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1、2022年高考数学大一轮复习 2.5指数与指数函数试题 理 苏教版
一、填空题
1．方程4x－2x＋1－3＝0的解是________．
解析 方程4x－2x＋1－3＝0可化为(2x)2－2·2x－3＝0，即(2x－3)(2x＋1)＝0，∵2x>0，∴2x＝3，∴x＝log23.
答案 log23
2．已知函数f(x)＝是定义域上的递减函数，
则实数a的取值范围是________．
解析 ∵函数f(x)＝是定义域上的递减函数，∴即
解得
2、．
解析 M＝{x|x<1}，N＝，则M∩N＝.
答案
4．函数y＝的单调递增区间是________．
解析 由－x2＋x＋2≥0知，函数定义域为[－1,2]，－x2＋x＋2＝－2＋，当x>时，u(x)＝－x2＋x＋2递减，又y＝x在定义域上递减，故函数y＝的单调递增区间为.
答案
5．已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且
只有一个实根，则实数a的范围是________．
解析 方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点．结合下面函数图象可知a>1.
答案 (1，＋∞)
6．设定义在
3、R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(2 010)＝________.
解析 当x＞0时，f(2 010)＝f(2 009)－f(2 008)＝f(2 008)－f(2 007)－f(2 008)＝－f(2 007)＝f(2 005)－f(2 006)＝f(2 005)－f(2 005)＋f(2 004)＝f(2 004)，所以f(x)是以T＝6的周期函数，所以f(2 010)＝f(335×6)＝f(0)＝3－1＝.
答案
7．已知函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则g(0)，g(2)，g(3)的大小关系是________．
解析 因为
4、f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，所以由f(－x)－g(－x)＝e－x，得－f(x)－g(x)＝e－x，与f(x)－g(x)＝ex联立，求得f(x)＝(ex－e－x)，g(x)＝－(ex＋e－x)，g′(x)＝－(ex－e－x)＝0，x＝0，当x<0时，g′(x)>0，当x>0时，g′(x)<0.所以g(3)＜g(2)＜g(0)．
答案 g(3)＜g(2)＜g(0)
8．设函数f(x)＝若f(x)是奇函数，则g(2)的值是________．
解析 因为f(x)是奇函数，所以g(2)＝f(2)＝－f(－2)＝－2－2＝－.
答案 －
9．已知函数f(x)＝9x－m·3x＋m
5、＋1在x∈(0，＋∞)上的图象恒在x轴上方，则m的取值范围为________．
解析 设t＝3x＞1问题转化为m＜，t∈(1，＋∞)，即m小于y＝，t∈(1，＋∞)的最小值，又y＝＝t－1＋＋2≥2 ＋2＝2＋2，所以m＜2＋2.
答案 (－∞，2＋2)
10．函数y＝a2x－2(a>0，a≠1)的图象恒过点A，若直线l：mx＋ny－1＝0经过点A，则坐标原点O到直线l的距离的最大值为________．
解析 由指数函数的性质可得：函数y＝a2x－2(a>0，a≠1)的图象恒过点A(1,1)，而A∈l，∴m＋n－1＝0，即m＋n＝1，由基本不等式可得：m2＋n2≥(m＋n)2＝.∴O到
6、直线l的距离d＝≤＝，∴O到直线l的距离的最大值为.
答案
二、解答题
11．已知函数f(x)＝2x－(x∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性与奇偶性；
(2)若2xf(2x)＋mf(x)≥0对任意的x∈[0，＋∞)恒成立，求m的取值范围．
解 (1)由f(－x)＝2－x－＝－2x＝－f(x)知f(x)是奇函数．由y1＝2x与y2＝－2－x是(－∞，＋∞)上的增函数，得f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数．
(2)当x∈[0，＋∞)时，2x＋m≥0，即≥0恒成立，因为x≥0时，2x－≥0，所以22x＋1＋m≥0，m≥－(22x＋1)，所以m≥－(20＋1)＝－2.
12．如图，
7、过原点O的直线与函数y＝2x的图象交于A，B两点，过B作y轴 的垂线交函数y＝4x的图象于点C.若AC平行于y轴，求A点的坐标．
解 设C(a,4a)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵AC∥y轴，∴x1＝a，
∴y1＝2x1＝2a，即A(a,2a)．
又y2＝2x2＝4a，∴x2＝2a，
即B(2a,4a)．∵A、B、O三点共线，
∴＝⇒a＝1，∴A(1,2)．
13．已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.
(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．
解 (1)当a＞0，
8、b＞0时，因为a·2x、b·3x都单调递增，
所以函数f(x)单调递增；
当a<0，b<0时，
因为a·2x、b·3x都单调递减，
所以函数f(x)单调递减．
(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x＞0.
当a＜0，b＞0时，x＞－，
解得x>log；
当a＞0，b＜0时，x＜－，解得x
9、
解 (1)因为f(x)是奇函数，且f(0)有意义，所以f(0)＝0，所以k－1＝0，k＝1.
(2)因为f(1)＞0，所以a－＞0，∴a＞1，∴f(x)＝ax－a－x是R上的单调增函数．
于是由f(x2＋2x)＞－f(x－4)＝f(4－x)，得x2＋2x＞4－x，即x2＋3x－4＞0，解得x＜－4或x＞1.
(3)因为f(1)＝，所以a－＝，解得a＝2(a＞0)，所以g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－2m(2x－2－x)＋2.设t＝f(x)＝2x－2－x，则由x≥1，
得t≥f(1)＝，g(x)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2.
若m≥，则当t＝m时，ymin＝2－m2＝－2，解得m＝2.
若m＜，则当t＝时，ymin＝－3m＝－2，
解得m＝(舍去)．综上得m＝2.
2022年高考数学大一轮复习 2.5指数与指数函数试题 理 苏教版
