2022年高三数学上学期第二次月考试题 文（含解析）新人教A版

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1、2022年高三数学上学期第二次月考试题 文（含解析）新人教A版 【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为主，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查的基本运算能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、三视图、导数、简单的线性规划、、圆锥曲线、立体几何、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、命题、统计概率等；考查学生解决实际问题的能力，是份较好的试卷. 【题文】一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【题文】1

2、、已知集合，，则（ ） A、 B、 C、 D、 【知识点】集合及其运算A1 【答案解析】D 根据并集的定义知：A∪B={x|x＜4}，故选D． 【思路点拨】根据并集的定义解答． 【题文】2、复数满足，则（ ） A、 B、 C、 D、 【知识点】复数的基本概念与运算L4 【答案解析】B ∵z（2+i）=1-2i∴z= = = = =-i故选B 【思路点拨】由z（2+i）=1-2i可得z= ，然后利用复数的基本运算进行化简即可求解。 【题文】3、给定下列两个命题： ①“”为真是“”为假的必要不充分条件； ②“，使”

3、的否定是“，使”.其中说法正确的（ ） A、 ①真②假 B、①假②真 C 、 ①和②都为假 D、 ①和②都为真 【知识点】命题及其关系A2 【答案解析】D ①“p∨q”为真，则p，q中至少有一个为真，推不出“¬p”为假； 若“¬p”为假，则p为真，“p∨q”为真， 故“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件，故①正确； ②“∃x∈R，使sinx＞0”的否定是“∀x∈R，使sinx≤0”．故②正确． 故选D． 【思路点拨】①“p∨q”为真，则p，q中至少有一个为真，推不出“¬p”为假；反之成立，由充分必要条件即可判断； ②由存在性命题的否定是全称性

4、命题，即可判断． 【题文】4、已知向量，，若与共线，则的值为( ) A、 B、 C、 D、 【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2 【答案解析】D 由题意可知=m（2，3）+4（-1，2）=（2m-4，3m+8） =（2，3）-2（-1，2）=（4，-1）∵与与共线 ∴（2m-4）×（-1）=（3m+8）×4∴m=-2故选D． 【思路点拨】先由向量的坐标运算表示出与，再根据向量共线定理的坐标表示可得答案． 【题文】5、某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（　　） A、 B、

5、4 C.、2 D、 【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2 【答案解析】B 由三视图可知：该三棱锥的侧面PBC⊥底面ABC，PD⊥交线BC，AE⊥BC，且AE=3，PD=2，CD=3，DB=1，CE=EB=2 ∴VP-ABC= ×S△ABC×PD=××4×3×2=4．故选B． 【思路点拨】由三视图可知：该三棱锥的侧面PBC⊥底面ABC，PD⊥交线BC，AE⊥BC，且AE=3，PD=2，CD=3，DB=1，CE=EB=2．据此即可计算出其体积． 【题文】6、已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（ ） A、 B、

6、 C、 D、 【知识点】双曲线及其几何性质H6 【答案解析】C ∵抛物线y2=8x的焦点是（2，0），∴c=2，a2=4-1=3， ∴e=＝＝．故选C． 【思路点拨】先求出抛物线y2=8x的焦点坐标，由此得到双曲线−y2＝1的一个焦点，从而求出a的值，进而得到该双曲线的离心率． 【题文】7、已知函数向左平移个单位后，得到函数，下列关于的说法正确的是（　　） A、图象关于点中心对称 B、图象关于轴对称 C、在区间单调递增 D、在单调递减 【知识点】三角函数的图象与性质C3 【答案解析】C 函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得

7、到的图象对应的函数为 y=sin2（x+ ）=sin（2x+ ）．对于A，当x=− 时， y=sin（- ）≠0．图象不关于点(−，0)中心对称，∴A不正确； 对于B，当x＝− 时，y=sin0=0，图象不关于x＝− 轴对称，∴B不正确 对于C，y=sin（2x+ ）的周期是π．当x= 时，函数取得最大值，x=− 时，函数取得最小值，∵[−，−]⊂[−，]，∴在区间[−，−]单调递增，∴C正确； 对于D，y=sin（2x+）的周期是π．当x=时，函数取得最大值，∴在[−，]单调递减不正确，∴D不正确；故选C． 【思路点拨】根据函数图象的平移变换法则“左加右减，上加下减”，易得到函数

