2022年高考数学二轮专题复习 专题突破篇 专题五 解析几何专题限时训练16 文

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1、2022年高考数学二轮专题复习 专题突破篇 专题五 解析几何专题限时训练16 文 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(xx·陕西卷)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为(　　) A．(－1,0) B．(1,0) C．(0，－1) D．(0,1) 答案：B 解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－且过点(－1,1)，故－＝－1，解得p＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)． 2．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　

2、) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°， 所以|PF2|＝2ctan 30°＝c，|PF1|＝c. 又|PF1|＋|PF2|＝c＝2a，则e＝＝＝. 3．从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是 (　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：根据题意可知点P(－c，y0)，代入椭圆的方程可得y＝b2－，根据AB∥OP，可知＝，即＝，解得y0＝，即b2－＝，解得e＝＝.

3、故选C. 4．(xx·浙江模拟)椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且1·2的最大值的取值范围是[c2,3c2]，其中c＝，则椭圆M的离心率e的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：设P(x，y)，F1(－c,0)，F2(c,0)， 则1＝(－c－x，－y)，2＝(c－x，－y)， 1·2＝x2＋y2－c2. 又x2＋y2可看作P(x，y)到原点的距离的平方， 所以(x2＋y2)max＝a2，所以(1·2)max＝b2， 所以c2≤b2＝a2－c2≤3c2，即≤e2≤， 所以≤e≤.故选B. 5．(

4、xx·四川卷)设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是(　　) A．(1,3) B．(1,4) C．(2,3) D．(2,4) 答案：D 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)． 则y＝4x1，y＝4x2，两式相减得 (y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，即＝. 当直线l的斜率存在时，可得斜率k＝， 设圆心为点C，则点C坐标为(5,0)，于是kCM＝. ∵ CM⊥l，∴ kCM·k＝－1， ∴ ·＝－1，解得x0

5、＝3. 故切点M的坐标为(3，y0)． 若切点M不在x轴上，需r＞5－3＝2，此时有两条切线． 当直线l的斜率不存在时，切点M为圆与x轴的交点，符合题意． ∴ 当r＞2时，有4条直线符合题意． 又当抛物线与圆相切时，联立方程组消去y得x2－6x＋25－r2＝0，令Δ＝0，解得r＝4，此时x＝3.故圆与抛物线相切时，只有两条直线符合题意，故r＜4.∴ r∈(2,4)． 二、填空题(每小题5分，共15分) 6．(xx·山东卷)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的

6、离心率为________． 答案： 解析：双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立得交点A，B，抛物线焦点为F，由三角形垂心的性质，得BF⊥OA，即kBF·kOA＝－1， 又kBF＝＝－，kOA＝，所以有＝－1，即＝，故C1的离心率e＝＝ ＝ ＝. 7．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过焦点F倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别是A′，B′，若四边形AA′B′B的面积为48，则抛物线的方程为________． 答案：y2＝2x 解析：过A作AC⊥BB′于点C，因为直线的倾斜角为30°，所以AC＝AB，设A(x1，y1)，B(x

7、2，y2)，直线AB的方程为y＝，与抛物线方程联立消元得：x2－7px＋＝0，所以x1＋x2＝7p，所以AB＝8p，所以S四边形AA′B′B＝(AA′＋BB′)·AC＝×8p×4p＝48，所以p＝.所以抛物线方程为y2＝2x. 8．(xx·甘肃兰州诊断)椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆C的离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线x2＝8y的焦点，则椭圆C的标准方程为________． 答案：＋＝1 解析：抛物线焦点(0,2)， 即b＝2，e＝＝， ∴a＝2c，又a2－b2＝c2，故a＝4，c＝2， ∴椭圆方程为＋＝1. 三、解答题(9题12分，10题、11题每题14分，共4

8、0分) 9．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列． (1)求E的离心率； (2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程． 解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a， 因为2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝a. l的方程为y＝x＋c，其中c＝. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组 化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0. 则x1＋x2＝，x1·x2＝. 因为直

9、线AB的斜率为1， 所以|AB|＝|x2－x1|＝. 故a＝，得a2＝2b2， 所以E的离心率e＝＝＝. (2)设AB的中点为N(x0，y0)．由(1)知x0＝＝＝－c，y0＝x0＋c＝. 由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1， 即＝－1， 得c＝3，从而a＝3，b＝3. 故椭圆E的方程为＋＝1. 10.(xx·淄博模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点，右焦点为F2.设A，B是C上的两个动点，线段AB的中点M的横坐标为－，线段AB的中垂线交椭圆C于P，Q两点． (1)求椭圆C的方程； (2)求·的取值范围． 解：(1)因为焦距为2，所以a2－b2＝1

10、. 因为椭圆C过点， 所以＋＝1，故a2＝2，b2＝1. 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)由题意，当直线AB垂直于x轴时，直线AB的方程为x＝－，此时P(－，0)，Q(，0)，得·＝－1. 当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k(k≠0)， M(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得(x1＋x2)＋2(y1＋y2)·＝0， 则－1＋4mk＝0，故4mk＝1. 此时，直线PQ的斜率为k1＝－4m， 直线PQ的方程为y－m＝－4m， 即y＝－4mx－m. 联立消去y，整理得 (32m2＋1)x2＋16m2x＋2m2－2＝0. 设P(x3，y3

11、)，Q(x4，y4)， 所以x3＋x4＝－，x3x4＝. 于是·＝(x3－1)(x4－1)＋y3y4＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋(4mx3＋m)(4mx4＋m) ＝(4m2－1)(x3＋x4)＋(16m2＋1)x3x4＋m2＋1 ＝＋＋1＋m2 ＝. 由于M在椭圆的内部，故0b>0)的一个焦点，C1 与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于

12、C，D两点，且与同向． (1)求C2的方程； (2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率． 解：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0,1)．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1.① 又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y， 由此易知C1与C2的公共点的坐标为， 所以＋＝1.② 联立①②，得a2＝9，b2＝8. 故C2的方程为＋＝1. (2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)． 因与同向，且|AC|＝|BD|，所以＝，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是 (x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③ 设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1. 由得x2－4kx－4＝0.而x1，x2是这个方程的两根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④ 由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0. 而x3，x4是这个方程的两根， 所以x3＋x4＝－，x3x4＝－.⑤ 将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋， 即16(k2＋1)＝，所以(9＋8k2)2＝16×9， 解得k＝±，即直线l的斜率为±.