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1、2022年高三数学12月月考试题 理(IV)
一．选择题（共12小题，每题5分共60分。）
1．已知集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{x|log2x<2}，则A∩B＝( )
A．(－1,3) B．(0,4) C．(0,3) D．(－1,4)
2．设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知a＝0.7，b＝0.6，c＝log2.11.5，则a，b，c的大小关系是( )
A．c
2、
3、△ABP的面积之比为( )
A．3 B．6 C．2 D.
7． 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，正四棱锥P—ABCD的底面积为3，体积为，
E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为( )
A. B. C. D.
9．已知函数y＝anx2(an≠0，n∈N*)的图象在x＝1处的切线斜率为2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，且当n＝1时其图象过点(2,8)，则a7的值为( )
A. B．
4、7 C．5 D．6
10．设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.3
11.偶函数满足,且在时, , ，则函数与图象交点的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
12．设函数f1(x)＝x，f2(x)＝log2 015x，ai＝(i＝1,2，…，2 015)，记Ik＝|fk(a2)－fk(a1)|＋|fk(a3)－fk(a2)|＋…＋|fk(a2 015)－fk(a2 014)|，k＝1,2，
5、则( )
A．I1I2 D．I1与I2的大小关系无法确定
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上）
13．在平面直角坐标系xOy中，若曲线(为常数)过点，且该曲线在点P处的切线与直线平行，则的值是 ．
14．已知O为坐标原点，A(1,2)，点P的坐标(x，y)满足约束条件
则z＝·的最大值为________．
15．如图，正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过
16．已知数列为等差数列，且各项均不为，为其前项和，，，若不等式对任意的正整数恒成立，则的
6、取值集合为
三．解答题（6题，共70分，要求写出解答过程或者推理步骤）
17．(10分)己知函数,
(1) 当时，求函数的最小值和最大值；
(2) 设ABC的内角A，B，C的对应边分别为、、，且，f(C)=2，
若向量与向量共线，求，的值．
18．(12分)过点Q(－2，)作圆O：x2＋y2＝r2(r>0)的切线，切点为D，且|QD|＝4.
(1)求r的值；
(2)设P是圆O上位于第一象限内的任意一点，过点P作圆O的切线l，
且l交x轴于点A，交y轴于点B，设＝＋，求||的最小值(O为坐标原点)．
7、 19．(12分)设函数f(x)＝＋(x>0)，数列{an}满足a1＝1，an＝f，n∈N*，且n≥2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对n∈N*，设Sn＝＋＋＋…＋，若Sn≥恒成立，
求实数t的取值范围．
20．(12分)如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC，EA⊥EB.
(1)求证：AB⊥DE；
(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；
(3)线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？
若存在，求出；若不存在，请说明理由．
21．(12分) 如图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，
8、离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）取垂直于轴的直线与椭圆相较于不同的两点、，
过、作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外．
若⊥，求圆的标准方程．
22．(12分)已知函数f(x)＝x2－ax＋ln(x＋1)(a∈R)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的极值点；
(2)若函数f(x)在区间(0,1)上恒有f′(x)>x，求实数a的取值范围；
(3)已知a<1，c1>0，且cn＋1＝f′(cn)(n＝1,2，…)，证明：数列{cn}是单调递增数列．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．
9、 14．
15． 16
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17、（10分）
18（12分）
19、（12分）
20．(12分)
21．（12分）
10、
22.
12月考理科数学答案
1 C 2 A 3 A 4 D 5 B 6 A 7 A 8 C 9 C 10 C 11 B 12 A
12解析：依题意，f1(ai＋1)－f1(ai)＝ai＋1－ai＝－＝，因此I1＝|f1(a2)－f1(a1)|＋|f1(a3)－f1(a2)|＋…＋|f1(a2 015)－f1(a2 014)|＝， f2(ai＋1)－f2(ai)＝log2 015ai＋1－log2 015ai＝log2 015－log2 015>0，I2＝|f2(a2)
11、－f2(a1)|＋|f2(a3)－f2(a2)|＋…＋|f2(a2 015)－f2(a2 014)|＝(log2 015－log2 015)＋(log2 015－log2 015)＋…＋(log2 015－log2 015)＝1，因此I1
12、(1)圆O：x2＋y2＝r2(r>0)的圆心为O(0,0)，
于是|QO|2＝(－2)2＋()2＝25，
由题设知，△QDO是以D为直角顶点的直角三角形，
故有r＝|OD|＝＝＝3.
