2022年高三数学上学期第四次月考试题 文（含解析）新人教A版

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1、2022年高三数学上学期第四次月考试题 文（含解析）新人教A版 【试卷综述】本次数学试卷的特点是具有一定的综合性，很多题目是由多个知识点构成的，这有利于考查考生对知识的综合理解能力，有利于提高区分度，在适当的规划和难度控制下，效果明显。通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高的要求，提高了试题的区分度，这和当前课改的教学要求、中学的教学实际以及学生学习的实际情况是吻合的.   【题文】一、选择题（每小题5分，10小题，共50分） 【题文】1. 已知R是实数集，，则N∩∁RM=（　　） 　 A． （1，2） B． [0，2] C． （0，2） D． [1，2]

2、 【知识点】集合 A1 【答案】【解析】D 解析：∵M={x|＜1}={x|x＜0，或x＞2}，N={y|y=+1}={y|y≥1 }， CRM={x|0≤x≤2}，故有 N∩CRM={y|y≥1 }∩{x|0≤x≤2}=[1，+∞）∩[0，2]=[1，2]， 故选D． 【思路点拨】根据已知条件分别求出集合，再求两个集合的交集. 【题文】2. 是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（　　） 　 A． 1+i B． ﹣1﹣i C． ﹣1+i D． 1﹣i 【知识点】复数的运算 L4 【答案】【解析】D 解析：由于，（z﹣）

3、i=2，可得z﹣=﹣2i ① 又z+=2 ② 由①②解得z=1﹣i 故选D． 【思路点拨】根据复数的运算可直接计算出复数z. 【题文】3. 已知命题p：函数y=ax+1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过（﹣1，2）点；命题q：已知平面α∥平面β，则直线m∥α是直线m∥β的充要条件；则下列命题为真命题的是（　　） 　 A． p∧q B． ￢p∧￢q C． ￢p∧q D． p∧￢q 【知识点】命题 A2 【答案】【解析】D 解析：当x+1=0时，x=﹣1，此时y=1+1=2，即函数y=ax+1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过（﹣1，2）点，即命题p为真命题．

4、 若直线m∥α，则m∥β或m⊂β，充分性不成立，若直线m∥β，则m∥α或m⊂α，必要性不成立， 即直线m∥α是直线m∥β的既不充分也不必要条件，即命题q为假命题， 则p∧￢q为真命题， 故选：D． 【思路点拨】由题意可依据直线与平面平行的判定确定命题的真伪，再找出正确选项. 【题文】4. 运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为（　　） 　 A． B． C． D． 【知识点】程序框图 L1 【答案】【解析】B 解析：第一次执行循环结构：n←0+2，x←2×t，a←2﹣1；∵n=2＜4，∴继续执行循环结构． 第二次执行循环结

5、构：n←2+2，x←2×2t，a←4﹣1；∵n=4=4，∴继续执行循环结构， 第三次执行循环结构：n←4+2，x←2×4t，a←6﹣3； ∵n=6＞4，∴应终止循环结构，并输出38t．由于结束时输出的结果不小于3， 故38t≥3，即8t≥1，解得t．故答案为：B． 【思路点拨】按程序所给定的过程进行计算，可直接求出结果. 【题文】5. 一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（　　） 　 A． 6 B． 8 C． 8 D． 12 【知识点】三视图 G2 【答案】【解析】A 解析：设棱柱的高为h， 由左视图知，底面正三角形的

6、高是 ，由正三角形的性质知，其边长是4， 故底面三角形的面积是 =4 由于其体积为 ，故有h×=，得h=3 由三视图的定义知，侧视图的宽即此三棱柱的高，故侧视图的宽是3，其面积为3×= 故选A 【思路点拨】由三视图可找出几何体的原图数据，再计算出三棱柱的面积. 【题文】6. 在下列直线中，与非零向量=（A，B）垂直的直线是（　　） 　 A． Ax+By=0 B． Ax﹣By=0 C． Bx+Ay=0 D． Bx﹣Ay=0 【知识点】向量的运算 F2 【答案】【解析】A 解析：Ax+By=0的方向向量是（﹣B，A）， Ax﹣By=0的方向向量是（B，A

