（全国版）2019版高考物理一轮复习 第6章 机械能及其守恒定律 第24课时 机械能守恒定律及其应用学案

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1、 第24课时　机械能守恒定律及其应用 考点1　机械能守恒的判断与应用 1．重力做功的特点 (1)重力做功与路径无关，只与初末位置的高度差有关。 (2)重力做功不引起物体机械能的变化。 2．重力势能 (1)定义：物体由于被举高而具有的能。 (2)表达式：Ep＝mgh。(其中h是相对于零势能面的高度) (3)矢标性：重力势能是标量，正负表示其大小。 3．重力做功与重力势能变化的关系 (1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势能就增加。 (2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量。即WG＝－(Ep2－Ep1)

2、＝－ΔEp。 4．重力势能的特点 (1)系统性：重力势能是物体和地球所共有的。 (2)相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关。 5．弹性势能 (1)定义：物体由于发生弹性形变而具有的能。 (2)大小：弹簧的弹性势能的大小与弹簧的形变量及弹簧的劲度系数有关，弹簧的形变量越大，劲度系数越大，弹簧的弹性势能越大。 (3)弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W＝－ΔEp。 6．机械能守恒定律 (1)机械能：动能和势能统称为机械能，其中势能包括重力势能和弹性势能。 (2)机械能守恒定律的内容：在只有重力

3、或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。 (3)常用的三种表达式 ①守恒式：E1＝E2或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。(E1、E2分别表示系统初末状态时的总机械能) ②转化式：ΔEk增＝ΔEp减。(表示系统势能的减少量等于动能的增加量) ③转移式：ΔEA增＝ΔEB减。(表示系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能) [例1](2016·全国卷Ⅲ)如图，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下

4、落，经A点沿圆弧轨道运动。 (1)求小球在B、A两点的动能之比； (2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。 解析　(1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒得 EkA＝mg·① 设小球在B点的动能为EkB，同理有 EkB＝mg·② 由①②式得＝5③ (2)若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的竖直向下的压力FN应满足 FN≥0④ 设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿第二定律和向心加速度公式有 FN＋mg＝m⑤ 由④⑤式得 mg≤m⑥ vC≥ ⑦ 全程应用机械能守恒定律得 mg·＝mvC′2⑧ 由⑦⑧式可知，vC′＝ ，即小球

5、恰好可以沿轨道运动到C点。 答案　(1)5∶1　(2)见解析 (1)机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力等于零，而是看是否只有重力或弹力做功。 (2)机械能守恒时，物体的运动轨迹可以是曲线也可以是直线，力可以是恒力也可以是变力。 (3)在处理单个物体与地球构成的系统时，通常用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面。如例题所列关系式①、②。 1．(人教版必修2 P78·T2改编)下列几种运动过程中物体的机械能守恒的是(　　) A．匀速下落的雨滴 B．在水中下沉的铁块 C．“神舟十号”飞船穿过大气层返回地面 D．用细线拴一个小球，使小球在竖直面内做圆

6、周运动 答案　D 解析　雨滴匀速下落时，必受竖直向上的阻力，且阻力做功，故雨滴机械能不守恒，在水中下沉的铁块，水的浮力做功，铁块机械能不守恒，“神舟十号”飞船穿过大气层时，由于速度很大，空气阻力不可忽略，克服阻力做功，所以机械能不守恒，A、B、C错误；用细线拴一个小球，使小球在竖直面内做圆周运动，虽然细线对小球有作用力，但作用力方向始终和小球速度方向垂直，故只有重力对小球做功，所以机械能守恒，D正确。 2．(人教版必修2 P78·T3改编) 如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以海平面为零势能面，不计空气阻力，则下列说法中正确的是(　　)

7、 A．物体到达海平面时的重力势能为mgh B．重力对物体做的功为－mgh C．物体在海平面上的动能为mv＋mgh D．物体在海平面上的机械能为mv 答案　C 解析　物体到达海平面时位于参考平面上，重力势能为零，A错误；物体运动过程下落了h高度，重力做功mgh，B错误；根据机械能守恒定律mgh＋mv＝mv2，即物体在海平面上的机械能E2＝mv2＝mgh＋mv，C正确、D错误。 3．如图所示，露天娱乐场空中列车是由许多节完全相同的车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为R的空中圆形光滑轨道，若列车全长为L(L>2πR)，R远大于一节车厢的长度和高度，那么列车在运

