2022年高三数学上学期10月月考试题 理（含解析）

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1、2022年高三数学上学期10月月考试题 理（含解析） 【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。 第Ⅰ卷 （60分） 一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.） 【题文】1．已知集合A＝{x|0

2、B＝(　　) A．(0,1) B．(0,2] C．(1,2) D．(1,2] 【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法．A1 【答案解析】D 解析：由A中的不等式变形得：log41＜log4x＜log44， 解得：1＜x＜4，即A=（1，4），∵B=（﹣∞，2]，∴A∩B=（1，2]．故选D 【思路点拨】求出集合A中其他不等式的解集，确定出A，找出A与B的公共部分即可求出交集． 【题文】2．有关下列命题的说法正确的是（　　） A．命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:若“x2=1则x≠1”

3、B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题“x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“x∈R,均有x2+x+1<0” D．命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题 【知识点】四种命题．A2 【答案解析】D 解析：对于A，该命题的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，∴A错误； 对于B，x=﹣1时，x2﹣5x﹣6=0，充分性成立，x2﹣5x﹣6=0时，x=﹣1或x=6，必要性不成立，∴是充分不必要条件，B错误； 对于C，该命题的否定是：“∀x∈R，均有x2+x﹣1≥0，∴C错误． 对于D，x=y时，sinx=siny成立，∴它的逆否命题也为真命题，

4、∴D正确． 故选：D． 【思路点拨】A中，写出该命题的否命题，即可判断A是否正确； B中，判断充分性和必要性是否成立，即可得出B是否正确； C中，写出该命题的否定命题，从而判断C是否正确． D中，判断原命题的真假性，即可得出它的逆否命题的真假性． 【题文】3．已知函数是幂函数且是上的增函数,则的值为（ ） A．2 B．-1 C．-1或2 D．0 【知识点】函数的性质及应用．B8 【答案解析】B 解析：因为函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣3是幂函数， 所以m2﹣m﹣1=1，即m2﹣m﹣2=0，解得m=2或m=﹣1． 又因为幂函数在（0，+∞

5、），所以﹣5m﹣3＞0，即m＜﹣，所以m=﹣1．故选B． 【思路点拨】依题意利用幂函数的概念，由m2﹣m﹣1=1，且﹣5m﹣3＞0即可求得m的值． 【题文】4．设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝ln x，则有(　 　) A．f

6、离x=1越远，函数值越大，故选C. 【思路点拨】由f（2﹣x）=f（x）得到函数的对称轴为x=1，再由x≥1时，f（x）=lnx得到函数的图象，从而得到答案. 【题文】5．函数的单调减区间为 （ ） A． B． C． D． 【知识点】复合三角函数的单调性。C3 【答案解析】B 解析：令：，t=sin（2x+），∴2kπ＜2x+≤2kπ+ kπ＜x≤kπ+，由复合函数的单调性可知：函数的单调减区间为（k∈Z），故选B。 【思路点拨】观察可知函数是由，t=sin（2x+）构成的复合函数，由复合函数的单调性，只要求得t=sin（2x+）增区间中

7、的大于部分即可． 【题文】6．如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值（ ） A． B. C. D. 【知识点】二次函数的性质．B5 【答案解析】A 解析：由得：，（0＜k＜1）． 由题设得∫01﹣k[（x﹣x2）﹣kx]dx=∫01（x﹣x2）dx， 即∫01﹣k[（x﹣x2）﹣kx]dx=（x 2﹣x3）|01=，∴（1﹣k）3=，∴k=1﹣， 故选：A 【思路点拨】先由得，根据直线y=kx分抛物线y=x﹣x2与x轴所围成图形为面积相等的两个部分得∫01﹣k[（x

8、﹣x2）﹣kx]dx=∫01（x﹣x2）dx，下面利用定积分的计算公式即可求得k值． 【题文】7．已知函数，则等于（ ） A．-1 B.0 C. 1 D. 2 【知识点】函数奇偶性的性质；函数奇偶性的判断；函数的值．B4 【答案解析】D 解析：函数， 则=f（lg2）+f（﹣lg2） =+ =+1+ =+ =2． 故选：D． 【思路点拨】利用对数函数是奇函数以及对数值，直接化简求解即可． 【题文】8．tan70°cos10°(1－tan20°)的值为(　 　) A．－1

