2022年高考数学大一轮复习 7.3基本不等式及其应用试题 理 苏教版

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1、2022年高考数学大一轮复习 7.3基本不等式及其应用试题 理 苏教版 一、填空题 1．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________． 解析　∵x＞0，y＞0且1＝＋≥2 ，∴xy≤3.当且仅当＝时取等号． 答案　3 2．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值为________． 解析　由x2＋y2＋xy＝1，得(x＋y)2－xy＝1，即xy＝(x＋y)2－1≤，所以(x＋y)2≤1，故－≤x＋y≤，当x＝y时“＝”成立，所以x＋y的最大值为. 答案　 3．已知0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列不等式：①log2a＞0；　②2a－b＜；③2＋＜

2、；④log2a＋log2b＜－2，其中正确的是________． 解析　由0＜a＜b，且a＋b＝1，得0＜a＜＜b＜1，所以log2a＜0.易得a－b＞－1，所以2a－b＞，由＋＞2，得2＋＞4，由1＝a＋b＞2(a≠b)，得ab＜，所以log2a＋log2b＝log2ab＜－2，仅④正确． 答案　④ 4．在等式“1＝＋”两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数是________． 解析　设括号内填入的两个正整数为x，y，则有＋＝1，于是x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2 ＝16，当且仅当y2＝9x2，即x＝4，y＝12时等号成立．此时x＋y取最小值16.故应填4

3、和12. 答案　4和12 5．已知函数f(x)＝2x，f(a)·f(b)＝8，若a＞0且b＞0，则＋的最小值为________． 解析　因为f(a)·f(b)＝2a·2b＝2a＋b＝8，所以a＋b＝3，所以＋＝(a＋b)＝≥＝3，当且仅当b2＝4a2，即a＝1，b＝2时等号成立，所以＋的最小值为3. 答案　3 6．已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________． 解析 依题意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即的最大值是2；又λ≥，因此有λ≥2，即λ的最小值是2. 答案 2 7．已知M是△ABC内

4、的一点，且·＝2，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y，则＋的最小值为________． 解析 依题意得·＝||·||cos 30°＝2，则||·||＝4，故S△ABC＝||·||sin 30°＝1，即＋x＋y＝1，x＋y＝，所以＋＝2(x＋y)·＝2≥2＝18，当且仅当＝，即y＝2x＝时，等号成立，因此＋的最小值为18. 答案 18 8．已知a，b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值是________． 解析 依题意得，a，b同号，于是有|a＋2b|＝|a|＋|2b|≥2＝2＝2＝20(当且仅当|a|＝|2b|时取等号)，因此|a＋2b|的

5、最小值是20. 答案 20 9．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元． 解析 每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x＞0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元． 答案 5　8 10．设a，b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是________． 解析 2a＋2b≥2＝2 ＝2·＝4 ∴2a＋2b≥4. 答案

6、 4 二、解答题 11．某森林出现火灾，火势正以每分钟100 m2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50 m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元． (1)设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，试建立t与x的函数关系式； (2)问应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？ (总损失＝灭火材料、劳务津贴等费用＋车辆、器械和装备费用＋森林损失费) 解　(1)t＝＝. (2)设总

7、损失为y，则y＝灭火劳务津贴＋车辆、器械和装备费＋森林损失费． y＝125tx＋100x＋60×(500＋100t) ＝125·x·＋100x＋30 000＋ ＝1 250·＋100(x－2＋2)＋30 000＋ ＝31 450＋100(x－2)＋ ≥31 450＋2＝36 450. 当且仅当100(x－2)＝，即x＝27时，y有最小值36 450. 12．已知lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)． (1)求xy的最小值； (2)求x＋y的最小值． 解 由lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)，得 (1)∵x＞0，y＞0， ∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1.

8、∴3xy－2－1≥0. 即3()2－2－1≥0. ∴(3＋1)(－1)≥0. ∴≥1.∴xy≥1. 当且仅当x＝y＝1时，等号成立． ∴xy的最小值为1. (2)∵x＞0，y＞0， ∴x＋y＋1＝3xy≤3·2. ∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0. ∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0. ∴x＋y≥2. 当且仅当x＝y＝1时取等号， ∴x＋y的最小值为2. 13．某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一

9、层每平方米增加100元． (1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用) (2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？ 解 (1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为： 4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)， 从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多： 100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)， 写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列， 所以函数表达式为： y＝f(x)＝800x＋×20＋9 000 ＝10

10、x2＋790x＋9 000(x∈N*)； (2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为： g(x)＝×10 000 ＝ ＝50≥50×(2＋79) ＝6 950(元)． 当且仅当x＝，即x＝30时等号成立． 答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低． 14．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度

11、x的一次函数． (1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式； (2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时) 解　(1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20