2022年高三数学上学期第一次月考试题 文（含解析）

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1、2022年高三数学上学期第一次月考试题 文（含解析） 【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。 一、选择题。每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意。（本题共12小题，共60分。） 【题文】1、设集合（ ） A． B． C． D．R 【知识点】交集及其运算.A1 【答案解析】C

2、 解析：因为所以化简可得集合，，故，故选C. 【思路点拨】把原集合化简后求出交集即可. 【题文】2、复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ） A． B．4 C．1 D．一1 【知识点】复数代数形式的乘除运算．L4 【答案解析】B 解析：． ∵复数是纯虚数，∴，解得：a=4． 故选B． 【思路点拨】化简复数为a+bi（a，b∈R），然后由复数的实部等于零且虚部不等于0求出实数的值. 【题文】3设向量，若，则（ ） A． B． C． D． 【知识点】两个向量共线的充要条件.F2 【答案解析】D

3、 解析：因为，所以，解得，故选D. 【思路点拨】直接利用两个向量共线的充要条件即可. 【题文】4、四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： ① y与x负相关且； ② y与x负相关且； ③ y与x正相关且； ④y与x正相关且. 其中一定不正确的结论的序号是 ( ) A．①② B．②③ C．③④ D． ①④ 【知识点】正负相关的概念.I4 【答案解析】D 解析：根据正负相关的概念可知②③是正确的，①④是不正确的，故选D. 【思路点拨】根据正负相关的概念可知结果.

4、 【题文】5、若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ） A． B． C． D． 【知识点】椭圆与抛物线的性质.H5 H7 【答案解析】B 解析：因为椭圆中满足，则，故椭圆的右焦点坐标为，所以，，故选B. 【思路点拨】先求出椭圆的右焦点坐标，再求p的之即可. 【题文】6、设，则在下列区间中，使函数有零点的区间是（　） 　Ａ. B C. D. 【知识点】函数的零点.B9 【答案解析】D 解析：因为，，则，所以使函数有零点的区间是，故选D. 【思路

5、点拨】判断区间端点值的符号，乘积为异号即满足条件. 【题文】7、阅读如下程序框图，如果输出，那么空白的判断框中应填人的条件是 ( ) A. S<8? B. S<12? C. S<14? D. S<16? 【知识点】程序框图.L4 【答案解析】B 解析：框图首先给变量S和i赋值S=0，i=1，执行i=1+1=2，判断2是奇数不成立，执行S=0+2=2，不满足输出条件，故判断框内条件成立， 执行i=2+1=3，判断3是奇数成立，执行S=2+2×3=8，不满足输出条件，故判断框内条件成立，执行i=3+1=4，判断4是奇数不成立

6、，执行S=8+4=12，满足输出条件，故此时在判断时判断框中的条件应该不成立，而此时的S的值是12，结合上一次S的值为8，故判断框中的条件应S＜12．故选：B． 【思路点拨】由框图给出的赋值，先执行一次运算i=i+1，然后判断得到的i的奇偶性，是奇数执行S=2*i+2，是偶数执行S=2*i+1，然后判断S的值是否满足判断框中的条件，满足继续从i=i+1执行，不满足跳出循环，输出i的值． 【题文】8、 已知函数，，则下列结论中正确的是（ ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为1 C．将函数的图象向右平移单位后得的图象 D．将函数的图象向左平移单位后得的图象 【知识点

7、】三角函数的周期、最值；图像的平移.C3 【答案解析】C 解析：因为，所以其最小正周期为，最大值为，故A,B错误；又因为， ，所以将函数的图象向右平移单位后得的图象，排除D,故选C. 【思路点拨】先化简，根据三角函数的性质排除A、B，然后结合平移排除D即可. 【题文】9、某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后 一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°， 第一排和最后一排的距离为10 m(如图)， 则旗杆的高度为(　　) A．10 m B．30 m C．10 m D．10 m 【知识点】解三角形的实际应用．