8、y=sin2x的图象向左平移 个单位后，得到的图象对应的函数解析式，然后利用函数的对称性，单调性判断选项即可． 【题文】8、若变量x，y满足约束条件则的取值范围是（　　） A、 (，7) B、[，5 ] C、[，7] D、[，7] 【知识点】简单的线性规划问题E5 【答案解析】D 不等式组满足表示的区域如图，则z＝的几何意义是可行域内的点与点（-1，-3）构成的直线的斜率问题． 当取得点A（0，4）时， 则z＝的值为7， 当取得点B（3，0）时， 则z＝的取值为， 所以答案为[，7]，故选D． 【思路点拨】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域

9、不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（-1，-3）构成的直线的斜率范围． 【题文】9、已知函数，若，则的取值范围是( ) A、 B、 C、 D、 【知识点】幂函数与函数的图像B8 【答案解析】A 由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象， 由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2-2x， 求其导数可得y′=2x-2，因为x≤0，故y′≤-2，故直线l的斜率为-2， 故只需直线y

10、=ax的斜率a介于-2与0之间即可，即a∈[-2，0]故选A 【思路点拨】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围． 【题文】10、甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所 示，记甲、乙两人的平均得分分别为，则下列判断正确的是（ ） A、；乙比甲成绩稳定 B、；乙比甲成绩稳定 C、；甲比乙成绩稳定 D、；甲比乙成绩稳定 【知识点】用样本估计总体I2 【答案解析】A 5场比赛甲的得分为16、17、28、30、34， 5场比赛乙的得分为15、26

11、、28、28、33 ∴甲= （16+17+28+30+34）=25， 乙=（15+26+28+28+33）=26 s甲2=（81+64+9+25+81）=52，s乙2=（121+4+4+49）=35.6 ∴甲＜乙，乙比甲成绩稳定故选A． 【思路点拨】由茎叶图，得出5场比赛甲、乙的得分，再计算平均数与方差，即可得到结论． 第Ⅱ卷（非选择题 满分100分） 【题文】二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共 25分．把答案填在答题卡的相应位置） 【题文】11、直线与圆的相切，则 【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系H4 【答案解析】-3± 圆x2+y

12、2-4x+2y=0的圆心坐标为（2，-1），半径为 因为直线x-y+m=0与圆x2+y2-4x+2y=0的相切，所以= ，所以m=-3±．故答案为：-3±． 【思路点拨】利用直线x-y+m=0与圆x2+y2-4x+2y=0的相切，圆心到直线的距离等于半径，即可求出m的值． 【题文】12、已知角，且，则 【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2 【答案解析】 因为，所以， -= 【思路点拨】利用同角之间的三角函数关系，然后利用诱导公式求解。 【题文】13、在执行右边的程序框图时，如果输入， 则输出___________ 【知识点】算法与程序框图L

13、1 【答案解析】 执行程序框图，有N=6，k=1，S=1 第1次执行循环体，S=1+， k＜N成立，有k=2，第2次执行循环体，S=1++ k＜N成立，有k=3，第3次执行循环体，S=1+++ k＜N成立，有k=4，第4次执行循环体，S=1++++ k＜N成立，有k=5，第5次执行循环体，S=1+++++ k＜N成立，有k=6，第6次执行循环体，S=1++++++= k＜N不成立，输出S的值，故答案为． 【思路点拨】执行程序框图，写出每一次循环k，S的值，当有k=6，第6次执行循环体，有S=1++++ ++，此时k＜N不成立，从而输出S的值． 【题文】14、已知定义在上

