带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的解题技巧

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1、. 带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的解题技巧 仁寿一中北校区高2021级物理组 带电粒子〔质量m、电量q确定〕在有界磁场中运动时，涉及的可能变化的参量有——入射点、入射速度大小、入射方向、出射点、出射方向、磁感应强度大小、磁场方向等，其中磁感应强度大小与入射速度大小影响的都是轨道半径的大小，可归并为同一因素〔以“入射速度大小〞代表〕，磁场方向在一般问题中不改变，假设改变，也只需将已讨论情况按反方向偏转再分析一下即可。 在具体问题中，这五个参量一般都是两个，剩下其他参量不确定〔但知道变化围〕或待定，按参数可将问题分为如下10类，并可归并为6大类型。 类型 参量 类型一 ①

2、⑩ 入射点、入射方向；出射点、出射方向 类型二 ②⑧ 入射点、速度大小；出射点、速度大小 类型三 ③ 入射点、出射点 类型四 ⑦ 入射方向、出射方向 类型五 ⑤⑨ 入射方向、速度大小；出射方向、速度大小； 类型六 ④⑥ 入射点、出射方向；出射点，入射方向 入射点 入射方向 入射速度大小 出射点 出射方向 ① ② ③ ④ ⑧ ⑨ ⑤ ⑤ ⑥ ⑦ ⑩ 所有这些问题，其通用解法是：①第一步，找准轨迹圆圆心可能的位置，②第二步，按一定顺序尽可能多地作不同圆心对应的轨迹圆〔一般至少5画个轨迹圆〕，③第三步，根据所作的图和题设条

3、件，找出临界轨迹圆，从而抓住解题的关键点。 类型一：入射点和入射速度方向，但入射速度大小不确定〔即轨道半径不确定〕 这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。 【例1】如下列图，长为L的水平极板间有垂直于纸面向的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为L，板不带电．现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的方法是 A．使粒子的速度v< B．使粒子的速度v> C．使粒子的速度v> D．使粒子的速度

4、直初速度的直线上〔如图甲〕，在该直线上取不同点为圆心，半径由小取到大，作出一系列圆〔如图乙〕，其中轨迹圆①和②为临界轨迹圆。轨道半径小于轨迹圆①或大于轨迹圆②的粒子，均可射出磁场而不打在极板上。 图乙 图甲 ① ② 【解答】　AB 粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O点，有r12＝L2＋(r1－)2 ，得r1＝ 由r1＝，得v1＝，所以v>时粒子能从右边穿出． 粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O′点，有r2＝ 由r2＝，得v2＝，所以v<时粒子能从左边穿出． 【易错提醒】容易漏选A，错在没有将r先取较小值再连续增大，从而未分析出粒子还可以从磁场左边界穿出的情况。 【练习1

5、】两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏分别取垂直于两屏交线的直线为*轴和y轴，交点O为原点，如下列图。在y>0，0<*0，*>a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域的磁感应强度大小均为B。在O点处有一小孔，一束质量为m、带电量为q〔q>0〕的粒子沿*轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到*一最大值之间的各种数值．速度最大的粒子在0<*a的区域中运动的时间之比为2：5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求两个荧光屏上

6、亮线的围〔不计重力的影响〕。 【分析】粒子在0<*a的区域，由对称性可知，粒子在*>a的区域的轨迹圆圆心均在在*=2a直线上，在*=2a直线上取不同点为圆心，半径由小取到大，可作出一系列圆〔如图乙〕，其中轨迹圆①'为半径最小的情况，轨迹圆②为题目所要求的速度最大的粒子的轨迹。 ② ①' ① 图乙 图甲 a 2a 2a a

7、【答案】竖直屏上发亮的围从0到2a，水平屏上发亮的围从2a到 【解答】粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中运动半径为：① 　　速度小的粒子将在*a的区域中运动的时间，

8、由题意可知， 由此解得：②③ 由②③式和对称性可得④⑤ ⑥ 所以⑦ 即弧长NP为1/4圆周。因此，圆心在*轴上。 设速度为最大值粒子的轨道半径为R，由直角可得⑧ 由图可知OP=2a+R，因此水平荧光屏发亮围的右边界的坐标⑨ 【易错提醒】此题容易把握不住隐含条件——所有在*>a的区域的轨迹圆圆心均在在*=2a直线上，从而造成在*>a的区域的作图困难；另一方面，在*>a的区域作轨迹圆时，半径未从轨迹圆①半径开场取值，致使轨迹圆①'未作出，从而将水平荧光屏发亮围的左边界坐标确定为*=a。 类型二：入射点和入射速度大小〔即轨道半径大小〕，但入射速度方向不确定 这类问题的特点是：所有