7、），Bx+Ay=0的方向向量是（﹣A，B），Bx﹣Ay=0的方向向量是（A，B），∴与非零向量=（A，B）垂直的直线是Ax+By=0． 故选：A． 【思路点拨】由向量的定义与直线相互垂直的关系可求出正确结果. 【题文】7. 在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（　　） 　 A． B． C． D． 【知识点】向量的加减运算 F2 【答案】【解析】A 解析：∵在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1， ∴根据余弦定理可知BC= 由AB=2，AC=1，BC=满足勾股定理可知∠BCA=90° 以C为

8、坐标原点，CA、CB方向为x，y轴正方向建立坐标系 ∵AC=1，BC=，则C（0，0），A（1，0），B（0，） 又∵E，F分别是Rt△ABC中BC上的两个三等分点， 则E（0，），F（0，）则=（﹣1，），=（﹣1，）∴=1+= 故选A． 【思路点拨】根据向量运算的三角形法则可分别求出，的坐标，再求出它们的数量积. 【题文】8. 设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为（　　） 　 A． 3 B． C． 5 D． 7 【知识点】基本不等式 E6 【答案】【解析】A 解析：由题意知，a＞0，△=1﹣4ac=0，∴a

9、c=4，c＞0， 则 则≥2×=3，当且仅当时取等号， 则的最小值是 3． 故选A． 【思路点拨】由已知条件求出ac的值，再由基本不等式可求出的最小值. 【题文】9. 已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，若数列的前n项和为Tn，则Txx的值为（　　） 　 A． B． C． D． 【知识点】数列与数列求和 D4 【答案】【解析】C 解析：∵函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行， 由f（x）=x2+bx求导得：f′（x）=2x+b， 由导

10、函数得几何含义得：f′（1）=2+b=3⇒b=1，∴f（x）=x2+x 所以f（n）=n（n+1），∴数列 的通项为 ==， 所以 的前n项的和即为Tn， 则利用裂项相消法可以得到：=1﹣ 所以数列的前xx项的和为：Txx=． 故选C． 【思路点拨】根据条件可求出函数与数列的关系，再利用裂项求和法求出数值. 【题文】10. 如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（　　） 　 A． B． C． D． 【知识点】三视图 G2 【答案】【解析】B 解析：该三视图表示的容器是倒放的圆锥，下面细，上

11、面粗， 随时间的增加，可以得出高度增加的越越慢． 刚开始高度增加的相对快些．曲线越“竖直”，之后，高度增加的越越慢，图形越平稳． 故选B． 【思路点拨】由三视图得到容器的形状，再由几何体的体积变化得到正确结果. 二、填空题（每小题5分，5小题，共25分） 【题文】11. 已知tan（﹣α）=，则cos（+2α）的值为　　． 【知识点】三角函数的诱导公式 C2 【答案】【解析】C 解析：设t=﹣α，即α=﹣t，tant=， 则cos（+2α）=cos（π﹣2t）=﹣cos2t=﹣=﹣． 故答案为：﹣． 【思路点拨】由已知条件可利用整体变换角的形式化简求值. 【题文】

12、12. 有五条线段，长度分别为1，3，5，7，9，从中任意取三条，一定能构成三角形的概率是　　． 【知识点】概率 K2 K3 【答案】【解析】C 解析：显然共有1，3，5；1，3，7；1，3，9；1，5，7；1，5，9；1，7，9；3，5，7；3，5，9；3，7，9；5，7，9． 共10种情况． 根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 其中能构成三角形的有3，5，7；3，7，9；5，7，9．三种情况，故概率是． 故填：． 【思路点拨】由已知求出各各种情况，再根据概率的定义求值即可. 【题文】13. 若实数x，y满足的最小值是　　．

13、【知识点】简单的线性规划 E5 【答案】【解析】C 解析：令t=x+2y 作出不等式组表示的平面区域，如图所示 由于t=x+2y可得y=，根据直线在y轴上的截距越大，t越大 ∴直线t=x+2y平移到点O（O，0）时，t取得最小值0，此时，z=1 故答案为：1 【思路点拨】由已知条件可求出可行域，再求出最小值. 【题文】14. 圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为　　． 【知识点】圆的标准方程 H3 【答案】【解析】C 解析：设圆心为（2t，t），半径为r=|2t|， ∵圆C截x轴所得弦的长为2，