9、 B．1 C．－2 D．2 【知识点】两角和与差的正切函数．C5 【答案解析】B 解析：tan70°cos10°（1﹣tan20°）=﹣tan70°cos10°（tan20°﹣1） =﹣cot20°cos10°（﹣1） =﹣2cot20°cos10°（sin20°﹣cos20°） =﹣2cos10°（sin20°cos30°﹣cos20°sin30°） =﹣ =1 故选：B． 【思路点拨】先把切转化成弦，进而利用诱导公式，两角和公式和二倍角公式对原式进行化简整理，求得答案． 【题文】9．已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m，则

10、的值为(　　) A. B. C. D. 【知识点】函数的值域．B1 【答案解析】C 解析：根据题意，对于函数， 有， 所以当x=﹣1时，y取最大值，当x=﹣3或1时y取最小值m=2∴ 故选C． 【思路点拨】函数问题定义域优先，本题要先确定好自变量的取值范围；然后通过函数的单调性分别确定出m与n即可． 【题文】10．.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A．(－∞，0) B. C．(0，1) D．(0，＋∞) 【知识点】根据实际问题选择函数类型．B11 【答案解析】

11、B 解析：函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1， 令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1， 函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点， 等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象（如图） 当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切， 由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点． 则实数a的取值范围是（0，）． 故选B． 【思路点拨】先求导函数，函数f（x）=x（lnx﹣a

12、x）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围． 【题文】11. 设且则 （ ） A． B. C. D. 【知识点】三角函数的化简求值．C7 【答案解析】C 解析：由tanα=，得：， 即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα． 由等式右边为单角α，左边为角α与β的差，可知β与2α有关． 排除选项A，B后验证C， 当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立． 故选

13、：C． 【思路点拨】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求． 【题文】12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，， 若，，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【知识点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；函数最值的应用．B1 B4 【答案解析】B 解析：当x≥0时， f（x）=， 由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2； 由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，

14、得f（x）≥﹣a2．∴当x＞0时，． ∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，． ∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：． 故实数a的取值范围是．故选：B． 【思路点拨】把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案． 第Ⅱ卷 （90分） 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分. 13.计算定积分__________ 【知识点】定积分．B13 【答案解析】 解析：由题意，定积分===

15、故答案为： 【思路点拨】求出被积函数的原函数，再计算定积分的值． 【题文】14..设上的奇函数，且，则不等式的解集为 【知识点】奇偶性与单调性的综合．B3 B4 【答案解析】 解析：因为当x＞0时，有 （x2+1）f'（x）﹣2xf（x）＜0恒成立，即[]′＜0恒成立，所以y=在（0，+∞）内单调递减． 因为f（﹣1）=0，所以在（0，1）内恒有f（x）＞0；在（1，+∞）内恒有f（x）＜0． 又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以在（﹣∞，﹣1）内恒有f（x）＞0；在（﹣1，0）内恒有f（x）＜0．即不等式f（x）＞0的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（0

16、，1）． 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）． 【思路点拨】首先根据商函数求导法则，把 （x2+1）f'（x）﹣2xf（x）＜0，化为[]′＜0；然后利用导函数的正负性，可判断函数y=在（0，+∞）内单调递减；再由f（﹣1）=0，易得f（x）在（0，+∞）内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（﹣∞，0）内的正负性．则f（x）＞0的解集即可求得。 【题文】15.对于函数给出下列四个命题： ①该函数是以为最小正周期的周期函数 ②当且仅当时，该函数取得最小值是-1 ③该函数的图象关于直线对称 ④当且仅当时， 其中正确命题的序

17、号是 （请将所有正确命题的序号都填上） 【知识点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的单调性．B4 C3 C7 【答案解析】③④ 解析：由题意函数f（x）=，画出f（x）在x∈[0，2π]上的图象．由图象知，函数f（x）的最小正周期为2π， 在x=π+2kπ（k∈Z）和x=+2kπ（k∈Z）时，该函数都取得最小值﹣1，故①②错误， 由图象知，函数图象关于直线x=+2kπ（k∈Z）对称， 在2kπ＜x＜+2kπ（k∈Z）时，0＜f（x）≤，故③④正确． 故答案为 ③④ 【思路点拨】由题意作出此分段函数的图象，由图象研究该函数的性质，依据