9、轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆〞上——所谓“圆心圆〞，是指以入射点为圆心，以为半径的圆。 【例2】如下列图，在0≤*≤a、0≤y≤围有垂直手*y平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在*时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小一样，速度方向均在*Oy平面，与y轴正方向的夹角分布在0～围。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的 (1)速度的大小； (2)速度方向与y轴正方向夹角的正弦。 【分析】此题给定的

10、情形是粒子轨道半径r大小确定但初速度方向不确定，所有粒子的轨迹圆都要经过入射点O，入射点O到任一圆心的距离均为r，故所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆〞——以入射点O为圆心、r为半径的圆周上〔如图甲〕。考虑到粒子是向右偏转，我们从最左边的轨迹圆画起——取“圆心圆〞上不同点为圆心、r为半径作出一系列圆，如图乙所示；其中，轨迹①对应弦长大于轨迹②对应弦长——半径一定、圆心角都较小时〔均小于180°〕，弦长越长，圆心角越大，粒子在磁场中运动时间越长——故轨迹①对应圆心角为90°。 图乙 图甲 ① 【答案】 【解答】设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R 根据牛顿第二定律和洛

11、伦兹力得：，解得： 当a/2

12、讲一个小技巧——按粒子偏转方向移动圆心作图。 【练习2】如下列图，在正方形区域abcd充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场。在t=0时刻，一位于ad边中点O的粒子源在abcd平面发射出大量的同种带电粒子，所有粒子的初速度大小一样，方向与Od边的夹角分布在0～180°围。沿Od方向发射的粒子在t=t0时刻刚好从磁场边界cd上的p点离开磁场，粒子在磁场中做圆周运动的半径恰好等于正方形边长L，粒子重力不计，求： 〔1〕粒子的比荷q/m； 〔2〕假设粒子源发射的粒子在0～180°围均匀分布，此时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比； 〔3〕从粒子发射到全部粒子离开磁场所用

13、的时间。 【分析】 以L为半径、O点为圆心作“圆心圆〞〔如图甲〕；由于粒子逆时针偏转，从最下面的轨迹开场画起〔轨迹①〕，在“圆心圆〞取不同点为圆心、以L为半径作出一系列圆〔如图乙〕；其中轨迹①与轨迹④对称，在磁场中运动时间一样；轨迹②并不经过c点，轨迹②对应弦长短于轨迹③对应弦长——即沿轨迹③运动的粒子最后离开磁场。 【解答】〔1〕初速度沿Od方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹如图，其圆心为n 由几何关系有： , 粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提供 根据牛顿第二定律得，得 (2)依题意，同一时刻仍在磁场中的粒子到O点距离相等。在t0时刻仍在磁场中的粒子应位于以O为圆心，O

14、p为半径的弧pw上。由图知 此时刻仍在磁场中的粒子数与总粒子数之比为5/6 〔3〕在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应该与磁场边界b点相交，设此粒子运动轨迹对应的圆心角为θ，则 在磁场中运动的最长时间 所以从粒子发射到全部离开所用时间为。 【易错提醒】此题因作图不认真易错误地认为轨迹②经过c点，认为轨迹②对应弦长等于轨迹③对应弦长，于是将轨迹②对应粒子作为在磁场中运动时间最长的粒子进展计算；虽然计算出来结果正确，但依据错误。 类型三：入射点和出射点，但未知初速度大小〔即未知半径大小〕和方向 这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在入射点和出射点连线的中垂线上。 【例3】如下列图，无

15、重力空间中有一恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于*Oy平面向外，大小为B，沿*轴放置一个垂直于*Oy平面的较大的荧光屏，P点位于荧光屏上，在y轴上的A点放置一放射源，可以不断地沿平面的不同方向以大小不等的速度放射出质量为m、电荷量+q的同种粒子，这些粒子打到荧光屏上能在屏上形成一条亮线，P点处在亮线上，OA＝OP＝l，求： 〔1〕假设能打到P点，则粒子速度的最小值为多少. 〔2〕假设能打到P点，则粒子在磁场中运动的最长时间为多少. 【分析】粒子既经过A点又经过P点，因此AP连线为粒子轨迹圆的一条弦，圆心必在该弦的中垂线OM上〔如图甲〕。在OM上取不同点为圆心、以圆心和A点连线长度为半

16、径由小到大作出一系列圆〔如图乙〕，其中轨迹①对应半径最小，而轨迹②对应粒子是O1点上方轨道半径最大的，由图可知其对应圆心角也最大。 【答案】〔1〕v＝，〔2〕 【解答】〔1〕粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，设粒子的速度大小为v时，其在磁场中的运动半径为R 则由牛顿第二定律有：qBv＝m 假设粒子以最小的速度到达P点时，其轨迹一定是以AP为直径的圆〔如图中圆O1所示〕 * 由几何关系知：sAP=R＝ 则粒子的最小速度v＝ 〔2〕设粒子在磁场中运动时其轨迹所对应的圆心角为θ 粒子在磁场中的运动周期T＝ 则粒子在磁场中的运动时间为： 由图可知，在磁场中运动时间最长的粒子的