14、∴t2+3=4t2， ∴t=±1，其中t=﹣1不符合题意，舍去， 故t=1，2t=2， ∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=4． 故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4． 【思路点拨】根据已知条件可求出圆心到直线的距离、半径及弦的一半的关系求出圆心坐标，再列出方程. 【题文】15. ①函数在[0，π]上是减函数； ②点A（1，1）、B（2，7）在直线3x﹣y=0两侧； ③数列{an}为递减的等差数列，a1+a5=0，设数列{an}的前n项和为Sn，则当n=4时，Sn取得最大值； ④定义运算则函数的图象在点处的切线方程是6x﹣3y﹣5=0． 其中正确命题的序号是　　（把所有正确命

15、题的序号都写上）． 【知识点】三角函数；数列；函数的性质 B1 C3 D1 【答案】【解析】C 解析：①，∵y=sin（x﹣）=﹣cosx，在[0，π]上是增函数，故①错误； ②，将A（1，1）、B（2，7）的坐标分别代入3x﹣y得（3×1﹣1）•（3×2﹣7）=﹣2＜0，故点A（1，1）、B（2，7）在直线3x﹣y=0两侧，即②正确； ③，∵数列{an}为递减的等差数列，a1+a5=0，又a1+a5=2a3， ∴2a3=0， 故当n=2或3时Sn取得最大值，故③错误； ④，∵=a1b2﹣a2b1， ∴f（x）==x3+x2﹣x， ∴[f′（x）]|x=1=（x

16、2+2x﹣1）|x=1=2， ∴f（x）的图象在点（1，）处的切线方程为：y﹣=2（x﹣1），整理得：6x﹣3y﹣5=0，故④正确； 综上所述，正确答案为②④． 故答案为：②④． 【思路点拨】根据已知条件对各项进行分析判定，最后找出正确结果. 三、解答题（6小题，共75分） 【题文】16. 已知函数（其中ω为正常数，x∈R）的最小正周期为π． （I）求ω的值； （II）在△ABC中，若A＜B，且，求． 【知识点】三角函数的化简求值 C7 【答案】【解析】(I) ω=1 (II) 解析： ==．（4分） 而f（x）的最小正周期为π，ω为正常数， ∴，解之，得ω=1．

17、（6分） （2）由（1）得． 若x是三角形的内角，则0＜x＜π，∴． 令，得，∴或， 解之，得或．由已知，A，B是△ABC的内角，A＜B且， ∴，，∴．（10分） 又由正弦定理，得．（12分） 【思路点拨】首先根据已知条件对函数式进行化简，根据化简结果求出的值，再根据条件求出三角形的三个角，利用正弦定理可求出 【典例剖析】求三角函数周期的问题，一般要化成一个三角函数式，再对周期进行求解. 【题文】17. 甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下： 甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆

18、心角均为15°，边界忽略不计）即为中奖． 乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球（球除颜色外不加区分），如果摸到的是2个红球，即为中奖． 问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？ 【知识点】概率 K1 K2 K3 【答案】【解析】 P1＜P2，则购买该商品的顾客在乙商场中奖的可能性大 解析：如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积π•R2， 阴影部分的面积为， 则在甲商场中奖的概率为：； 如果顾客去乙商场，记3个白球为a1，a2，a3，3个红球为b1，b2，b3， 记（x，y）为一次摸球的结果，则一切可能的结果有： （a1，a2），

19、（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3） （a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3）， （a3，b1），（a3，b2），（a3，b3）， （b1，b2），（b1，b3）， （b2，b3），共15种， 摸到的是2个红球有（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），共3种， 则在乙商场中奖的概率为：P2=， 又P1＜P2，则购买该商品的顾客在乙商场中奖的可能性大． 【思路点拨】甲商场中奖概率为几何概型，可根据面积来求，乙商场可根据结果求出概率. 【题文】18. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=4，∠AB