14、的函数的对称中心为，且，当 时，，则在闭区间，上的零点个数为 . 【知识点】函数与方程B9 【答案解析】6043 ∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），故函数f（x）是T=4的周期函数，又∵函数f（x-1）的对称中心为（1，0）， ∴函数f（x）的对称中心为（0，0），即函数f（x）为奇函数， ∵当x∈（0，1]时，f（x）=2x-1，∴在一个周期[-2，2）上 的图象如下图所示 由图可得在一个周期[-2，2）上函数有6个零点， 故每个周期[4k-2，4k+2），k∈Z上函数都有6个零点， [-xx，xx）上共有[xx-

15、（-xx）]÷4=1007个周期， 故[-xx，xx）共有6×1007=6042个零点， 由f（xx）=0， 故f（x）在闭区间[-xx，xx]上的零点个数为6043， 故答案为6043 【思路点拨】分析函数的周期性和对称性，进而画出函数在一个周期上的图象，分析一个周期内零点的个数，进而得到f（x）在闭区间[-xx，xx]上的零点个数． 【题文】15、给出以下四个结论： ①函数的对称中心是； ②若不等式对任意的都成立，则； ③已知点在直线两侧，则； ④若将函数的图像向右平移（0）个单位后变为偶函数，则的最小值是.其中正确的结论是____ ______. 【知识点】函

16、数的奇偶性与周期性,三角函数的图象与性质 B4 C3 【答案解析】③④ 函数f(x)＝的对称中心是（- ，），故①错误； 若不等式mx2-mx+1＞0对任意的x∈R都成立，则0≤m＜4，故②错误； 点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x-3y+1=0两侧， ∵把Q（1，0）代入2x-3y+1=3＞0，∴2a-3b+1＜0，∴3b-2a＞1，故③正确； 将函数f（x）=sin（2x- ）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后， f（x）=sin（2x-2θ- ），∵此时f（x）变为偶函数， ∴2θ+ =kπ+ ，k∈Z．解得θ= + ，k∈Z， ∵θ＞0，∴k=0时，θ取最小值，

17、故④正确．故答案为③④． 【思路点拨】根据函数的对称中心、平移等基本性质，对①②②③④四个命分别进行分析判断，能求出正确结果． 【题文】三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内） 【题文】16、（本小题满分12分） 在中，角所对的边分别是，且 ． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，，求的面积． 【知识点】解三角形C8 【答案解析】C=60°（Ⅱ）10 ． （1）由已知和正弦定理得：（a+c）（a-c）=b（a-b） 故a2-c2=ab-b2，故a2+b2-c2=ab，故cosC＝＝， 故C=60° （2）由（

18、1）中a2-c2=ab-b2，得25-49=5b-b2，得b2-5b-24=0，解得b=8或b=-3（舍），故b=8．所以，△ABC的面积为：S＝absinC＝10 ． 【思路点拨】（1）由已知和正弦定理求得a2+b2-c2=ab，由此求得cosC= ， 从而求得C的值． （2）由（1）中a2-c2=ab-b2 求得b的值，再根据△ABC的面积为 S＝absinC，运算求得结果． 【题文】17、（本小题满分12分） 从某学校的男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，右图是按上述分组方法得

19、到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人. （I）求第七组的频率； （II）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm以上（含180cm）的人数； （III）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，事件. 【知识点】用样本估计总体,随事件的概率 I2 K1 【答案解析】（Ⅰ）0.06（Ⅱ）144人（Ⅲ） （Ⅰ）第六组的频率为＝0.08， 所以第七组的频率为1-0.08-5×（0.008×2+0.016+0.04×2+0.06）=0.06； （Ⅱ）身高在第一组[155，160）的频率为0.008×

20、5=0.04， 身高在第二组[160，165）的频率为0.016×5=0.08， 身高在第三组[165，170）的频率为0.04×5=0.2， 身高在第四组[170，175）的频率为0.04×5=0.2， 由于0.04+0.08+0.2=0.32＜0.5，0.04+0.08+0.2+0.2=0.52＞0.5 估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m，则170＜m＜175 由0.04+0.08+0.2+（m-170）×0.04=0.5得m=174.5 所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5 由直方图得后三组频率为0.06+0.08+0.008×5=0.18

