2022年高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 第5讲 利用导数研究不等式恒成立及相关问题 理

《2022年高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 第5讲 利用导数研究不等式恒成立及相关问题 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 第5讲 利用导数研究不等式恒成立及相关问题 理（7页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、2022年高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 第5讲 利用导数研究不等式恒成立及相关问题 理 导数的综合应用 训练提示:在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时,常常需要求出其中参数的取值范围,这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用. 1.(xx云南省第一次统一检测)已知函数f(x)=ln (1+2x)-. (1)求f(x)的单调区间; (2)若a>0,b>0,求证ln 2a-ln b≥1-. (1)解:由2x+1>0得x>-. 所以f(x)的定义域为（-,+∞）. 因为f(x)=ln (1+2x)-, 所以f′(

2、x)=-=. 由f′(x)>0得x>-,由f′(x)<0得x<-. 所以f(x)的单调递增区间为[-,+∞), f(x)的单调递减区间为(-,-]. (2)证明:由(1)知,当x=-时,f(x)取得最小值. 所以f(x)的最小值为f(-)=-ln 2. 所以当x>-时,f(x)≥f(-),即f(x)≥-ln 2. 因为a>0,b>0,所以=->-. 设x=,则f()≥-ln 2, 化简得ln 2a-ln b≥1-. 所以当a>0,b>0时,ln 2a-ln b≥1-. 2.(xx山东济宁市一模)已知函数f(x)=ex-ax-a(其中a∈R,e是自然对数的底数,e=2.71

3、828…). (1)当a=e时,求函数f(x)的极值; (2)当0≤a≤1时,求证f(x)≥0; (3)求证:对任意正整数n,都有(1+)(1+)…(1+)1时,f′(x)>0; 所以函数f(x)在(-∞,1)上单调递减, 在(1,+∞)上单调递增, 所以函数f(x)在x=1处取得极小值f(1)=-e, 函数f(x)无极大值; (2)解:由f(x)=ex-ax-a,f′(x)=ex-a ①当a=0时,f(x)=ex≥0恒成立,满足条件, ②当0

4、f′(x)=0,得x=ln a, 则当x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0,当x∈(ln a,+∞)时, f′(x)>0, 所以函数f(x)在(-∞,ln a)上单调递减, 在(ln a,+∞)上单调递增, 所以函数f(x)在x=ln a处取得极小值即为最小值, f(x)min=f(ln a)=eln a-aln a-a=-aln a. 因为0

5、≥x+1,所以ln (x+1)≤x,令x=(n∈N+), 得ln (1+)≤, 所以ln (1+)+ln (1+)+…+ln (1+)≤++…+==1-()n<1, 所以(1+)(1+)…(1+)

6、a=1时, 在x=1处函数f(x)=(x-2)ex取得极小值,所以a=1; (2)f(x)=(x-2)ex,f′(x)=ex+(x-2)ex=(x-1)ex. x (-∞,1) 1 (1,+∞) f′(x) - 0 + f(x) 减 增 当m≥1时,f(x)在[m,m+1]上单调递增, f(x)min=f(m)=(m-2)em. 当0

7、)em+1. 综上,f(x)在[m,m+1]上的最小值 f(x)min= (3)由(1)知f(x)=(x-2)ex, f′(x)=ex+(x-2)ex=(x-1)ex. 令f′(x)=0得x=1, 因为f(0)=-2,f(1)=-e,f(2)=0, 所以f(x)max=0,f(x)min=-e, 所以,对任意x1,x2∈[0,2], 都有|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min=e. 4.(xx吉林长春市质量监测二)设函数f(x)=(1-ax)ln (x+1)-bx,其中a和b是实数,曲线y=f(x)恒与x轴相切于坐标原点. (1)求常数b的值; (2

8、)当0≤x≤1时,关于x的不等式f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围; (3)求证:()10000.4

9、=0而且仅有f(0)=0; ②当a≥0时,由于0≤x≤1,有f″(x)=-<0, 于是f′(x)在[0,1]上单调递减,从而f′(x)≤f′(0)=0, 因此f(x)在[0,1]上单调递减, 即f(x)≤f(0)=0而且仅有f(0)=0; ③当-

10、10000.4

11、相当于(2)中a=-情形,对于任意x∈[0,1], 恒有f(x)≥0而且仅有f(0)=0.取x=, 得对于任意正整数n都有（1+）ln （1+）->0成立. 因此对于任意正整数n, 不等式（1+）0)上存在极值,求实数m的取值范围; (2)设

