2022年高考数学大二轮总复习 增分策略 专题六 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线试题

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1、2022年高考数学大二轮总复习 增分策略 专题六 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线试题 1．(xx·福建)若双曲线E：－＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　) A．11 B．9 C．5 D．3 2．(xx·课标全国Ⅰ)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|等于(　　) A. B. C．3 D．2 3．(xx·江苏)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的

2、最大值为________． 4．(xx·安徽)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0|F1F2|)； (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)； (3)抛物线：|PF|＝|PM|

3、，点F不在直线l上，PM⊥l于M. 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算” 所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值． 例1　(1)若椭圆C：＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF2|＝4，则∠F1PF2等于(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° (2)(xx·丰台模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点坐标为(2,0)，则双曲线的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C．x2－＝1 D.－y2＝1 思维升华　(1)准

4、确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定． 跟踪演练1　(1)(xx·大纲全国)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 (2)(xx·天津)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为(　　) A.－＝1 B

5、.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 热点二　圆锥曲线的几何性质 1．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系 (1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝ ； (2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝. 2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系． 例2　(1)椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________． (2)(xx·西北工业大学附中四模)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1、

6、F2，过F1作圆x2＋y2＝a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|＝|CF2|，则双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±3x B．y＝±2x C．y＝±(＋1)x D．y＝±(－1)x 思维升华　(1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键． (2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围． 跟踪演练2　(1)设F1，F2分别是椭圆＋＝1 (a>b>0)的左，右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的

7、中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. (2)(xx·重庆)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a＋，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是(　　) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－，0)∪(0，) D．(－∞，－)∪(，＋∞) 热点三　直线与圆锥曲线 判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法 (1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x

8、，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标； (2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数． 例3　(xx·江苏改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且右焦点F到直线l：x＝－的距离为3. (1)求椭圆的标准方程； (2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若|PC|＝2|AB|，求直线AB的方程． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 思维升华　解决直线与圆锥

9、曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解． 跟踪演练3　(1)(xx·四川)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|等于(　　) A. B．2 C．6 D．4 (2)(xx·南开中学月考)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线上有两点

10、A，B，若直线l的方程为x＋y－2＝0，且AB⊥l，则椭圆＋＝1的离心率为(　　) A. B. C. D. 2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且点(1，)在该椭圆上． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B 两点，若△AOB的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程． 　 提醒：完成作业　专题六　第2讲 二轮专题强化练 专题六 第2讲　椭圆、双曲线、抛物线 A组　专题通关 1．已知椭圆＋＝1(0

11、BF2|的最大值为10，则m的值为(　　) A．3 B．2 C．1 D. 2．(xx·广东)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 3．(xx·课标全国Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　) A. B．2 C. D. 4．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　) A．x2

12、＝y B．x2＝y C．x2＝8y D．x2＝16y 5．(xx·课标全国Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　) A. B. C. D. 6．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________． 7．已知点P(0,2)，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，线段PF与抛物线C的交点为M，过M作抛物线准线的垂线，垂足为Q，若∠PQF＝90°，则p＝________. 8．(xx·山东)平面

13、直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________． 9．(xx·威海模拟)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l经过点M(0,1)，且与椭圆C交于A，B两点，若＝2，求直线l的方程． 10．(xx·浙江)如图，已知抛物线C1：y＝x2，圆C2：x2＋(y－1)2＝1，过点P(t,0)(t＞0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点． (1)

14、求点A，B的坐标； (2)求△PAB的面积． 注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点． B组　能力提高 11．(xx·辽宁)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为(　　) A. B. C. D. 12．已知圆x2＋y2＝上点E处的一条切线l过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F，且与双曲线的右支交于点P，若＝(＋)，则双曲线的离心率是________． 13．已知抛物线y2＝4x的准线过双

15、曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为，则双曲线的离心率为________． 14．已知椭圆C的长轴左、右顶点分别为A，B，离心率e＝，右焦点为F，且·＝－1. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P是椭圆C上的一动点，点P关于坐标原点的对称点为Q，点P在x轴上的射影点为M，连接QM并延长交椭圆于点N，求证：∠QPN＝90°. 学生用书答案精析 第2讲　椭圆、双曲线、抛物线 高考真题体验 1．B　[由双曲线定义||PF2|－|PF1||＝2a，∵|PF1|＝3，∴P在左支上，∵a＝3， ∴|PF2|

16、－|PF1|＝6， ∴|PF2|＝9，故选B.] 2．C　[∵＝4，∴||＝4||， ∴＝. 如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′， 设l与x轴的交点为A， 则|AF|＝4， ∴＝ ＝， ∴|QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3，故选C.] 3. 解析　双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤，故c的最大值为. 4．x2＋y2＝1 解析　设点B的坐标为(x0，y0)． ∵x2＋＝1， ∴F1(－，0)，F2(，0)． ∵AF2