18、这些性质判断四个命题的真假，此函数取自变量相同时函数值小的那一个，由此可顺利作出函数图象． 【题文】16. 已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是__________________________. 【知识点】函数的图象．B10 【答案解析】 解析：由题意可得： 存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+ex0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a）， 即ex0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根， ∵当x趋近于负无穷大时，ex0﹣﹣ln（﹣x0+a）也趋近于负无穷大， 且函数h（x）=ex﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，∴h（0）=﹣lna＞0， ∴lna＜ln，∴0＜a＜，

19、∴a的取值范围是（0，）， 故答案为：（0，） 【思路点拨】由题意可得：存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+ex0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），函数h（x）=ex﹣﹣ln（﹣x+a）的图象和性质，得到h（0）=﹣lna＞0，继而得到答案． 三、 解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分10分) 已知函数，，且. （1）求的值； （2）若，，求. 【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数．C4 C5 【答案解析】（1）；（2） 解析：（1）∵函数f

20、（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=． ∴Asin（+）=Asin=A•=， ∴A=． （2）由（1）可得 f（x）=sin（x+）， ∴f（θ）+f（﹣θ）=sin（θ+）+sin（﹣θ+）=2sincosθ=cosθ=， ∴cosθ=，再由 θ∈（0，），可得sinθ=． ∴f（﹣θ）=sin（﹣θ+）=sin（π﹣θ）=sinθ=． 【思路点拨】（1）由函数f（x）的解析式以及f（）=，求得A的值． （2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），根据f（θ）+f（﹣θ）=，求得cosθ 的值，再由 θ∈（0，），求得sinθ 的值，从而求得f（﹣θ） 的值． 【

21、题文】18. .(本小题满分12分) 已知函数 (1)设ω＞0为常数，若在区间上是增函数，求ω的取值范围； (2)设集合，,若A⊆B，求实数m的取值范围. 【知识点】正弦函数的定义域和值域；集合的包含关系判断及应用。A1 C5 【答案解析】（1）；（2）m∈(1，4) 解析：(1)f(x) =……………………2 ∵f(ωx)=2sinωx+1在上是增函数. ∴， 即…………………………………………………6 (2)由|f(x)-m|＜2得：-2＜f(x)-m＜2, 即 f(x)-2＜m＜f(x)+2. ∵A⊆B,∴当时，f(x)-2＜m＜f(x)+2恒成立 ∴

22、……………………………………………9 又时， , ∴m∈(1，4)……………………………………………………………………12 【思路点拨】（1）化简函数，然后利用 在区间上是增函数，解答即可．（2）先求|f（x）﹣m|＜2中的m的范围表达式，f（x）﹣2＜m＜f（x）+2，m大于f（x）﹣2的最大值，小于f（x）+2的最小值即可． 【题文】19．(本小题满分12分) 若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．

23、【知识点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法．B1 【答案解析】（1）f(x)＝x2－x＋1；（2）(－∞，－1)． 解析：(1)由f(0)＝1，得c＝1.即f(x)＝ax2＋bx＋1. 又f(x＋1)－f(x)＝2x， 则a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x， 即2ax＋a＋b＝2x， 所以解得 因此，f(x)＝x2－x＋1…………………………………………………………….6 (2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1

24、]上的最小值大于0即可． ∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减， ∴g(x)min＝g(1)＝－m－1， 由－m－1>0得，m<－1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．……………………………….12 【思路点拨】（1）由二次函数可设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（0）=1求得c的值，由f（x+1）﹣f（x）=2x可得a，b的值，即可得f（x）的解析式；（2）欲使在区间[﹣1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，只须x2﹣3x+1﹣m＞0在区间[﹣1，1]上恒成立，也就是要x2﹣3x+1﹣m的最小值大于0，即可得m的取值范围． 【题文】

25、20．(本小题满分12分) 设函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数． (1)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集； (2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值． 【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数单调性的性质。B3 B4 【答案解析】（1）{x|x>1，或x<－4}；（2）－2。 解析：∵f(x)是定义域为R的奇函数， ∴f(0)＝0，∴k－1＝0，即k＝1…………………………………………………2 (1)∵f(1)>0，∴a－>0， 又a>0且a≠1，∴a

