2022年高考数学一轮复习 导数概念知识梳理1 苏教版

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1、2022年高考数学一轮复习 导数概念知识梳理1 苏教版 知识点反思梳理： 【只要都有则函数就在区间上单调递增】 Ⅱ.观察下列函数图象不难发现：虽然函数都是递增（递减）函数，可是增减的快慢（陡峭程度）却各不相同。究竟怎样刻画、区别函数的陡峭程度呢？比如“越陡值就越大…….’ 那么又是为了研究什么发明的“平均变化率”、“瞬时变化率“、”导数”呢？？ Ⅲ.发明一个什么样的“数学工具模型”才能“刻画变量变化的快与慢？” 数缺形时少直观，形缺数时难入微。 如何量化曲线的陡峭程度？ Ⅳ.平均变化率 ：一般地,函数f(x)在区间[x1，x2

2、]上的平均变化率。简记为 Ⅴ. 平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”． Ⅵ. 平均变化率量化一段曲线的“陡峭程度、快慢程度”是“粗糙不精确的”， Ⅶ.但应注意当很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”。 Ⅷ.【导数产生的背景：】 1. 如图，设曲线c是函数的图象，点是曲线 c 上一点作割线PQ当点Q 沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一位置PT我们就把该位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处的切线割线斜率切线斜率也叫是函数在点的瞬时变化率. 2..函数在该点处的这个具有预测、导性的数，数学上也常把它叫做“导数’ 3.分别说出

3、下列符号语言的含义：①； ②； ③； .④. 4.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值它们之间的关系是函数在点处的导数就是导函数在点的函数值 5．与的区别： 在对导数的概念进行理解时，特别要注意与是不一样的，代表函数在处的导数值，不一定为0；而是函数值的导数，而函数值是一个常量，其导数一定为0，即=0。 例1.已知曲线在处的切线的倾斜角为，则 ， . 变式1：已知函数的导函数为，且有则？ 例2：.如图，水以常速（单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出

4、与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像． 2.根据导数的几何意义：就是函数在点处的切线斜率.请分别观察上述图象随着的增大值增加的快慢与切线斜率的大小关系？ 练习：（xx江西）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为 练习：单位圆中弧AB长为x，f（x）表示弧AB与弦AB所围成弓形面积的2倍。则函数f（x）的图像是（ ） A B C D 解析一：

5、定量分析。可列出f（x）=x－sinx，知0x，f（x）图像在y=x上方。选D 解二：定性分析。当x从增至2π时，f（x）变化经历了从慢到快，从快到慢的过程，选D 命题意图与思路点拨：此题考查学生作图、识图、用图的能力。解析二与解析三直接避开求f（x）解析式，把图像与性质对应，通过性质，作出判断，本题对学生分析思考能力，要求较高。 例3.若直线为函数图象的切线,求b的值和切点坐标. 变式1.求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程. 变式2:求曲线y=x2过点(0,-1)的切线方程 变式3:求曲线y=x3

6、过点(1,1)的切线方程 变式4:已知直线,点P为y=x2上任意一点,求P在什么位置时到直线距离最短. 变式5:求函数 图象上的点到直线的距离的最小值及相应点的坐标. 解：首先由得 知，两曲线无交点. ，要与已知直线平行，须， 故切点：（0 , －2）. . 例4：【xx海南宁夏文21/22】设函数，曲线在点处的切线方程为. （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值. 解：（Ⅰ）方程可化为，当时，； 又，于是，解得， 故 （Ⅱ）设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为 ，即 令，得，从而得切线与直

7、线的交点坐标为； 令，得，从而得切线与直线的交点坐标为； 所以点处的切线与直线所围成的三角形面积为； 故曲线上任一点处的切线与直线所围成的三角形面积为定值6. 练习：曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 。 练习：（10全国2）（10）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 . . 【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力.. 【解析】，切线方程是，令，，令，，∴三角形的面

8、积是，解得. 练习：【致远中学等xx届高三第一次调研y x O P M Q N 】14．图为函数 轴和直线分别 交于点P、Q，点N（0，1），若△PQN的面积为b 时的点M恰好有两个，则b的取值范围为 ▲ . 【江苏·盐城】8.设为曲线上一点,曲线在点处的切线的斜率的范围是,则点纵坐标的取值范围是____▲____. 例5: 【启东中学xx高三备课组】★你能正确使用切点与交点吗？ 15．（本小题满分16分）如图，在函数的图像上取4个点，过点 作切线（，如果∥，且围成的图形是矩形记为M． （1）证明四边形是平行四边形； A1 A2 A3

9、A4 x y 0 （2）问矩形M的短边与长边的比是否有最大值，若有，求与的斜率，若没有， 请证明． （1）设直线的斜率为（， 由，得 ------------------------------2分 由题意，，又点不重合，故，， 从而，，---------------------------------------------5分 因此，都关于原点对称， 故四边形是平行四边形；------------------------------------7分 （2）有最大值； --------

10、-------------------------------------------9分 设， ，即，且 设与的距离为，与的距离为 （k＞1）-------11分 令（x＞1） ， 当时为增函数， 当时为减函数， 故当，---------------14分 因为 ，因此矩形M的短边与长边的比有最大值， 与的斜率分别为和，-----------------------------16分 练习：已知曲线与。直线l与、都相切，求直线l的方程。解：设l与相切于点，与相切于。对，则与相切于点P的切线方程为，即。 ① 　　对，则与相切于点Q的切线

11、方程为 ，即。 ② 　　∴直线方程为y=0或y=4x-4。 课外作业： 1.已知函数（）的图象为曲线． （1）求过曲线上任意一点的切线斜率的取值范围； （2）若在曲线上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线的切点的横 坐标的取值范围； （3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合 条件的所有直线方程；若不存在，说明理由． 解：（1），则， 即过曲线上任意一点的切线斜率的取值范围是；------------4分 （2）由（1）可知，----------------------------------------------

12、-----------6分 解得或，由或 得：；-------------------------------9分 （3）设存在过点A的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B， ， 则切线方程是：， 化简得：，--------------------------11分 而过B的切线方程是， 由于两切线是同一直线， 则有：，得，----------------------13分 又由， 即 ，即 即， 得，但当时，由得，这与矛盾。 所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点。----------------------------------16分