17、⊥x轴，∴A(，b2)． ∵|AF1|＝3|F1B|，∴＝3， ∴(－2，－b2)＝3(x0＋，y0)． ∴x0＝－，y0＝－. ∴点B的坐标为. 将B代入x2＋＝1， 得b2＝.∴椭圆E的方程为x2＋y2＝1. 热点分类突破 例1　(1)C　(2)C 解析　(1)由题意得a＝3，c＝， 所以|PF1|＝2. 在△F2PF1中， 由余弦定理可得cos∠F2PF1＝＝－. 又因为cos∠F2PF1∈(0°，180°)，所以∠F2PF1＝120°. (2)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是 y＝±x，故可知＝， 又∵焦点坐标为(2,0)， ∴c＝＝2，

18、 解得a＝1，b＝. ∴双曲线方程为x2－＝1. 跟踪演练1　(1)A　(2)D 解析　(1)由e＝得＝.① 又△AF1B的周长为4， 由椭圆定义，得4a＝4，得a＝， 代入①得c＝1，∴b2＝a2－c2＝2， 故C的方程为＋＝1. (2)双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，又渐近线过点(2，)，所以＝，即2b＝a，① 抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－， 由已知，得＝，即a2＋b2＝7，② 联立①②解得a2＝4，b2＝3， 所求双曲线的方程为－＝1，选D. 例2　(1)－1　(2)C 解析　(1)直线y＝(x＋c)过点F1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF

19、1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝c，所以该椭圆的离心率e＝＝＝－1. (2)由题意作出示意图， 易得直线BC的斜率为， cos∠CF1F2＝， 又由双曲线的定义及|BC|＝|CF2|可得|CF1|－|CF2|＝|BF1|＝2a， |BF2|－|BF1|＝2a⇒|BF2|＝4a， 故cos∠CF1F2＝＝⇒b2－2ab－2a2＝0⇒()2－2()－2＝0⇒＝1＋，故双曲线的渐近线方程为y＝±(＋1)x. 跟踪演练2　(1)D　(2)A 解析　(1)设P，线段F1P的中点Q的坐标为， 当存在时，则＝，

20、k＝， 由k·k＝－1，得 y2＝，y2≥0， 但注意到b2－2c2≠0，即2c2－b2>0， 即3c2－a2>0，即e2>，故

21、 ∴b2，∴0<<1.∴0<<1. 例3　解　(1)由题意，得＝且c＋＝3， 解得a＝，c＝1，则b＝1， 所以椭圆的标准方程为＋y2＝1. (2)当AB⊥x轴时，|AB|＝，又|CP|＝3，不合题意． 当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线AB的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0， 则x1,2＝， C的坐标为，且 |AB|＝＝＝. 若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与直线l平行，不合题意． 从

22、而k≠0，故直线PC的方程为 y＋＝－， 则P点的坐标为， 从而|PC|＝. 因为|PC|＝2|AB|， 所以＝， 解得k＝±1. 此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1. 跟踪演练3　(1)D　(2)D 解析　(1)由题意知，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，将x＝c＝2代入得y＝±2，即A，B两点的坐标分别为(2，2)，(2，－2)，所以|AB|＝4. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆的方程有， ＋＝1，＋＝1， 两式相减得，＋＝0. ∵线段AB的中点坐标为(1，－1)， ∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2代入上式得： ＝.

23、∵直线AB的斜率为＝， ∴＝⇒a2＝2b2， ∵右焦点为F(3,0)， ∴a2－b2＝c2＝9， 解得a2＝18，b2＝9， 又此时点(1，－1)在椭圆内， ∴椭圆方程为＋＝1. 高考押题精练 1．C　[由条件可知直线l的斜率为－，又AB⊥l，可知直线AB的斜率为，故＝，故＝2，由此可知a>b>0，则椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的焦距为2c，则＝2，解得椭圆的离心率为＝.] 2．解　(1)由题意可得e＝＝， 又a2＝b2＋c2， 所以b2＝a2. 因为椭圆C经过点(1，)， 所以＋＝1， 解得a＝2，所以b2＝3， 故椭圆C的方程为＋＝1. (2)由(1)知F1(

24、－1,0)，设直线l的方程为x＝ty－1， 由消去x， 得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0， 显然Δ>0恒成立， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝，y1y2＝－， 所以|y1－y2|＝ ＝ ＝， 所以S△AOB＝·|F1O|·|y1－y2|＝＝， 化简得18t4－t2－17＝0， 即(18t2＋17)(t2－1)＝0， 解得t＝1，t＝－(舍去)， 又圆O的半径r＝＝， 所以r＝，故圆O的方程为x2＋y2＝. 二轮专题强化练答案精析 第2讲　椭圆、双曲线、抛物线 1．A　[已知椭圆＋＝1(0

25、＋|BF2|＝4a－|AB|≤10， ∴|AB|≥2，|AB|min＝＝＝2，解得m＝3.] 2．C　[因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e＝＝，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线方程为－＝1，故选C.] 3．D　[如图，设双曲线E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则|AB|＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点 N(x1,0)，∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°， ∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN ＝2asin 60°＝a，x1＝|OB|