8、C8 【答案解析】B 解析：如图所示， 依题意可知∠AEC=45°，∠ACE=180°-60°-15°=105°∴∠EAC=180°-45°-105°=30°, 由正弦定理可知，∴米, ∴在Rt△ABC中，米，所以旗杆的高度为30米.故选B． 【思路点拨】先画出示意图，根据题意可求得∠PCB和∠PEC，转化为∠CPB，然后利用正弦定理求得BP，最后在Rt△BOP中求出OP即可． 【题文】10、直线与圆相切，则圆的半径最大时，的值是（ ） A． B． C． D．可为任意非零实数 【知识点】直线与圆相切的条件；基本不等式.H4 E6 【答

9、案解析】C 解析：因为直线与圆相切，所以，当且仅当，即，故选C. 【思路点拨】先根据直线与圆相切得到，再利用基本不等式求出当半径最大时的值即可. 【题文】11、已知是球的球面上三点，三棱锥O-ABC的高为，且，，则球的表面积为( ) A． B． C． D． 【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体．G8 【答案解析】C 解析：由题意是球的球面上三点，三棱锥O-ABC的高为，且，，即， 可知底面三角形是直角三角形，斜边中点与球心的连线，就是棱锥的高， 所以球的半径为：，所以球的表面积为：． 故选B． 【思路点拨】由题意判断球心

10、与三棱锥的底面的位置关系，求出球的半径，即可求出球的表面积． 【题文】12、定义在上的函数满足：，当时，，则（ ） A． B． C． D． 【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性.B4 【答案解析】A 解析：因为，所以函数为奇函数，又因为，所以，所以函数的周期为2,当时，，令，则，，即的解析式为： ，因为，故 ，故选A. 【思路点拨】先根据已知条件判断出函数为奇函数和周期为2的奇函数，再求出的解析式后代入数值即可. 二、填空题。（每小题5分，共20分） 【题文】13、已知命题，使成立，则 　　　 【知识点】特称命题；命题的否定．A2

11、 【答案解析】，成立 解析：命题，使成立， 其￢p是，成立， 答案为：，成立 【思路点拨】本题中的命题是一个特称命题，其否定是全称命题，依据特称命题的否定书写形式写出命题的否定即可 【题文】14、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 。 【知识点】由三视图求面积、体积．G2 【答案解析】 解析：由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为3， 底面三角形的一条边长为3，该边上的高为1， ∴几何体的体积．故答案为：. 【思路点拨】由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为3，底面三角形的一条边长为3，该边上的高为1，把数据代入棱锥的体积公式计算可得答案．

12、 【题文】15、已知等差数列中，，那么 。 【知识点】两角和与差的余弦函数；等差数列的通项公式．C5 D2 【答案解析】 解析：∵数列为等差数列，， ∴；又，∴．故答案为. 【思路点拨】利用等差中项易求，再求，从而可得答案． 【题文】16、已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为 。 【知识点】绝对值不等式；不等式恒成立问题.E2 【答案解析】 解析：因为，所以， 当时，恒成立，即在时恒成立，故； 当时，恒成立，即在时恒成立，即，矛盾舍去. 综上所述：，故答案为：. 【思路点拨】结合已知条件先去绝对值然后转化为不等式恒成立的问题即可. 三、

13、解答题（解答应写出必要的演算过程或文字说明。本大题共6小题，共70分。） 【题文】17、（本小题满分10分） 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非 负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求圆C的极坐标方程； （Ⅱ）直线的极坐标方程是，射线与圆C的交 点为O、P，与直线的交点为Q，求线段PQ的长． 【知识点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．H4 N3 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ） 2 解析：（Ⅰ）圆C的普通方程为，化为极坐标方程为 （Ⅱ）法一：由；由 从而 法二：直线，射线 由；：由 从而由两点间距离公式得

14、 【思路点拨】（Ⅰ）由圆C的参数方程消去参数可得：．代入化简即可得到此圆的极坐标方程．（Ⅱ）由直线l的极坐标方程是，射线OM：．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出． 【题文】18、（本小题满分12分） 年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人， 他们的健康状况如下表： 健康指数 2 1 0 -1 60岁至79岁的人数 120 133 34 13 80岁及以上的人数 9 18 14 9 其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，-1代表“生活不能自理”。