(2)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，即bx＋ay－ab＝0，则A(a,0)，B(0，b)，∴＝(a，b)，
∴||＝.
∵直线l与圆O相切，
∴＝3⇒a2b2＝9(a2＋b2)≤2，
∴a2＋b2≥36，∴||≥6，
当且仅当a＝b＝3时取到“＝”．
∴||取得最小值为6.
19 解：(1)由an＝f可得，an－an－1＝，n∈N*，n≥2.所以{an}是等差数列，
又因为a1
13、＝1，所以an＝1＋(n－1)×＝，n∈N*.
(2)Sn＝＋＋＋…＋，n∈N*.因为an＝，所以an＋1＝，
所以＝＝.
所以Sn＝＝，n∈N*.
Sn≥⇔≥⇔t≤(n∈N*)恒成立．令g(n)＝(n∈N*)，
g(n)＝＝＝2n＋3＋－6(n∈N*)．令p＝2n＋3，则p≥5，p∈N*.
g(n)＝p＋－6(n∈N*)，易知p＝5时，g(n)min＝.
所以t≤，即t的取值范围是.
20． (1)证明：取AB的中点O，连接EO，DO.
因为EB＝EA，所以EO⊥AB.
因为四边形ABCD为直角梯形．AB＝2CD＝2BC，AB⊥BC，
所以四边形OBCD为正方形，所以A
14、B⊥OD.
因为EO∩DO＝0.所以AB⊥平面EOD，所以AB⊥ED.
(2)因为平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，
所以EO⊥平面ABCD，所以EO⊥OD.
由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz.
因为三角形EAB为等腰直角三角形，所以OA＝OB＝OD＝OE，设OB＝1，
所以O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，E(0,0,1)．
所以＝(1,1，－1)，
平面ABE的一个法向量为＝(0,1,0)．设直线EC与平面ABE所成的角为θ，
所以sinθ＝|cos〈，〉＝＝，
即直线EC
15、与平面ABE所成角的正弦值为.
(3)存在点F，且＝时，有EC∥平面FBD.
证明如下：由＝＝，
F，所以＝，＝(－1,1,0)．
设平面FBD的法向量为v＝(a，b，c)，
则有所以取a＝1，得v＝(1,1,2)．
因为·v＝(1,1，－1)·(1,1,2)＝0，且EC⊄平面FBD，所以EC∥平面FBD，
即点F满足＝时，有EC∥平面FBD.
21解：21、解：（I）由题意知点A在椭圆上，则.从而.
由得，从而.故该椭圆的标准方程为.
（II）由椭圆的对称性，可设.又设是椭圆上任意一点，则
.
设，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当时取最小值，又因，所
16、以上式当时取最小值，从而，且.
因为,且，所以，
即.由椭圆方程及得，
解得，.从而.
故这样的圆有两个，其标准方程分别为
，.
22解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2－2x＋ln(x＋1)，
f′(x)＝2x－2＋＝，
令f′(x)＝0，得x＝±.
又x>－1，且x∈(－1，－)∪(，＋∞)时，f′(x)>0，x∈(－，)时，f′(x)<0，
∴函数f(x)的极大值点为x＝－，极小值点为x＝.
(2)∵f′(x)＝2x－a＋，由f′(x)>x，得2x－a＋>x，即a1，∴a≤1.
(3)①当n＝1时，c2＝f′(c1)＝2c1－a＋，
∵c1>0，∴c1＋1>1，又a<1，
∴c2－c1＝c1－a＋＝c1＋1＋－(a＋1)>2－(a＋1)＝1－a>0，
∴c2>c1，即当n＝1时结论成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时，有ck＋1>ck>0.
则当n＝k＋1时，ck＋2－ck＋1＝ck＋1－a＋＝ck＋1＋1＋－(a＋1)>2－(a＋1)＝1－a>0.
∴ck＋2>ck＋1，即当n＝k＋1时结论成立．
由①，②知数列{cn}是单调递增数列．
2022年高三数学12月月考试题 理(IV)