17、运动轨迹如图中圆O2所示 此时粒子的初速度方向竖直向上，则由几何关系有： 则粒子在磁场中运动的最长时间： 【练习3】图中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线.在平面右侧的半空间存在一磁感强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向外，O是MN上的一点，从O点可以向磁场区域发射电量为+q，质量为m，速率为v的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面各个方向，先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇.P到O的距离为L，不计重力及粒子间的相互作用. P M N O P (1)求所考察的粒子在磁场中的轨道半径. (2)求这两个粒子从O点射入磁场的时间间隔. 【分析】如图甲，作OP连线中垂线

18、，然后在中垂线上取关于C对称的两点O1、O2为圆心过O、P作出两个轨迹圆①②，如图乙所示。保存相遇前轨迹如图丙所示。 【答案】〔1，〔2〕 【解答】〔1〕设粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律得 ，则 〔2〕如下列图，以OP为弦可以画两个半径一样的圆，分别表示在P点相遇的两个粒子的轨迹。圆心分别为O1、O2，过O点的直径分别为OO1Q1、OO2Q2，在O点处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向，用θ表示它们之间的夹角。 由几何关系可知，，从O点射入到相遇，粒子1的路程为半个圆周加弧长Q1P=Rθ，粒子2的路程为半个圆周减弧长PQ2=Rθ 粒子1的运动时间为，其中T

19、为圆周运动的周期。 粒子2运动的时间为 两粒子射入的时间间隔为 因为 所以 有上述算式可解得 类型四：初、末速度的方向〔所在直线〕，但未知初速度大小〔即未知轨道半径大小〕 这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在初、末速度延长线形成的角的角平分线上。 【例4】在*Oy平面上的*圆形区域，存在一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一个质量为m、带电量为+q的带电粒子，由原点O开场沿*正方向运动，进入该磁场区域后又射出该磁场；后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°〔如下列图〕，P到O的距离为L，不计重力的影响。 〔1〕假设磁场区域的大小可根据需要而改变

20、，试求粒子速度的最大可能值； 〔2〕假设粒子速度大小为，试求该圆形磁场区域的最小面积。 【分析】 30o y v L O P Q C A 图甲 * P L O y v 30o Q C A 图乙 ① ② * 初、末速度所在直线必定与粒子的轨迹圆相切，轨迹圆圆心到两条直线的距离〔即轨道半径〕相等，因此，圆心必位于初、末速度延长线形成的角的角平分线QC上〔如图甲〕；在角平分线QC上取不同的点为圆心，由小到大作出一系列轨迹圆〔如图乙〕，其中以C点为圆心轨迹①是可能的轨迹圆中半径最大的，其对应的粒子速度也最大。 图丙 L y 30o v

21、 O Q C A P ① * 【解答】过P点作末速度所在直线，交*轴于Q点，经分析可知，粒子在磁场中作圆周运动的轨迹的圆心必在的角平分线QC上，如图甲所示。 设粒子在磁场中作匀速圆周运动的轨道半径为r，则由牛顿第二定律，有 则① 由此可知粒子速度越大，其轨道半径越大，由图乙可知，速度 最大的粒子在磁场中运动轨迹的圆心是y轴上的C点。 〔1〕如图丙所示，速度最大时粒子的轨迹圆过O点、且与PQ 相切于A点。 P y 30o * ② L O ③ 图丁 A v C Q D E 由几何关系有，， 可得② 由①、②求得③ 〔2〕将代入①式，

22、可得，粒子的运动轨迹是 如图丁所示的轨迹圆②，该轨迹圆与*轴相切于D点、与PQ相切于E点。连接DE，由几何关系可知 由于D点、E点必须在磁场，即线段DE在磁场，故可知 磁场面积最小时必定是以DE为直径〔如图丁中③所示〕。即面积最小的磁场半径为 则磁场的最小面积为 【练习4】如下列图，*Oy平面存在着沿y轴正方向的匀强电场．一个质量为m，带电荷量为＋q的粒子从坐标原点O以速度v0沿*轴正方向开场运动．当它经过图中虚线上的M(2a，a)点时，撤去电场，粒子继续运动一段时间后进入一个矩形匀强磁场区域(图中未画出)，又从虚线上的*一位置N处沿y轴负方向运动并再次经过M点．磁场方向垂直*Oy平

