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1、2022年高三数学上学期第二次月考试题 理(II)
一、选择题
1．如果，那么（ ）
A．－2 B．2 C．－ D．
2．设数列是以3为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（ ）
A．1033 B．1057 C．1043 D．1058
3．将函数的图象向左平移2个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．某研究机构对儿童记忆能力和识图能力进行统计分析，得到如下数据：
记忆能力
4
6
8
10
识图能力
3
2、
5
6
8
由表中数据，求得线性回归方程为，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为（ ）
A、10.3 B、11.5 C、9.5 D、7.1
5．已知数列为等差数列，且，则的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
6．已知函数
的部分图像如图所示. 则函数的解析式为（ ）
A、 B、
C、 D、
7．如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中第4项的系数是（ ）
A、954 B、－954 C、2835 D、－2835
8．任意确定四个日期，其中有一个是星期天的概率为（ ）
A、 B、 C
3、、 D、
9．在圆内，过点P（1,1）的最长的弦为，最短的弦为，则四边形的面积为．（ ）
A、 B、 C、 D、
10．椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．设抛物线的焦点为,准线为，为抛物线上一点，且为垂足，如果直线的斜率为，则｜PF｜＋｜OF｜等于（ ）
A． B． C． D．10
12．若数列的通项公式，记，则f(n)=
A、 B、 C、 D、
第II卷（
4、非选择题90分）
二、填空题
13、已知,是虚数单位,则____
14．曲线在点处的切线方程是
15．已知数列满足，若，则
16．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与圆有公共点A（1,2），且圆在点的切线与双曲线的渐近线平行，则双曲线的离心率为
三、解答题
17. 已知数列{an}的前n项和，数列{bn}满足b1=1，b3+b7=18，且（n≥2）.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）若，求数列{cn}的前n项和Tn.
18．（12分）一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设袋子中
5、的每一个球被摸到可能性是相等的。
（Ⅰ）从袋子中任意摸出3个球，求摸出的球均为白球的概率；
（Ⅱ）一次从袋子中任意摸出3个球，若其中红球的个数多于白球的个数，则称“摸球成功”（每次操作完成后将球放回），某人连续摸了3次，记“摸球成功”的次数为，求的分布列和数学期望。
19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，, 点是的中点，，且交于点．
（Ⅰ）求证:平面；
（Ⅱ）求证：平面⊥平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
20．(12分)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点M(1,1)，离心率e＝，O为坐标原点．
(1)求椭
6、圆C的方程；
(2)若直线l是圆O：x2＋y2＝1的任意一条切线，且直线l与椭圆C相交于A，B两点，求证：·为定值．
21．（本小题满分12分）已知函数f（x）=x2e-2ax （a＞0），
（1）已知函数f（x）的曲线在x＝1处的切线方程为，求实数的值；
（2）求函数在［1，2］上的最大值．
22．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），过点且斜率为的直线与曲线相交于不同的两点．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）设，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．
xx届高三级第一学期第二次月考
理科数学
7、答案和评分标准
一、CCACC BDCCB DC ；二、13、1＋i 14、 15、-1 16、
三、解答题
17．解析：（1）由题意知①，当n≥2时，②，①-②得，即，又，∴，故数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列，所以，由（n≥2）知，数列{bn}是等差数列，设其公差为d，则，故，综上，数列{an}和{bn}的通项公式分别为.
（2）∵，∴③
④
③-④得，即，
∴
18、（Ⅰ）设从袋子中任意摸出3个球, 摸出的球均为白球的概率是 4分
（Ⅱ）由一次”摸球成功”的概率． 8分
随机变量服从二项分布,分布列如下
8、
0
1
2
3
． 12分．
19．方法一：（Ⅰ）证明：连结交于，连结． 是正方形，∴ 是的中点．
是的中点，∴是△的中位线．∴． 2分
又平面，平面， ∴平面． 4分
（Ⅱ）证明：由条件有∴ 平面，且平面∴
又∵ 是的中点，∴ ∴平面 平面∴ 6分 由已知 ∴平面
又平面 ∴平面平面
9、 8分
（Ⅲ）取中点，则．作于，连结． ∵底面，∴底面．∴为在平面内的射影．∵,∴．
∴为二面角的平面角． 10分
设，在中，，∴．
∴ 二面角的余弦的大小为． 12分
方法二：（Ⅱ）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，由,可设，
则．
， ，
,即有 6分
又且．
平面． 又平面
10、
∴平面⊥平面． 8分
（Ⅲ） 底面，∴是平面的一个法向量，．
设平面的法向量为,
, 则即, ∴
令,则． 10分, 由作图可知二面角为锐二面角∴二面角的余弦值为． 12分
20、【解】 (1)因为e＝＝，∴a2＝3b2，∴椭圆C的方程为＋＝1.
又∵椭圆C过点M(1,1)，代入方程解得a2＝4，b2＝，∴椭圆C的方程为＋＝1 4分
(2) ①当圆O的切线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，
则圆心O到直线l的距离d＝＝1，∴1＋k2＝m2将直线l的方程和椭圆C的方程联立，得到
11、关于x的方程为(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－4＝0 6分
设直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则
7分 ∴·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2 9分
＝(1＋k2)·＋km·＋m2＝＝0，
②当圆的切线l的斜率不存在时，验证得·＝0.综合上述可得，·为定值0. 12分
21、解：（1）f（x）=x2e-2ax（a＞0），∴=2xe-2ax+x2·（-2a）e-ax=2e-ax（-ax2+x）．1∴= 解得：a=2 2分又由点在切线上 解得： 4分
（2）令>0，即2e-2a
12、x（-ax2+x）>0，得01时，f（x）在（1，2）上是减函数，∴f（x）max=f（1）= 8分
②当1≤≤2，即0．5≤a≤1时f（x）在上是增函数，在上是减函数，
∴f（x）max=f=a-2e-2 10分③当>2时，即0时，f（x）的最大值为 12分
22．解：（Ⅰ）曲线的方程可写成过且斜率为的直线方程为
1分
代入曲线的方程得整理得 ①3分
直线与圆交于两个不同的点等价于 4分
解得，即的取值范围为 5分
（Ⅱ）设，则由方程①，
② 7分
又 ③而所以与共线等价于 8分
将②③代入上式，解得由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数 10分
2022年高三数学上学期第二次月考试题 理(II)