12、g(x)=[xf(x)-1],若对任意x∈(0,1)恒有g(x)<-2,求实数a的取值范围. 解:(1)由题意k=f(x)=,x>0, 所以f′(x)=（）′=- 当00;当x>1时,f′(x)<0. 所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 故f(x)在x=1处取得极大值. 因为函数f(x)在区间（m,m+）(其中m>0)上存在极值, 所以得0,不合题意. 当a>0时,由g(x)<-2,可得ln x+<0, 设h(x)=ln x

13、+,则h′(x)=. 设t(x)=x2+(2-4a)x+1,Δ=(2-4a)2-4=16a(a-1), ①若00,h′(x)>0, 所以h(x)在(0,1)内单调递增,又h(1)=0, 所以h(x)1,则Δ>0,t(0)=1>0,t(1)=4(1-a)<0, 所以存在x0∈(0,1),使得t(x0)=0, 则h(x)在(x0,1)内单调递减,又h(1)=0, 所以当x∈(x0,1)时,h(x)>0,不合要求. 综合①②可得a的取值范围是(0,1]. 2.设函数f(x)=x2+ln (x+1).

14、 (1)求证:当x∈(0,+∞)时f(x)>x恒成立; (2)求证:++…+0时,g′(x)<0, 所以g(x)在(0,+∞)上递减, 所以g(x)0时,x-x2

15、n

16、R), 所以f′(x)=-a-=-, x∈(0,+∞), 令h(x)=ax2-x+1-a,x∈(0,+∞), 当a≥时,由f′(x)=0,则ax2-x+1-a=0, 解得x1=1,x2=-1. ①当a=时,x1=x2,h(x)≥0恒成立, 此时f′(x)≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减; ②当0,此时f′(x)<0, 函数f(x)单调递减; x∈（-1,1）时,h(x)<0,此时f′(x)>0, 函数f(x)单调递增; x∈(1,+∞)时,h(x)>0,此时f′(x)<0, 函数f(x)单调递减;

17、 ③当a≥1时,由于-1≤0, x∈(0,1)时,h(x)<0,此时f′(x)>0,函数f(x)单调递增; x∈(1,+∞)时,h(x)>0,此时f′(x)<0, 函数f(x)单调递减; 综上所述: 当a=时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当

18、ln ）, 令F(t)=t-1-ln t,则F′(t)=1-=(t>0) 当01时,F′(t)>0,F(t)单调递增, 故当t≠1时,F(t)>F(1)=0,即t-1-ln t>0 从而-1-ln >0,-1-ln >0, 所以(x1)>0,(x2)<0 因为函数(x)在区间(x1,x2)上的图象是连续不断的一条曲线, 所以存在x0∈(x1,x2),使(x0)=0, 所以g′(x0)=k成立. 4.已知函数f(x)=a-be-x(e是自然对数的底数,e=2.71828…)的图象在x=0处的切线方程为y=x. (1)求a

19、,b的值; (2)若g(x)=mln x-e-x+x2-(m+1)x+1(m>0),求函数h(x)=g(x)-f(x)的单调区间; (3)若正项数列{an}满足a1=,an=f(an),证明:数列{an}是递减 数列. (1)解:由题意得f(0)=0,f′(0)=1,则a-b=0,b=1, 解得a=1,b=1. (2)解:由题意得h(x)=mln x+x2-(m+1)x, x∈(0,+∞). h′(x)=+x-(m+1)= = ①当00, 并注意到函数的定义域(0,+∞), 得01,则h(x)的增区间是(0,m),(1,+∞);

20、 同理可求h(x)的减区间是(m,1). ②当m=1时,h′(x)≥0, 则h(x)是定义域(0,+∞)内的增函数. ③当m>1时,令h′(x)>0, 并注意到函数的定义域(0,+∞)得0m, 则h(x)的增区间是(0,1),(m,+∞); 同理可求h(x)的减区间是(1,m). (3)证明:因为正项数列{an}满足a1=, an=f(an), 所以ln (an)=ln (1-),即an+1=-ln . 要证数列{an}是递减数列 ⇔an+1⇔>an+1. 设u(x)=ex-x-1,x∈(0,+∞).因为u′(x)=ex-1>0,

21、 所以u(x)是(0,+∞)上的增函数,则u(x)>u(0)=0, 即ex>x+1,故>an+1, 则数列{an}是递减数列. 5.(xx四川德阳市一诊)如图,已知点A(11,0),函数y=的图象上的动点P在x轴上的射影为H,且点H在点A的左侧,设|PH|=t, △APH的面积为f(t). (1)求函数f(t)的解析式及t的取值范围; (2)若a∈(0,2),求函数f(t)在(0,a]上的最大值. 解:(1)由已知可得=t,所以点P的横坐标为t2-1, 因为点H在点A的左侧,所以t2-1<11, 即-20,所以0