26、>1，f(x)＝ax－a－x， ∵f′(x)＝axln a＋a－x ln a＝(ax＋a－x)·ln a>0， ∴f(x)在R上为增函数．……………………………………………………………4 原不等式可化为f(x2＋2x)>f(4－x)， ∴x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0， ∴x>1或x<－4， ∴不等式的解集为{x|x>1，或x<－4}．…………………………………….6 (2)∵f(1)＝，∴a－＝， 即2a2－3a－2＝0， ∴a＝2或a＝－(舍去)，…………………………………………………8 ∴g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－4

27、(2x－2－x)＋2. 令t(x)＝2x－2－x(x≥1)，则t(x)在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)， 即t(x)≥t(1)＝， ∴原函数变为w(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2， ∴当t＝2时，w(t)min＝－2， 此时x＝log2(1＋)． 即g(x)在x＝log2(1＋)时取得最小值－2…………………………………………………………12 【思路点拨】先利用f（x）为R上的奇函数得f（0）=0求出k以及函数f（x）的表达式， （1）利用f（1）＞0求出a的取值范围以及函数f（x）的单调性，再把不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0利用函数f（x）是奇函数进行

28、转化，再利用求得的单调性解不等式即可； （2）先由f（1）=得a=2，得出函数f（x）的单调性，，再对g（x）进行整理，整理为用f（x）表示的函数，最后利用函数f（x）的单调性以及最值来求g（x）在[1，+∞）上的最小值． 【题文】21．(本小题满分12分) 函数的图象上有两点A（0，1）和B（1，0） （Ⅰ）在区间（0，1）内，求实数a使得函数的图象在x=a处的切线平行于直线 AB； （Ⅱ）设m>0，记M（m，），求证在区间（0，m）内至少有一实数b，使得函数 图象在x=b处的切线平行于直线AM. 【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性。B11

29、 B12 【答案解析】（I）；（II）见解析。 解析：（Ⅰ）解：直线AB斜率kAB=－1 令 解得 …………………………………………………………………………4 （Ⅱ）证明：直线AM斜率 考察关于b的方程 即3b2－2b－m2+m=0 在区间（0，m）内的根的情况 令g(b)= 3b2－2b－m2+m，则此二次函数图象的对称轴为 而 g(0)=－m2+m=m(1－m) g(m)=2m2－m－m(2m－1) ………………………………………………………8 ∴（1）当内有一实根 （2）当内有一实根 （3）当内有一实根 综上，方程g(b)=0在区间（0

30、，m）内至少有一实根，故在区间（0，m）内至少有一实数b，使得函数图象在x=b处的切线平行于直AM …………………………………………………12 【思路点拨】（Ⅰ）求出导数，求出切线的斜率f′（a），求得直线AB的斜率，令f′（a）=﹣1（0＜a＜1）解方程即可得到a；（Ⅱ）求出直线AM斜率，直求出线在x=b处的切线斜率为f′（b），由切线平行于AM，可令f′（b）=m2﹣m﹣1，考察3b2﹣2b﹣m2+m=0在区间（0，m）内的根的情况，令g（b）=3b2﹣2b﹣m2+m，求得g（0），g（m），g（），对m讨论：当0＜m＜时，当≤m＜1时，当m≥1时，由零点存在定理，即可得证． 【题文】

31、22.(本小题满分12分) 已知函数． （I）若函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数的 取值范围； （II）若，设，求证：当时， 不等式成立． 【知识点】数列与不等式的综合；利用导数研究函数的单调性．B11 【答案解析】（I）或 ；（II）见解析。 解析：（I）， ∵函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同， ∴当时，恒成立， 即恒成立， ∴在时恒成立，或在时恒成立， ∵，∴或 ……………………………………6 （II）， ∵定义域是，，即 ∴在是增函数，在实际减函数，在是增函数 ∴当时，取极大值， 当时，取极小值， ∵，∴ 设，则， ∴，∵，∴ ∴在是增函数，∴ ∴在也是增函数 ∴，即， 而，∴ ∴当时，不等式成立． ……………………………12 【思路点拨】（Ⅰ）由题意得f′（x）•g′（x）=（x+）（a+1）=•（a+1）≥0，当x∈[1，3]时，或恒成立，求得﹣x2的最值，即可得出结论； （Ⅱ）由题意得F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣（a+1）x，利用导数研究函数的单调性及极值、最值，即可得出结论．