21、， 所以身高在180cm以上（含180cm）的人数为0.18×800=144人．  （Ⅲ）第六组[180，185）的人数为4人，设为a，b，c，d，第八组[190，195]的人数为2人，设为A，B， 则有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB共15种情况， 因事件E={|x-y|≤5}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组， 所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况， 故P(E)＝．  由于|x-y|max=195-180=15，所以事件F={|x-y|＞15}是不可能事件，P（F）=0 由于

22、事件E和事件F是互斥事件，所以P(E∪F)＝P(E)+P(F)＝． 【思路点拨】（Ⅰ）先由第六组的人数除以样本容量得到第六组的频率，然后用1减去出第七组外各组的频率和即可得到第七组的频率； （Ⅱ）因为过中位数的直线两侧的矩形的面积相等，经计算前三组的频率和小于0.5，后四组的频率和大于0.5，由此断定中位数位于第四组，设出中位数m，由0.04+0.08+0.2+（m-170）×0.04=0.5即可求得中位数m的值； （Ⅲ）分别求出第六组和第八组的人数，利用列举法列出从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生的总的方法，再分别求出事件E和事件F的概率，最后利用互斥事件的概率加法公

23、式进行计算． 【题文】18、（本小题满分12分） 如图，四边形为矩形，平面，，平面于点，且点在上. （I）求证； （II）求四棱锥的体积； （III）设点在线段上，且，试在线段上确定一点，使得平面. 【知识点】空间中的平行垂直关系G4 G5 【答案解析】（1）∵DA⊥平面ABE，BC∥DA∴BC⊥平面ABE， ∵AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC，又∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF ∵BC∩BF=B，∴AE⊥面BEC，又∵BE⊂平面BEC，∴AE⊥BE ∵AD⊥BE，AE∩AD=A，∴BE⊥面DAE，∵DE⊂面DAE，∴DE⊥BE （2）作EH⊥AB于H，

24、 ∵DA⊥平面ABE，DA⊂面ABCD，∴面ABCD⊥面ABE， ∵EH⊥AB，面ABCD∩面ABE=AB，∴EH⊥面ABCD ∵AE⊥BE，AE=EB=BC=2，∴等腰Rt△AEB中，EH＝因此，VE−ABCD＝EH•SABCD＝××2×2×2＝ （3）设P是BE的中点，连接MP，FP∵BE=BC，BF⊥CE，∴F是EC的中点 ∵△ECB中，FP是中位线，∴FP∥BC∥DA∵DA⊂平面DAE，FP⊈平面DAE ∴FP∥平面DAE，同理可得MP∥平面DAE，∵AE∩DA=A，∴平面MPF∥面DAE， 因此，直线MF∥面DAE，可得点N就是点F所以CE的中点N满足MN∥平面DAE.

25、 【思路点拨】（1）根据BC的平行线DA⊥平面ABE，可得BC⊥平面ABE，从而AE⊥BC，再结合AE⊥BF，利用线面垂直的判定定理得到AE⊥面BEC，从而AE⊥BE，再用一次线面垂直的判定定理得到BE⊥面DAE，所以DE⊥BE； （2）作EH⊥AB于H，根据面面垂直的性质可得EH⊥面ABCD，再在等腰Rt△AEB中结合已知条件的数据，算出EH＝，最后用锥体体积公式可求出四棱锥E-ABCD的体积； （3）设P是BE的中点，连接MP，FP．利用三角形中位线定理结合线面平行的判定，得到FP∥平面DAE且MP∥平面DAE，从而平面MPF∥面DAE，由此得到直线MF∥面DAE，可得点N就是点F

26、【题文】19、（本小题满分12分） 已知函数,,(为常数) （Ⅰ）当时，求的最小值； （Ⅱ）若在上是单调函数，求的取值范围。 【知识点】导数的应用B12 【答案解析】（Ⅰ）1（Ⅱ）a≤- ，或a≥0 （Ⅰ）当a=0时，f（x）=lnx+ （x＞0），所以f′（x）= ． 所以，当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0． 所以，当x=1时，函数有最小值f（1）=1．　　　　 （Ⅱ）f′（x）= ． 当a≥0时，ax2+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f′（x）＞0，符合要求． 当a＜0时，要使f（x）在区间[2，+∞）上是单调函数， 当且仅当x∈[2，