20、C=90°． （I）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积S； （II）求异面直线A1B与AC所成角的余弦值． 【知识点】几何体的表面积；异面直线所成的角 G7 G11 【答案】【解析】(I) 24+12 (II) 解析：（1）在△ABC中，因为AB=2，AC=4，∠ABC=90°，所以BC=．…（1分） S△ABC=AB×BC=2．…（1分） 所以S=2S△ABC+S侧=4+（2+2+4）×4=24+12．…（3分） （2）连接BC1，因为AC∥A1C1，所以∠BA1C1就是异面直线A1B与AC所成的角（或其补角）．…（1分） 在△A1BC1中，A1B=2，BC1=2，

21、A1C1=4，…（1分） 由余弦定理可得cos∠BA1C1= 【思路点拨】根据几何体的表面积的构成可直接求出结果，第二步先找出异面直线所成的角，再利用余弦定理求出其余弦值. 【题文】19. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且a2，a5，a14分别是等比数列{bn}的b2，b3，b4． （Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式； （Ⅱ）设数列{cn}对任意自然数n均有=an+1成立，求c1+c2+…+cxx的值． 【知识点】数列的通项公式；数列求和 D2 D3 D4 【答案】【解析】(I)(II) 解析：（Ⅰ）∵a2=1+d，a5=1+4d，a14=

22、1+13d， ∵a2，a5，a14成等比数列，∴（1+4d）2=（1+d）（1+13d）， 解得d=2，∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1；又b2=a2=3，b3=a5=9，∴q=3，b1=1，∴bn=3n﹣1． （Ⅱ）∵++…+=an+1，∴=a2，即c1=b1a2=3，又++…+=an（n≥2）， ∴=an+1﹣an=2（n≥2），∴cn=2bn=2•3n﹣1（n≥2），∴cn=． ∴c1+c2+…+cxx=3+2•3+2•32+…+2•3xx=3+2（3+•32+…+3xx） =3+2•=3xx． 【思路点拨】根据已知条件列出等差数列与等比数列的关系式，求出公差与公比，写

23、出通项公式，找出数列{cn}的特点，再根据条件求出数值. 【题文】20. 如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=AF=1． （I）求四棱锥F﹣ABCD的体积VF﹣ABCD． （II）求证：平面AFC⊥平面CBF． （III）在线段CF上是否存在一点M，使得OM∥平面ADF，并说明理由． \ 【知识点】几何体的体积；面面垂直的判定；线面平行的判定 G4 G5 G7 【答案】【解析】(I)(II)略(III) 略 解析：（1）∵AD=EF=AF=1∴∠OAF=60° 作FG⊥AB交AB于

24、一点G，则 ∵平面ABCD⊥平面ABEF ∴FG⊥面ABCD（3分） 所以 （2）∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB， 平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴CB⊥平面ABEF，∵AF⊂平面ABEF，∴AF⊥CB， 又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF．∵AF⊂面AFC，∴平面AFC⊥平面CBF； （3）取CF中点记作M，设DF的中点为N，连接AN，MN 则MN，又AO，则MNAO， 所以MNAO为平行四边形，（10分） ∴OM∥AN，又AN⊂平面DAF，OM⊄平面DAF，∴OM∥平面DAF． （12分） 【思路点拨】根据几何体的体积公式可求出体

25、积，再根据条件对几何关系进行证明. 【题文】21.已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围； （Ⅲ）求证：． 【知识点】函数的性质；导数与导数的运算 B1 B11 【答案】【解析】(I)略(II) (III)略 解析：（Ⅰ）（2分） 当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0， 1]，减区间为[1，+∞）； 当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；

26、 当a=0时，f（x）不是单调函数（4分） （Ⅱ）得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3 ∴， ∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2（6分） ∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2 ∴ 由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立， 所以有：，∴（10分） （Ⅲ）令a=﹣1此时f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2， 由（Ⅰ）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增， ∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0， ∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分） ∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1， ∴ ∴ 【思路点拨】根据函数的导数可求出函数的单调区间，注意对字母a的讨论，再利用导数值进行求解，求出m的范围，最后对不等式利用导数进行证明.