8、行到圆形光滑轨道前的速度至少要多大，才能使整个列车安全通过固定的圆形轨道(车厢间的距离不计)。 答案　 解析　当列车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满圆形轨道时的速度最小，设此时的速度为v，列车的质量为M，那么轨道上那部分列车的质量M′＝·M，在轨道上的那部分列车的平均高度为R。 由机械能守恒定律可得： Mv＝Mv2＋M′gR 又因圆形轨道顶部车厢应满足： mg＝m 联立以上三式解得：v0＝。 考点2　　多物体的机械能守恒问题 1．常见多个物体组成的机械能守恒模型 两个由轻绳或轻杆连接在一起的物体所组成的连接体系统，是机械能守恒定律应用

9、的常考形式，求解的关键是寻找两物体的速度关系。 按两物体连接方式和速度关系一般可分为如下三种： (1)速率相等的连接体：如图甲所示，A、B在运动过程中速度大小相等，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。 (2)角速度相等的连接体：如图乙所示，一轻质细杆的两端分别固定着A、B两小球，O点是一垂直纸面的光滑水平轴，A、B在运动过程中角速度相等，其线速度的大小与半径成正比，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。 (3)某一方向分速度相等的连接体：如图丙所示，A放在光滑斜面上，B穿过竖直光滑杆PQ下滑，将B的速度v沿绳子和垂直绳子方向分解，如图丁所示，其中沿绳子的分

10、速度vx与A的速度大小相等，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。 2．多个物体组成的系统机械能守恒问题的解题思路 (1)首先分析多个物体组成的系统所受的外力是否只有重力或弹簧弹力做功，内力是否造成了机械能与其他形式能的转化，从而判断系统机械能是否守恒。 (2)若系统机械能守恒，则机械能从一个物体转移到另一个物体，一个物体机械能增加，则一定有另一个物体机械能减少，ΔE1＝－ΔE2。或系统的动能增加量等于系统势能减少量，即ΔEk1＋ΔEk2＝－(ΔEp1＋ΔEp2)。 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2](2015·全国卷Ⅱ)(多选)如图，滑块

11、a、b的质量均为m，a套在固定直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则(　　) A．a落地前，轻杆对b一直做正功 B．a落地时速度大小为 C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg 解析　当a刚释放时，两者的速度都为0，当a落地时，沿杆的分速度为0，即b最终速度为零，对系统由机械能守恒定律可知mgh＝mv可得a落地时速度大小为va＝，B正确；分析可得滑块b的速度先增加后减小且b的最终速度为0，即轻杆对b先是推力后是拉力，所以轻杆对b先做正

12、功，后做负功，A错误；当轻杆对b是拉力时，对a的拉力斜向下，分析可得此时a的加速度大于g，C错误；a落地前，当a的机械能最小时，b的速度最大，此时杆对b作用力为0，这时b对地面的压力大小为mg，D正确。 答案　BD (1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。 (2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 (3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。 ①列方程时，选取的表达角度不同，表达式也不同，对参考平面的选取要求也不一定相同。 ②应用机械能守恒能解决的问题，应用动能定理同样能解决，但其解题思路和表达

13、式有所不同。 1．如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的2倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是(　　) A．2R B. C. D. 答案　C 解析　A落地前，A、B两球构成的系统机械能守恒。如图所示，以地面为零势能面，设A质量为2m，B质量为m，根据机械能守恒定律有2mgR－mgR＝·3mv2，A落地后B将以速度v做竖直上抛运动，即有mv2＝mgh，解得h＝R。故B上升的高度为＝R，C正确。 2．质量分别为m和2m的两个小球P和Q中间用轻质杆固定连接，杆长为L

14、，在离P球处有一个光滑固定轴O，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低位置时，求： (1)小球P的速度大小； (2)在此过程中，杆对小球P做的功。 答案　(1)　(2)mgL 解析　(1)两球和杆组成的系统机械能守恒，设小球Q摆到最低位置时P球的速度为v，由于P、Q两球的角速度相等，Q球的运动半径是P球运动半径的两倍，故Q球的速度为2v。由机械能守恒定律得Ep减＝Ek增即 2mg·L－mg·L＝mv2＋·2m·(2v)2 解得v＝。 (2)杆对P球做的功等于小球P机械能的增加量ΔE，则 ΔE＝mg·L＋mv2＝mgL。 考点3　非质点