27、+∞）时，ax2+x-1≤0恒成立．即a≤恒成立． 设g（x）= ，则g′(x)＝，又x∈[2，+∞），所以g′（x）≥0， 即g（x）在区间[2，+∞）上为增函数，所以g（x）的最小值为g（2）=- ， 所以a≤- ．综上，a的取值范围是a≤- ，或a≥0． 【思路点拨】（Ⅰ）当a=0时，求导数，确定函数的单调性，即可求f（x）的最小值； （Ⅱ）分类讨论，利用f（x）在区间[2，+∞）上是单调函数，可利用导数的正负，建立不等式，分离参数，求最值，即可求a的取值范围． 【题文】20、（本小题满分13分） 如图，椭圆：的右焦点为，右顶点、 上顶点分别为点、，且. （Ⅰ）求椭圆

28、的离心率； （Ⅱ）若斜率为2的直线过点，且交椭圆于 、两点，.求直线的方程及椭圆的方程. 【知识点】椭圆及其几何性质H5 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ）+y2＝1 （Ⅰ）由已知|AB|＝|BF|，即＝a，4a2+4b2=5a2， 4a2+4（a2-c2）=5a2，∴e＝＝． （Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=4b2，∴椭圆C：+＝1． 设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为y-2=2（x-0），即2x-y+2=0． 由⇒x2+4(2x+2)2−4b2＝0，即17x2+32x+16-4b2=0． △＝322+16×17(b2−4)＞0⇔b＞．x1+x2＝−，x1x2＝． ∵O

29、P⊥OQ，∴•＝0， 即x1x2+y1y2=0，x1x2+（2x1+2）（2x2+2）=0，5x1x2+4（x1+x2）+4=0． 从而+4＝0，解得b=1，∴椭圆C的方程为+y2＝1． 【思路点拨】（Ⅰ）利用|AB|=|BF|，求出a，c的关系，即可求椭圆C的离心率； （Ⅱ）直线l的方程为y-2=2（x-0），即2x-y+2=0与椭圆C：+＝1联立，OP⊥OQ，可得•＝0，利用韦达定理，即可求出椭圆C的方程． 【题文】21、（本题满分14分） 已知数列的前项和满足：，，又设， （Ⅰ）求数列和的通项公式； （Ⅱ）若，且恒成立，求和常数的范围； （Ⅲ）证明：对任意的，不等式.

30、 【知识点】等差数列及等差数列前n项和等比数列及等比数列前n项和数列求和D2 D3 D4 【答案解析】（Ⅰ）an=Sn-3n=2n，bn=1+2log2an=1+2n（Ⅱ）m≤5（Ⅲ）略 （Ⅰ）∵Sn+1=2Sn+3n，∴Sn+1-3n+1=2（Sn-3n），又s1-31=2， ∴数列{Sn-3n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴Sn-3n=2n，∴Sn=3n+2n， ∴an=Sn-3n=2n，bn=1+2log2an=1+2n． （Ⅱ）Tn=b1a1+b2a2+…+bnan=3•2+5•22+…+（2n-1）•2n-1+（2n+1）•2n， ∴2Tn=3•22+5•23+…+

31、（2n-1）•2n+（2n+1）•2n+1 ∴-Tn=6+2（22+23+…+2n）-（2n+1）•2n+1=6+2× -（2n+1）•2n+1=-1+（1-2n）•2n+1， ∴Tn=1+（2n-1）•2n+1 ∵Tn=1+（2n-1）•2n+1≥5，∴要使Tn≥m恒成立，只需m≤5即可． （Ⅲ）∵bn=1+2n．∴=+=, 【思路点拨】（Ⅰ）由题意得Sn+1-3n+1=2（Sn-3n），又s1-31=2，数列{Sn-3n}是首项为2，公比为2的等比数列，求得sn，即可求得结论； （Ⅱ）利用错位相减法求数列的和即可； （Ⅲ）利用放缩法=+=, 累乘即可得出结论．