2022年高考数学大二轮复习第二编专题整合突破专题六解析几何第一讲直线与圆适考素能特训

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1、2022年高考数学大二轮复习第二编专题整合突破专题六解析几何第一讲直线与圆适考素能特训 一、选择题 1．[xx·湖南岳阳一模]已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，过A(－1,0)的直线l与圆C相交于P，Q两点．若|PQ|＝2，则直线l的方程为(　　) A．x＝－1或4x＋3y－4＝0 B．x＝－1或4x－3y＋4＝0 C．x＝1或4x－3y＋4＝0 D．x＝1或4x＋3y－4＝0 答案　B 解析　当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，由|PQ|＝2，则圆心C到直线l的距离d＝＝1，解得k＝，此时直线l的方程为y＝(x

2、＋1)．故所求直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0. 2．[xx·重庆测试]已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2与y轴在第二象限所围区域的面积为S，直线y＝2x＋b分圆C的内部为两部分，其中一部分的面积也为S，则b＝(　　) A．－ B．± C．－ D．± 答案　D 解析　本题考查圆的性质、点到直线的距离公式与数形结合思想．依题意圆心C的坐标为(1,2)，则圆心C到y轴的距离为1，由圆的对称性可知，若直线2x－y＋b＝0分得圆C内部的一部分面积也为S，则圆心C(1,2)到直线2x－y＋b＝0的距离等于1，于是有＝1，解得b＝±，故选D. 3．[xx·南昌一模]已知

3、点P在直线x＋3y－2＝0上，点Q在直线x＋3y＋6＝0上，线段PQ的中点为M(x0，y0)，且y00，当点位于射线BN(不包括端点B)上时，kOM<－，所以的取值范围是∪(0，＋∞)，故选D. 4．[xx·金版原创四]倾斜角互补的直线l1：m1x－y＋1－m1＝0，l2：m2x－y＋1－m2＝0分别被圆O：x2＋y2＝4所截得的弦长

4、之比为，则m1m2＝(　　) A．－9或－ B．9或 C．－9 D．－ 答案　A 解析　本题考查直线与圆的位置关系．由题可知两条直线斜率分别为m1，m2，又两直线的倾斜角互补，所以斜率互为相反数，即m1＋m2＝0，被圆O：x2＋y2＝4所截得的弦长之比为＝，化简得3m－10m1＋3＝0，解得m1＝或3，所以m1m2＝－m＝－或－9，故选A. 5．[xx·广东综合测试]已知直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是原点，且有|＋|≥||，则k的取值范围是(　　) A．(，＋∞) B．[，＋∞) C．[，2) D．[，2] 答案　C

5、解析　本题考查直线与圆的位置关系、平面向量的运算．设AB的中点为D，则OD⊥AB，因为|＋|≥||，所以|2|≥||，||≤2||，又因为||2＋||2＝4，所以||≥1.因为直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点，所以||<2，所以1≤<2，解得≤k<2，故选C. 6．已知点A(－2,0)，B(0,2)，若点C是圆x2－2ax＋y2＋a2－1＝0上的动点，△ABC面积的最小值为3－，则a的值为(　　) A．1 B．－5 C．1或－5 D．5 答案　C 解析　解法一：圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝1，圆心M(a,0)到直线AB：x－y＋2＝0的距离为

6、d＝， 可知圆上的点到直线AB的最短距离为d－1＝－1，(S△ABC)min＝×2×＝3－， 解得a＝1或－5. 解法二：圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝1，设C的坐标为(a＋cosθ，sinθ)，C点到直线AB：x－y＋2＝0的距离为 d＝＝， △ABC的面积为 S△ABC＝×2× ＝， 当a≥0时，a＋2－＝3－，解得a＝1； 当－2≤a<0时，|a＋2－|＝3－，无解； 当a<－2时，|a＋2＋|＝3－，解得a＝－5. 故a＝1或－5. 解法三：设与AB平行且与圆相切的直线l′的方程为x－y＋m＝0(m≠2)，圆心M(a,0)到直线l′的距离d＝1，即＝1，解得

7、m＝±－a， 两平行线l，l′之间的距离就是圆上的点到直线AB的最短距离， 即＝， (S△ABC)min＝×2×＝|±－a－2|. 当a≥0时，|±－a－2|＝3－，解得a＝1. 当a<0时，|±－a－2|＝3－，解得a＝－5. 故a＝1或－5. 二、填空题 7．[xx·福建厦门一模]已知a>0，b>0，若直线l1：x＋a2y＋2＝0与直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0互相垂直，则ab的最小值是________． 答案　2 解析　依题意可得，1×(a2＋1)＋a2·(－b)＝0，a2－a2b＋1＝0，∴b＝，∴ab＝＝a＋≥2. 当且仅当a＝，即a＝1，b＝2时，ab