15、类物体的机械能守恒问题 所谓非质点类物体就是像“绳”(考虑重力)“链条”“过山车”“流水”等类物体，在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理。 物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例3]　如图所示，一条长为L的柔软匀质链条，开始时静止在光滑梯形平台上，斜面上的链条长为x0，已知重力加速度为g，L

16、示斜面上链条长为x时链条的速度大小(链条尚有一部分在平台上，且x>x0)。 解析　链条各部分和地球组成的系统机械能守恒，设链条的总质量为m，以平台所在位置为零势能面，当斜面上链条长为x时，链条的速度为v，则在此过程对组成的系统由机械能守恒 －mg·x0sinα＝mv2－mg·xsinα 解得v＝ 。 答案　 (1)寻找重力势能发生变化的那部分物体的等效长度，如本例中等效长度由x0→x，可以快速准确的解决非质点问题。 (2)重力势能的变化或重力做功利用等效长度来表示，但动能的表达式一般要针对整体。 (3)分段看成两个物体或多个物体，利用系统机械能守恒去分析解决问题也是一种方

17、法。 如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体，管中液柱总长度为4h，开始时使两边液面高度差为h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　液柱移动时，除了重力做功以外，没有其他力做功，故机械能守恒。此题等效为原右侧的高的液柱移到左侧(如图所示)其重心高度下降了，减少的重力势能转化为整柱液体的动能，设液体的总质量为4m，则有mg·＝(4m)v2得v＝ 。 1．(2017·贵阳监测)如图所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点。将小球拉至A点，弹簧恰

18、好无形变，由静止释放小球，当小球运动到O点正下方与A点的竖直高度差为h的B点时，速度大小为v。已知重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．小球运动到B点时的动能等于mgh B．小球由A点到B点重力势能减少mv2 C．小球由A点到B点克服弹力做功为mgh D．小球到达B点时弹簧的弹性势能为mgh－mv2 答案　D 解析　小球由A点到B点的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，小球重力势能减少量等于小球动能增加量与弹簧弹性势能增加量之和，小球动能增加量小于重力势能减少量，A、B错误；弹簧弹性势能增加量等于小球重力势能减少量与动能增加量之差，D正确；小球克服弹力所做的功等于弹

19、簧弹性势能增加量，C错误。 2．(2017·常德质检)(多选)重10 N的滑块在倾角为30°的光滑斜面上，从a点由静止下滑，到b点接触到一个轻弹簧，滑块压缩弹簧到c点开始弹回，返回b点离开弹簧，最后又回到a点，已知xab＝1 m，xbc＝0.2 m，那么在整个过程中(　　) A．滑块动能的最大值是6 J B．弹簧弹性势能的最大值是6 J C．从c到b弹簧的弹力对滑块做的功是6 J D．整个过程系统机械能守恒 答案　BCD 解析　以滑块和弹簧为系统，在滑块的整个运动过程中，只有滑块重力与弹簧弹力做功，系统机械能守恒，D正确；滑块从a到c重力势能减小了mgxac·sin30°＝6

20、 J，全部转化为弹簧的弹性势能，B正确；当滑块沿斜面向下的分力与弹簧弹力相等时，滑块速度最大，即动能最大，且小于6 J，A错误；从c到b弹簧恢复原长，通过弹簧的弹力对滑块做功，将6 J的弹性势能全部转化为滑块的机械能，C正确。 3．如图所示，一长L的均匀铁链对称挂在一轻质小滑轮上，由于某一微小的扰动使得链条向一侧滑动，滑轮离地面足够高，则铁链完全离开滑轮时的速度大小为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　铁链向一侧滑动的过程受重力和滑轮弹力的作用，弹力始终与对应各节链条的运动方向垂直，故只有重力做功。设铁链刚好完全离开滑轮时的速度为v，由机械能守恒定律有：m

21、v2＋ΔEp＝0，其中铁链重力势能的变化量相当于滑离时下半部分的重力势能减去滑动前左半部分的重力势能，如图所示 ，即ΔEp＝－mg·，解得v＝ ，故C项正确。 4．(2017·山东菏泽联考)(多选)如图所示，质量相同的两物体a、b，用不可伸长的轻绳跨接在一轻质定滑轮两侧，a在水平桌面的上方，b在水平桌面上，初始时用手拉住b，使a、b静止，松手后，a开始运动。在a下降的过程中，b始终未离开桌面。忽略一切摩擦阻力和空气阻力，在此过程中(　　) A．a的动能小于b的动能 B．a的动能等于b的动能 C．两物体所组成的系统机械能增加 D．物体a克服绳拉力做的功等于物体a机械能的减少量