15、 （Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理的概率是多少？ （Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位.求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率.。 【知识点】古典概型及其概率计算公式．K2 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ） 解析：（Ⅰ）该小区80岁以下老龄人生活能够自理的频率为， 所以该小区80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为． （Ⅱ）该小区健康指数大于0的老龄人共有280人， 健康指数不大于0的老龄人共有70人， 由分层抽样可知， 被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，有1位健

16、康指数不大于0． 设被抽取的4位健康指数大于0的老龄人为1，2，3，4， 健康指数不大于0的老龄人为B． 从这五人中抽取3人，结果有10种： （1，2，3），（1，2，4），（1，2，B），（1，3，4），（1，3，B），（1，4，B），（2，3，4），（2，3，B），（2，4，B），（3，4，B，）， 其中恰有一位老龄人健康指数不大于0的有6种： （1，2，B），（1，3，B），（1，4，B），（2，3，B），（2，4，B），（3，4，B，）， ∴被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率为． 【思路点拨】（Ⅰ）根据80岁以下老龄人的人数，即可估计该地区80岁

17、以下老龄人生活能够自理的概率．（Ⅱ）由分层抽样方法可得被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，有1位健康指数不大于0，设被抽取的4位健康指数大于0的老龄人为1，2，3，4，健康指数不大于0的老龄人为B；列举从这五人中抽取3人的结果，由古典概型公式计算可得答案． 【题文】19、（本小题满分12分） 已知数列与，若且对任意正整数满足 数列的前项和。 （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和 【知识点】数列的求和．D4 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ） 解析：（Ⅰ）由题意知数列是公差为2的等差数列 又因为 所以 当时，； 当时， 对不成立。 所以，数列的通项

18、公式: （Ⅱ）时， 时， 所以 仍然适合上式 综上， 【思路点拨】（Ⅰ）依题意知，是以3为首项，公差为2的等差数列，从而可求得数列的通项公式；当时，，对不成立，于是可求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时，，当时，利用裂项法可求得从而可求 【题文】20、（本小题满分12分） 如图，正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）中，是的中点， 。 （Ⅰ） 求证：∥平面； （Ⅱ）求点到平面的距离。 【知识点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．G4 G5 【答案解析】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 解析：证明：连接A1B，设A1B∩AB1 = E，连接DE.

19、 ∵AA1=AB ∴四边形A1ABB1是正方形， ∴E是A1B的中点， 又D是BC的中点， ∴DE∥A1C. ∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D， ∴A1C∥平面AB1D. （Ⅱ）由体积法 【思路点拨】（Ⅰ）取C1B1的中点E，连接A1E，ED，易证平面A1EC∥平面AB1D，利用面面平行的性质即可证得A1C∥平面AB1D．（Ⅱ）由体积转化可得结果. 【题文】21、（本小题满分12分） 已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点。 （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）若直线与双曲线恒有两个不同的交

20、点A和B，且（其中O为原点），求实数的范围。 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．H6 H8 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ） 解析：（1）设双曲线的方程为 则，再由得 故的方程为 （2）将代入，得 由直线与双曲线C2交于不同的两点得： 且① 设，则 又，得 即，解得：② 由①、②得：,故的取值范围为 【思路点拨】（Ⅰ）设出双曲线的标准方程，根据根据椭圆方程求得双曲线的左右顶点和焦点，进而求得双曲线方程中的a和b，则双曲线方程可得．（Ⅱ）将直线代入双曲线方程消去

21、y，进而根据判别式求得k的范围，设出A，B的坐标，根据韦达定理求得x1+x2和x1x2的表达式，进而根据求得关于k的不等式，求得k的范围，最后综合求得答案． 【题文】22、 （本小题满分12分） 已知函数。 （Ⅰ）求函数的极值； （Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围。 【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．B12 【答案解析】（Ⅰ）和； （Ⅱ） 解析：（Ⅰ） 的定义域为， 列表可求得 和； （Ⅱ）当时，由化简得 令，则化为 ①当，即时，等价于， ， 当且仅当，即，亦即取等号， 此时； ②当，即时，不等式恒成立，此时； ③当，即时，等价于， 当且仅当，即，亦即取等号， 此时； 综上所述 （其他方法也可以，比如转化为二次函数的最值） 【思路点拨】（Ⅰ）求导后再列表即可；（Ⅱ）当时，由化简得，然后利用分类讨论的思想方法结合基本不等式即可.