8、取到最小值2. 8．[xx·云南统考]已知f(x)＝x3＋ax－2b，如果f(x)的图象在切点P(1，－2)处的切线与圆(x－2)2＋(y＋4)2＝5相切，那么3a＋2b＝________. 答案　－7 解析　由题意得f(1)＝－2⇒a－2b＝－3， 又∵f′(x)＝3x2＋a， ∴f(x)的图象在点P(1，－2)处的切线方程为 y＋2＝(3＋a)(x－1)， 即(3＋a)x－y－a－5＝0， ∴＝⇒a＝－， ∴b＝，∴3a＋2b＝－7. 9．[xx·山东青岛质检]在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3,0)在圆C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0内，动直线AB过点

9、P且交圆C于A，B两点．若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为________． 答案　(3－2，3－2]∪[3＋2，3＋2) 解析　由题意得圆心C(m,2)，半径r＝4.因为点P(3,0)在圆C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0内，所以32＋0－6m－0＋m2－28<0，解得3－2

10、解答题 10．[xx·河北唐山调研]已知定点M(0,2)，N(－2,0)，直线l：kx－y－2k＋2＝0(k为常数)． (1)若点M，N到直线l的距离相等，求实数k的值； (2)对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，求实数k的取值范围． 解　(1)∵点M，N到直线l的距离相等， ∴l∥MN或l过MN的中点． ∵M(0,2)，N(－2,0)， ∴直线MN的斜率kMN＝1， MN的中点坐标为C(－1,1)． 又∵直线l：kx－y－2k＋2＝0过定点D(2,2)， ∴当l∥MN时，k＝kMN＝1； 当l过MN的中点时，k＝kCD＝. 综上可知，k的值为1或. (2)∵对于l

11、上任意一点P，∠MPN恒为锐角， ∴l与以MN为直径的圆相离，即圆心到直线l的距离大于半径， ∴d＝>， 解得k<－或k>1. 11．[xx·江西九江三模]已知点P是圆F1：(x＋)2＋y2＝16上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的中垂线与PF1交于M点． (1)求点M的轨迹C的方程； (2)设轨迹C与x轴的左、右两个交点分别为A，B，点K是轨迹C上异于A，B的任意一点，KH⊥x轴，H为垂足，延长HK到点Q使得|HK|＝|KQ|，连接AQ并延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D，N为DB的中点．试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系． 解　(1)由题意得，F1

12、(－，0)，F2(，0)， 圆F1的半径为4，且|MF2|＝|MP|， 从而|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝4>|F1F2|＝2， ∴点M的轨迹是以F1，F2为左、右焦点的椭圆，其中长轴长2a＝4，焦距2c＝2， 则短半轴长b＝＝＝1， ∴点M的轨迹C的方程为＋y2＝1. (2)如图，设K(x0，y0)，则＋y＝1. ∵|HK|＝|KQ|， ∴Q(x0,2y0)． ∴|OQ|＝＝2， ∴Q点在以O为圆心，2为半径的圆上，即Q点在以AB为直径的圆O上． 又A(－2,0)， ∴直线AQ的方程为y＝(x＋2)． 令x＝2，得D. 又B(2,0)，N为DB

13、的中点， ∴N. ∴＝(x0,2y0)，＝. ∴·＝x0(x0－2)＋2y0· ＝x0(x0－2)＋ ＝x0(x0－2)＋ ＝x0(x0－2)＋x0(2－x0)＝0. ∴⊥. ∴直线QN与以AB为直径的圆O相切． 12．[xx·福建高考]已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)过点(0，)，且离心率e＝. (1)求椭圆E的方程； (2)设直线l：x＝my－1(m∈R)交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由． 解　(1)由已知得， 解得 所以椭圆E的方程为＋＝1. (2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为H(x0，y0)． 由 得(m2＋2)y2－2my－3＝0， 所以y1＋y2＝，y1y2＝－， 从而y0＝. 所以|GH|2＝2＋y＝(my0＋)2＋y＝(m2＋1)y＋my0＋. ＝＝＝＝(1＋m2)(y－y1y2)， 故|GH|2－＝my0＋(1＋m2)y1y2＋＝－＋＝>0， 所以|GH|>. 故点G在以AB为直径的圆外．