22、 答案　AD 解析　将b的实际速度进行分解，如图所示。由图可知va＝vbcosθ，即a的速度小于b的速度，故a的动能小于b的动能，A正确、B错误；由于只有重力做功，故a、b组成的系统机械能守恒，C错误；根据功能关系可知，物体a克服绳拉力做的功等于物体a机械能的减少量，D正确。 5．(2017·吉林实验中学五模)(多选)如图所示，A、B、C、D四图中的小球以及小球所在的左侧斜面完全相同，现从同一高度h处由静止释放小球，使之进入右侧不同的竖直轨道：除去底部一小段圆弧，A图中的轨道是一段斜面，高度大于h；B图中的轨道与A图中的轨道相比只是短了一些，且斜面高度小于h；C图中的轨道是一个内径略大

23、于小球直径的管道，其上部为直管，下部为圆弧形，与斜面相连，管开口的高度大于h；D图中的轨道是个半圆形轨道，其直径等于h。如果不计任何摩擦阻力和拐弯处的能量损失，小球进入右侧轨道后能到达高度h的是(　　) 答案　AC 解析　A图中小球到达右侧斜面上最高点时的速度为零，根据机械能守恒定律得mgh＋0＝mgh′＋0，则h′＝h，A正确；B图中小球离开轨道后做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，运动到最高点时在水平方向上有速度，即在最高点的速度不为零，根据机械能守恒定律得mgh＋0＝mgh′＋mv2，则h′

24、律得mgh＋0＝mgh′＋0，则h′＝h，C正确；D图中小球沿半圆轨道运动，通过最高点最小的速度为v＝，故在最高点时速度不为零，根据机械能守恒定律得mgh＋0＝mgh′＋mv2，则h′

25、据机械能守恒定律有Mgh＝mgh＋(M＋m)v2，b球落地后，a球做竖直上抛运动，由机械能守恒，则有mgh＋mv2＝mg·(1.5h)，联立解得M∶m＝3∶1，故C正确。 7．有一竖直放置的“T”形架，表面光滑，滑块A、B分别套在水平杆与竖直杆上，A、B用一根不可伸长的轻细绳相连，A、B质量相等，且可看做质点，如图所示，开始时细绳水平伸直，A、B静止。由静止释放B后，已知当细绳与竖直方向的夹角为60°时，滑块B沿着竖直杆下滑的速度为v，则连接A、B的绳长为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由运动的合成与分解可知滑块A和B沿绳伸长方向的速度大小相等，有vAsin

26、60°＝vcos60°，解得vA＝v，滑块A、B组成的系统机械能守恒，设滑块B下滑的高度为h，有mgh＝mv＋mv2，解得h＝，由几何关系可知绳长L＝2h＝，故D正确。 8. (多选)如图所示，固定在水平面上的光滑斜面倾角为30°，质量分别为M、m的两个物体通过细绳及轻弹簧连接于光滑轻滑轮两侧，斜面底端有一与斜面垂直的挡板。开始时用手按住物体M，此时M距离挡板的距离为s，滑轮两边的细绳恰好伸直，而没有力的作用。已知M＝2m，空气阻力不计。松开手后，关于二者的运动，下列说法中正确的是(　　) A．M和m组成的系统机械能守恒 B．当M的速度最大时，m与地面间的作用力为零 C．若M恰好能

27、到达挡板处，则此时m的速度为零 D．若M恰好能到达挡板处，则此过程中重力对M做的功等于弹簧弹性势能的增加量与物体m的机械能增加量之和 答案　BD 解析　M在运动过程中，M、m与弹簧组成的系统机械能守恒，A错误；当M速度最大时，弹簧的弹力等于Mgsin30°＝mg，此时m对地面的压力恰好为零，B正确；然后M做减速运动，恰好能到达挡板时，也就是速度刚好减小到零，之后M会上升，所以此时弹簧弹力大于mg，即此时m受到的绳拉力大于自身重力，m还在加速上升，C错误；若M恰能到达挡板处，根据功能关系，M减小的机械能，等于m增加的机械能与弹簧增加弹性势能之和，而M恰好到达挡板时，动能恰好为零，因此减小的