23、面(纸面)向里，磁感应强度大小为B，不计粒子的重力，试求： (1)电场强度的大小； (2)N点的坐标； (3)矩形磁场的最小面积． 【分析】粒子在电场中偏转后进入MN右侧，初速度方向，另一方面，粒子末速度由N指向M。初速度、末速度所在直线交于点M，过M点作角平分线MO'，粒子轨迹圆的圆心必在直线MO'上。取其上一点O'为圆心作出轨迹圆〔如下列图〕。 【答案】⑴⑵⑶ 【解答】⑴粒子从O到M做类平抛运动，设时间为t，则有 得 ⑵设粒子运动到M点时速度为v，与*方向的夹角为，则 ，即 由题意知，粒子从P点进入磁场，从N点离开磁场，粒子在磁场中以O′点为圆心做匀速圆周运动，设半径为

24、R，则 解得粒子做圆周运动的半径为 由几何关系知， 所以N点的纵坐标为横坐标为 ⑶当矩形磁场为图示虚线矩形时的面积最小。则矩形的两个边长分别为 所以矩形磁场的最小面积为 类型五：初速度的大小〔即轨道半径大小〕和方向，但入射点不确定 这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在将入射点组成的边界沿垂直入射速度方向平移一个半径距离的曲线上。 【例5】如下列图，长方形abcd的长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心eb为半径的圆弧和以O为圆心Od为半径的圆弧组成的区域有垂直纸面向里的匀强磁场(eb边界上无磁场)磁感应强度B=0.25T。一群不计重力、质

25、量m=3×10-7kg、电荷量q=+2×10-3C的带正电粒子以速度v=5×l02m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射入磁场区域，则以下判断正确的选项是〔〕 A. 从Od边射入的粒子，出射点全局部布在Oa边 B. 从aO边射入的粒子，出射点全局部布在ab边 C. 从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边 D. 从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点 【分析】所有进入磁场的粒子的入射点均在dOb线上，将该曲线垂直速度向上平移一个半径后得到曲线Oaf，此即所有粒子在磁场中做圆周运动的圆心所在曲线，在该曲线上从下到上取点作为圆心、为半径作一系列轨迹圆，其中①为从d点射入粒子的轨迹〔圆心

26、在O点〕，②为从O点射入粒子的轨迹〔圆心在a点〕，③为从a点射入粒子的轨迹，从d、O之间入射粒子在磁场中转过1/4圆周后沿eb边界作直线运动最终会聚于b点，从O、a之间入射粒子先作直线运动再进入磁场做圆周运动，由作图易知这些粒子也会聚于b点。 f f ① ② f ③ 【答案】D 【练习5】如下列图，在*Oy平面有一半径为R、与*轴相切于原点的圆形区域，该区域有垂直于*Oy平面的匀强磁场。在圆的左边00)和初速度v的带电微粒沿*轴正方向射向该区域，其中沿半径AO'方向进入磁场区域的带电微粒经磁场偏转后，从坐标原点O沿y轴负方

27、向离开。 (1)求磁感应强度B的大小和方向。 (2)请指出这束带电微粒与*轴相交的区域，并说明理由。 【分析】〔1〕从A点进入磁场区域的微粒轨迹圆心在A点正下方相距R的C处，微粒轨迹如下列图，可知微粒轨迹半径为；〔2〕所有这些微粒进入磁场后做圆周运动的圆心均在如下列图半圆虚线O'CD上，在该曲线上由上到下取点作为圆心、以R为半径作一系列轨迹圆，易由图可知这些微粒均与*轴相交于原点——因为圆心所在曲线半圆O'CD的圆心是原点O。 C D C D 【答案】(1)，方向垂直*Oy平面向外；〔2〕这束微粒均与*轴相交于原点。 类型六：初速度方向〔所在直线〕和出射点，但入射点不确定

28、 这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在“以初速度所在直线为准线、出射点为焦点的抛物线〞上。 【例6】如下列图，现有一质量为m、电量为e的电子从y轴上的P〔0，a〕点以初速度v0平行于*轴射出，在y轴右侧*一圆形区域加一垂直于*oy平面向里匀强磁场，磁感应强度大小为B. 为了使电子能从*轴上的Q〔b，0〕点射出磁场。试求满足条件的磁场的最小面积，并求出该磁场圆圆心的坐标。 【分析】此题中，电子初速度所在直线，电子进入磁场的入射点在该直线上，则可知电子在磁场中作圆周运动的轨迹圆与该直线相切、且经过Q点，所以电子轨迹圆圆心到该直线和到Q点的距离相等，即电子轨迹圆圆心在以该直线为准线、Q点为焦点的抛物线上。 在该抛物线上从左向右去不同点为圆心，做出一些列轨迹圆，可以看出所有这些轨迹中轨迹①所需圆形磁场的直径最小。 ① 【答案】，〔b,〕 1