．23 D．25 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】连接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分别为E、F，推导出四边形OEPF为矩形，由OA=OC=4，OM=3，求出AC2+BD2=92，由任意对角线互相垂直四边形的面积等于对角线乘积的，求出当AC=BD时，四边形ABCD的面积取最大值． 【解答】解：如图，连接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分别为E、F ∵AC⊥BD ∴四边形OEPF为矩形

19、 已知OA=OC=4，OM=3， 设OE为x，则OF=EP==， ∴AC=2AE=2=2， BD=2DF=2=2， ∴AC2+BD2=92， 由此可知AC与BD两线段的平方和为定值， 又∵任意对角线互相垂直四边形的面积等于对角线乘积的， 当AC=BD=时 四边形ABCD的面积最大值=23． 故选：B． 　 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案分别填写在答题卡相应位置） 13．经过点（﹣2，3），且斜率为2的直线方程的一般式为　2x﹣y+7=0　． 【考点】直线的点斜式方程；直线的一般式方程． 【分析】由直线的点斜式方程能够求出经过点（﹣2，

20、3），且斜率为2的直线方程． 【解答】解：由直线的点斜式方程得： 经过点（﹣2，3），且斜率为2的直线方程为 y﹣3=2（x+2）， 整理得2x﹣y+7=0， 故答案为：2x﹣y+7=0． 　 14．不论a为何实数，直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7=0恒过定点　（﹣2，1）　． 【考点】恒过定点的直线． 【分析】由直线系的知识化方程为（x+2y）a+3x﹣y+7=0，解方程组可得答案． 【解答】解：直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7=0可化为（x+2y）a+3x﹣y+7=0， 由交点直线系可知上述直线过直线x+2y=0和3x﹣y+7=0的交点， 解方程组可得 ∴

21、不论a为何实数，直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7=0恒过定点（﹣2，1） 故答案为：（﹣2，1） 　 15．在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为　（x﹣1）2+y2=2　． 【考点】圆的标准方程；圆的切线方程． 【分析】求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程． 【解答】解：圆心到直线的距离d==≤， ∴m=1时，圆的半径最大为， ∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2． 故答案为：（x﹣1）2+y2=2． 　 16．已知三棱锥S﹣ABC所在顶点都在球O的球面

22、上，且SC⊥平面ABC，若SC=AB=AC=1，∠BAC=120°，则球O的表面积为　5π　． 【考点】球的体积和表面积． 【分析】求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积． 【解答】解：∵AB=1，AC=1，∠BAC=120°， ∴BC==， ∴三角形ABC的外接圆直径2r==2， ∴r=1， ∵SC⊥面ABC，SC=1，三角形OSC为等腰三角形， ∴该三棱锥的外接球的半径R==， ∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=5π． 故答案为：5π． 　 三、解答题（共6小题，满分70分） 17．如

23、图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面四边形ABCD平行四边形，AD⊥平面SAB． （1）若SA=3，AB=4，SB=5，求证：SA⊥平面ABCD （2）若点E是SB的中点，求证：SD∥平面ACE． 【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 【分析】（1）由线面垂直的性质可证SA⊥AD，利用已知及勾股定理可证SA⊥AB，即可证明SA⊥平面ABCD， （2）连接BD，设AC∩BD=O，连接OE，可得BO=OD，BE=ES，可证SD∥OE，即可证明SD∥平面ACE． 【解答】证明：（1）∵AD⊥平面SAB，SA⊂平面SAB， ∴SA⊥AD， ∵SA=3，AB=4，SB=5

24、， ∴SA2+AB2=SB2，即SA⊥AB，又AB∩AD=A， ∴SA⊥平面ABCD． （2）连接BD，设AC∩BD=O，连接OE， ∵BO=OD，BE=ES， ∴SD∥OE，又SD⊄平面ACE，OE⊂平面ACE， ∴SD∥平面ACE． 　 18．如图，在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标． 【考点】两条直线的交点坐标． 【分析】根据三角形的性质解A点，再解出AC的方程，进而求出BC方程，解出C点坐标．逐步解答． 【解答】解：点A为y=0与x﹣2y+1=0两直线

25、的交点， ∴点A的坐标为（﹣1，0）． ∴kAB==1． 又∵∠A的平分线所在直线的方程是y=0， ∴kAC=﹣1． ∴直线AC的方程是y=﹣x﹣1． 而BC与x﹣2y+1=0垂直，∴kBC=﹣2． ∴直线BC的方程是y﹣2=﹣2（x﹣1）． 由y=﹣x﹣1，y=﹣2x+4， 解得C（5，﹣6）． ∴点A和点C的坐标分别为（﹣1，0）和（5，﹣6） 　 19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD垂直于底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD=90°，且AB=2AD=2DC=2PD=4，E为PA的中点． （1）若正视方向与AD平行，作出该几何体的正视图并