28、机械能等于减小的重力势能，即等于重力对M做的功，D正确。 9．(2017·福建福州文博中学月考)如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上，现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态，释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时C恰好离开地面，下列说法正确的是(　　) A．斜面倾角α＝60° B．A获得最大速度为2g C．C刚离开地面

29、时，B的加速度最大 D．从释放A到C刚离开地面的过程中，A、B两小球组成的系统机械能守恒 答案　B 解析　C刚离开地面时，对C有kx1＝mg，此时B有最大速度，即aB＝aA＝0，则对B有mg＋kx1＝T，对A有4mgsinα－T＝0，联立可得sinα＝，α＝30°，A错误；初始时系统静止，且线上无拉力，对B有kx2＝mg，可知x2＝x1＝，则从释放A至C刚离开地面过程中，弹性势能变化量为零，此过程中A、B、C及弹簧组成的系统机械能守恒，即4mg(x1＋x2)sinα＝mg(x1＋x2)＋(4m＋m)v，联立可得vAm＝2g，B正确，D错误；对B球进行受力分析可知，刚释放A时，B所受合力最

30、大，此时B具有最大加速度，C错误。 10．(2017·全国卷Ⅲ)如图，一质量为m，长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距l。重力加速度大小为g。在此过程中，外力做的功为(　　) A.mgl B.mgl C.mgl D.mgl 答案　A 解析　以均匀柔软细绳MQ段为研究对象，其质量为m，取M点所在的水平面为零势能面，开始时，细绳MQ段的重力势能Ep1＝－mg·＝－mgl，用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点时，细绳MQ段的重力势能Ep2＝－mg·＝－mgl，则外力做的功即克服自身重力做的功等于细

31、绳MQ段的重力势能的变化，即W＝Ep2－Ep1＝－mgl＋mgl＝mgl，A正确。 11．(2015·天津高考) 如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态。现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中(　　) A．圆环的机械能守恒 B．弹簧弹性势能变化了mgL C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零 D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变 答案　B 解析　在圆环下滑到最大距离的过程中，弹簧弹力对圆环做功，

32、圆环的机械能不守恒，A错误；利用几何关系可知圆环下落的距离为L，此时圆环的重力势能的减少量为ΔEp＝mg·L＝mgL，根据功能关系，弹簧弹性势能的增加量等于圆环重力势能的减少量，即ΔEp＝mg·L＝mgL，B正确；圆环下滑到最大距离时速度为零，所受合力不为零，C错误；把圆环和弹簧看成一个系统，系统的机械能守恒，即圆环的重力势能、弹簧的弹性势能与圆环的动能之和保持不变，D错误。 12．(2017·天津一中模拟)固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长h。让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零，则(　　) A．

33、在下滑过程中圆环的机械能守恒 B．在下滑过程中弹簧的弹性势能先减小后增大 C．弹簧的弹性势能在整个过程中增加了mgh D．在下滑过程中(含始末位置)有两个位置弹簧弹力的功率为零 答案　C 解析　圆环沿杆滑下，滑到杆的底端的过程中有两个力对圆环做功，即环的重力和弹簧的弹力，所以圆环的机械能不守恒，A错误；弹簧的弹性势能随弹簧的形变量的变化而变化，由题图知弹簧先压缩再伸长，故弹簧的弹性势能先增大后减小再增大，B错误；系统的机械能守恒，圆环的机械能减少了mgh，则弹簧的弹性势能增大了mgh，C正确；在A点时弹簧处于原长，弹力为零，故A点弹力的功率为零，当弹簧与速度方向垂直时，弹力的功率为零

34、，当弹簧再次恢复原长时，弹力为零，弹力的功率为零，到最底端时圆环的速度为零，所以弹力的功率为零，在下滑过程中(含始末位置)有四个位置弹簧弹力的功率为零，D错误。 13．(2016·全国卷Ⅱ)(多选)如图所示，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点。已知在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<。在小球从M点运动到N点的过程中(　　) A．弹力对小球先做正功后做负功 B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度 C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零 D．小球到达N点时的动能等于其