26、＋|BN|＝a＋2acos 60°＝2a.将点M(x1，y1)的坐标代入－＝1，可得a2＝b2，∴e＝＝＝，选D.] 4．D　[∵双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2， ∴＝＝2，∴b＝a， ∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0， ∴抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2， ∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.] 5．D　[由已知得焦点坐标为F(，0)， 因此直线AB的方程为y＝(x－)， 即4x－4y－3＝0. 方法一　联立抛物线方程化简得 4y2－12y－9＝0， 故|yA－yB|＝＝6. 因此S△OAB＝|OF||yA

27、－yB|＝××6＝. 方法二　联立方程得x2－x＋＝0， 故xA＋xB＝. 根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12， 同时原点到直线AB的距离为h＝＝， 因此S△OAB＝|AB|·h＝.] 6．7 解析　由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋ |PF2|－1－2＝7. 7. 解析　由抛物线的定义可得|MQ|＝|MF|，F(，0)，又PQ⊥QF，故M为线段PF的中点，所以M(，1)，把M(，1)，代入抛物线y2＝2px(p>0)得，1＝2p×， 解得p＝，故答案为. 8.

28、 解析　由题意，不妨设直线OA的方程为y＝x，直线OB的方程为y＝－x. 由得x2＝2p ·x， ∴x＝，y＝，∴A. 设抛物线C2的焦点为F，则F， ∴kAF＝. ∵△OAB的垂心为F，∴AF⊥OB， ∴kAF·kOB＝－1， ∴·＝－1，∴＝. 设C1的离心率为e，则e2＝＝＝1＋＝.∴e＝. 9．解　(1)设椭圆方程为＋＝1(a>0，b>0)，因为c＝1，＝， 所以a＝2，b＝， 所以椭圆方程为＋＝1. (2)由题意得直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y＝kx＋1， 联立方程 得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，且Δ>0. 设A(x1，y1)，B(

29、x2，y2)， 由＝2，得x1＝－2x2， 又 所以 消去x2得()2＝， 解得k2＝，k＝±， 所以直线l的方程为y＝±x＋1， 即x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0. 10．解　(1)由题意知直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为y＝k(x－t)． 由消去y，整理得： x2－4kx＋4kt＝0， 由于直线PA与抛物线相切，得k＝t， 因此，点A的坐标为(2t，t2)． 设圆C2的圆心为D(0,1)，点B的坐标为(x0，y0)，由题意知：点B，O关于直线PD对称，且直线PD：y＝－x＋1， 故 解得 因此，点B的坐标为. (2)由(1)知，|AP|＝t·

30、和直线PA的方程tx－y－t2＝0， 点B到直线PA的距离是d＝， 设△PAB的面积为S(t)， 所以S(t)＝|AP|·d＝. 11．D　[抛物线y2＝2px的准线为直线x＝－，而点A(－2,3)在准线上，所以－＝－2，即p＝4，从而C：y2＝8x，焦点为F(2,0)．设切线方程为y－3＝k(x＋2)，代入y2＝8x得y2－y＋2k＋3＝0(k≠0)，① 由于Δ＝1－4×(2k＋3)＝0，所以k＝－2或k＝. 因为切点在第一象限，所以k＝. 将k＝代入①中，得y＝8，再代入y2＝8x中得x＝8， 所以点B的坐标为(8,8)， 所以直线BF的斜率为.] 12. 解析　如图

31、所示，设双曲线的右焦点为H，连接PH， 由题意可知|OE|＝， 由＝(＋)，可知E为FP的中点． 由双曲线的性质，可知O为FH的中点， 所以OE∥PH，且|OE|＝|PH|， 故|PH|＝2|OE|＝. 由双曲线的定义，可知|PF|－|PH|＝2a(P在双曲线的右支上)， 所以|PF|＝2a＋|PH|＝. 因为直线l与圆相切，所以PF⊥OE. 又OE∥PH，所以PF⊥PH. 在Rt△PFH中，|FH|2＝|PH|2＋|PF|2， 即(2c)2＝()2＋()2， 整理得＝，即e＝. 13．2 解析　抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1， 由题意知，双曲线的左焦点坐标

32、为(－1,0)， 即c＝1， 且A(－c，)，B(－c，－)， 因为△AOB的面积为， 所以×2××1＝， 即＝， 所以，＝， 解得a＝，∴e＝＝＝2. 14．(1)解　依题意，设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)， 则A(－a,0)，B(a,0)，F(c,0)， 由e＝＝， 得a＝c.① 由·＝－1， 得(c＋a,0)·(c－a,0)＝c2－a2＝－1.② 联立①②，解得a＝，c＝1， 所以b2＝1， 故椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)证明　设P(x1，y1)，N(x2，y2)， 由题意知xi≠0，yi≠0(i＝1,2)， 且x1≠x2， 又Q(－x1，－y1)，M(x1,0)． 由Q，M，N三点共线，知kQM＝kQN， 所以＝.③ 又kPQkPN＋1＝·＋1.④ 把③代入④，得kPQkPN＋1＝·＋1＝.⑤ 因为点P，N在椭圆上， 所以x＋2y＝2，x＋2y＝2，⑥ 把⑥代入⑤， 得kPQkPN＋1＝＝0， 即kPQkPN＝－1， 所以∠QPN＝90°.