26、求出正视图面积； （2）证明：平面CDE⊥平面PAB． 【考点】平面与平面垂直的判定；简单空间图形的三视图． 【分析】（1）沿AD方向看到的面为平面PAB在平面PCD上的投影，从而可得主视图； （2）先证明AB⊥平面PAD得出AB⊥DE，再证明DE⊥PA可得DE⊥平面PAB，故而平面CDE⊥平面PAB． 【解答】解（1）正视图如下： 主视图面积S==4cm2． （2）∵PD⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴PD⊥AB， ∵AB⊥AD，PD⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PD∩AD=D， ∴AB⊥平面PAD，又DE⊂平面PAD， ∴DE⊥AB， ∵E是PA的

27、中点，AD=PD， ∴DE⊥PA， 又AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，PA∩AB=A， ∴DE⊥平面PAB， 又DE⊂平面CDE， ∴平面CDE⊥平面PAB． 　 20．如图，已知圆C的方程为：x2+y2+x﹣6y+m=0，直线l的方程为：x+2y﹣3=0． （1）求m的取值范围； （2）若圆与直线l交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值． 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】（1）将圆的方程化为标准方程：，若为圆，须有，解出即可； （2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意得OP、OQ所在直线互相垂直，即kOP•kOQ=﹣

28、1，亦即x1x2+y1y2=0，根据P、Q在直线l上可变为关于y1、y2的表达式，联立直线方程、圆的方程，消掉x后得关于y的二次方程，将韦达定理代入上述表达式可得m的方程，解出即可； 【解答】解：（1）将圆的方程化为标准方程为：， 依题意得：，即m＜， 故m的取值范围为（﹣∞，）； （2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）， 由题意得：OP、OQ所在直线互相垂直，则kOP•kOQ=﹣1，即， 所以x1x2+y1y2=0， 又因为x1=3﹣2y1，x2=3﹣2y2， 所以（3﹣2y1）（3﹣2y2）+y1y2=0，即5y1y2﹣6（y1+y2）+9=0①， 将直线l的方程：

29、x=3﹣2y代入圆的方程得：5y2﹣20y+12+m=0， 所以y1+y2=4，， 代入①式得：，解得m=3， 故实数m的值为3． 　 21．如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，且PA⊥平面ABCD，AB=AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=平行四边形T，Q，M，N的四个顶点分别在棱PC、PA、AB、BC的中点． （1）求证：四边形TQMN是矩形； （2）求四棱锥C﹣TQMN的体积． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】（1）先利用中位线定理证明四边形为平行四边形，再证明AC⊥平面PAB，得出MN⊥MQ，故而得出结论； （2）先求出三棱锥T﹣

30、CMN的体积，则VC﹣TQMN=2VC﹣TMN=2VT﹣CMN． 【解答】证明：（1）连接AC， ∵Q，T，M，N分别是PA，PC，AB，BC的中点， ∴QTAC，MNAC， ∴QTMN， ∴四边形TQMN是平行四边形， ∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴PA⊥AC， ∵四边形ABCD是等腰梯形，AB=AD=CD=1，∠BAD=120°， ∴AC=，BC=2， ∴AB2+AC2=BC2， ∴AB⊥AC，又PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A， ∴AC⊥平面PAB，∵MQ⊂平面PAB， ∴AC⊥MQ，又MN∥AC， ∴MN⊥MQ， ∴四边形

31、TQMN是矩形． （2）∵PA=，T为PC的中点， ∴T到平面ABCD的距离h==， ∵CN==1，MN=AC=，∠ABC=60°， ∴∠MNC=150°， ∴VC﹣TQMN=2VC﹣TMN=2VT﹣CMN=S△CMN•h=××1××sin150°×=． 　 22．平面直角坐标系xoy中，直线x﹣y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为 （1）求圆O的方程； （2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程； （3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是

32、否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的性质． 【分析】（1）求出O点到直线x﹣y+1=0的距离，进而可求圆O的半径，即可得到圆O的方程； （2）设直线l的方程，利用直线l与圆O相切，及基本不等式，可求DE长最小时，直线l的方程； （3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），，，求出直线MP、NP分别与x轴的交点，进而可求mn的值． 【解答】解：（1）因为O点到直线x﹣y+1=0的距离为， 所以圆O的半径为， 故圆O的方程为x2+y2=2． （2）设直线l的方程为，即bx+ay﹣ab=0， 由直线l与圆O相切，得，即， ， 当且仅当a=b=2时取等号，此时直线l的方程为x+y﹣2=0． （3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），，， 直线MP与x轴交点，， 直线NP与x轴交点，， ===2， 故mn为定值2． 　 xx12月15日