35、在M、N两点的重力势能差 答案　BCD 解析　初态弹簧处于压缩状态，末态弹簧处于伸长状态，且弹簧弹力大小相等，则弹簧弹力先增大后减小再增大，根据弹簧弹力与速度方向间的夹角变化可知弹簧弹力对小球先做负功再做正功再做负功，A错误。小球运动过程中受重力、弹簧的弹力、杆的弹力，其中杆的弹力始终垂直于杆，弹簧的弹力沿弹簧方向，当弹簧与光滑杆垂直时，小球竖直方向只受重力的作用，故加速度为重力加速度；当弹簧为原长时，小球只受重力作用，小球的加速度也为重力加速度，B正确。当弹簧与光滑杆垂直时，弹簧长度最短，弹簧弹力与速度垂直，则弹力对小球做功的功率为零，C正确。M、N两点弹簧弹性势能相等，从M到N小球的重

36、力势能转化为动能，则小球在N点的动能等于其在M、N两点的重力势能差，D正确。 14. (2017·苏北四市高三调研)(多选)如图所示，固定在地面的斜面体上开有凹槽，槽内紧挨放置六个半径均为r的相同小球，各球编号如图。斜面与水平轨道OA平滑连接，OA长度为6r。现将六个小球由静止同时释放，小球离开A点后均做平抛运动，不计一切摩擦。则在各小球运动过程中，下列说法正确的是(　　) A．球1的机械能守恒 B．球6在OA段机械能增加 C．球6的水平射程最小 D．六个小球落地点各不相同 答案　BC 解析　六个小球都在斜面上运动时，只有重力做功，整个系统的机械能守恒。当有部分小球在水平轨道

37、上运动时，斜面上的小球仍在加速，即球2对球1的作用力做功，故球1的机械能不守恒，A错误；球6在OA段运动时，斜面上的球在加速，球5对球6的作用力做正功，动能增加，机械能增加，B正确；由于有部分小球在水平轨道上运动时，斜面上的小球仍在加速，所以可知离开A点时球6的速度最小，水平射程最小，C正确；由于离开A点时，球6的速度最小，水平射程最小，而最后三个球在水平面上运动时不再加速，1、2、3球的速度相等，水平射程相同，所以六个小球的落点不全相同，D错误。 15．(2016·全国卷Ⅰ)如图，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状

38、态。直轨道与一半径为R的光滑圆弧轨道相切于C点，AC＝7R，A、B、C、D均在同一竖直平面内。质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点(未画出)，随后P沿轨道被弹回，最高到达F点，AF＝4R。已知P与直轨道间的动摩擦因数μ＝，重力加速度大小为g。 (1)求P第一次运动到B点时速度的大小； (2)求P运动到E点时弹簧的弹性势能； (3)改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放。已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰好通过G点。G点在C点左下方，与C点水平相距R、竖直相距R。求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量。 答案　(1)2　(2)mgR　(3)　m

39、解析　(1)根据题意知，B、C之间的距离为 l＝7R－2R＝5R① 设P到达B点时的速度为vB，由动能定理得 mglsinθ－μmglcosθ＝mv－0② 式中θ＝37°，联立①②式并由题给条件得vB＝2③ (2)设BE＝x，P到达E点时速度为零，设此时弹簧的弹性势能为Ep。P由B点运动到E点的过程中，由动能定理有 mgxsinθ－μmgxcosθ－Ep＝0－mv④ E、F之间的距离为l1＝4R－2R＋x⑤ P到达E点后反弹，从E点运动到F点的过程中，由动能定理有 Ep－mgl1sinθ－μmgl1cosθ＝0⑥ 联立③④⑤⑥式并由题给条件得x＝R⑦ Ep＝mgR⑧ (3)设改变后P的质量为m1。D点与G点的水平距离x1和竖直距离y1分别为x1＝R－Rsinθ⑨ y1＝R＋R＋Rcosθ⑩ 式中，已应用了过C点的圆轨道半径与竖直方向夹角仍为θ的事实。 设P在D点的速度为vD，由D点运动到G点的时间为t。由平抛运动公式有y1＝gt2⑪ x1＝vDt⑫ 联立⑨⑩⑪⑫式得vD＝⑬ 设P在C点速度的大小为vC，在P由C运动到D的过程中机械能守恒，有 m1v＝m1v＋m1g⑭ P由E点运动到C点的过程中，同理，由动能定理有 Ep－m1g(x＋5R)sinθ－μm1g(x＋5R)cosθ＝m1v⑮ 联立⑦⑧⑬⑭⑮式得m1＝m。 21