2022年高考数学大二轮总复习 增分策略 第二篇 第2讲 填空题的解法技巧

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1、2022年高考数学大二轮总复习 增分策略 第二篇 第2讲 填空题的解法技巧 题型概述　 填空题是一种只要求写出结论，不要求解答过程的客观性试题，有小巧灵活、覆盖面广、跨度大等特点，突出考查准确、严谨、灵活运用知识的能力． 由于填空题不像选择题那样有备选提示，不像解答题那样有步骤得分，所填结果必须准确、规范，因此得分率较低，解答填空题的第一要求是“准”，然后才是“快”、“巧”，要合理灵活地运用恰当的方法，不可“小题大做”． 方法一　直接法 直接法就是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题．直接法

2、是求解填空题的基本方法． 例1　(1)(xx·湖南)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示 若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________． (2)(xx·北京)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________. 解析　(1)由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，落在区间[139,151]上的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名． (2)由余弦定理： cos A＝＝＝，∴sin A＝， cos C＝＝＝，∴sin C＝， ∴＝＝1.

3、 答案　(1)4　(2)1 思维升华　利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键． 跟踪演练1　(1)(xx·韶关联考)已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值是________． (2)已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>2)的两根tan α，tan β，且α，β∈(－，)，则α＋β＝________. 方法二　特例法 当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一

4、个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程． 例2　(1)如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝_____________________________________. (2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________. 解

5、析　(1)把平行四边形ABCD看成正方形， 则点P为对角线的交点，AC＝6，则·＝18. (2)此题考查抽象函数的奇偶性，周期性，单调性和对称轴方程，条件多，将各种特殊条件结合的最有效方法是把抽象函数具体化．根据函数特点取f(x)＝sinx， 再由图象可得(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝(－6×2)＋(2×2)＝－8. 答案　(1)18　(2)－8 思维升华　求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解． 跟踪演练2　(xx·课标全国Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋

6、)为偶函数，则a＝________. 方法三　数形结合法 对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形． 例3　(1)已知点P(x，y)的坐标x，y满足则x2＋y2－6x＋9的取值范围是________________________________________________________________________． (2)已知函数f(x)＝x|x－2|

7、，则不等式f(－x)≤f(1)的解集为________． 解析　(1)画出可行域如图，所求的x2＋y2－6x＋9＝(x－3)2＋y2是点Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线x－y－1＝0(x≥0)的距离d的平方， ∴d＝()2＝()2＝2. 最大值为点Q到点A的距离的平方，∴d＝16. ∴取值范围是[2,16]． (2)函数y＝f(x)的图象如图，由不等式f(－x)≤f(1)知，－x≤＋1，从而得到不等式f(－x)≤f(1)的解集为[－1，＋∞)． 答案　(1)[2,16]　(2)[－1，＋∞) 思维升华　数形结合法可直观快捷得到问题的结论，充分应用了

8、图形的直观性，数中思形，以形助数．数形结合法是高考的热点，应用时要准确把握各种数式和几何图形中变量之间的关系． 跟踪演练3　(1)(xx·山西大学附中月考)若方程x3－3x＝k有3个不等的实根，则常数k的取值范围是_________________________________________________________． (2)(xx·兰州一中期中)设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则函数y＝g(x)＝f(x)－x的零点个数为________． 方法四　构造法 构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，

9、使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决． 例4　(1)如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________． (2)，，(其中e为自然对数的底数)的大小关系是________________． 解析　(1)如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝＝2R，

10、所以R＝，故球O的体积V＝＝π. (2)由于＝，＝，＝，故可构造函数f(x)＝，于是f(4)＝，f(5)＝，f(6)＝. 而f′(x)＝()′＝＝，令f′(x)>0得x<0或x>2，即函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，因此有f(4)

11、n∥β. 能推得m∥n的条件是________． 方法五　归纳推理法 做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几个结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题．归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想． 例5　(1)(xx·陕西)观察分析下表中的数据： 多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12 猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是_____________________

12、________． (2)用火柴棒摆“金鱼”，如图所示： 按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________． 解析　(1)观察F，V，E的变化得F＋V－E＝2. (2)观察题图①，共有8根火柴，以后依次增加6根火柴，即构成首项为8，公差为6的等差数列，所以，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n＋2. 答案　(1)F＋V－E＝2　(2)6n＋2 思维升华　归纳推理法主要用于与自然数有关的结论，这类问题是近几年高考的热点，解题的关键在于找准归纳对象及其规律，如数列中项与项数之间的对应关系． 跟踪演练5　观察下列各个等式： 13＝1； 23＝3＋5； 33

13、＝7＋9＋11； 43＝13＋15＋17＋19； … 若某数m3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2 016”这个数，则m＝________. 方法六　正反互推法 多选型问题给出多个命题或结论，要求从中选出所有满足条件的命题或结论．这类问题要求较高，涉及图形、符号和文字语言，要准确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结论之间互反互推，相互印证，也可举反例判断错误的命题或结论． 例6　已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0,1)时，f(x)＝log2(x＋1)，给出下列命题：①f(2 013)＋f(－2 014)的值为0；②函数f

14、(x)在定义域上为周期是2的周期函数；③直线y＝x与函数f(x)的图象有1个交点；④函数f(x)的值域为(－1,1)．其中正确的命题序号有________． 解析　根据题意，可在同一坐标系中画出直线y＝x和函数f(x)的图象如下： 根据图象可知①f(2 013)＋f(－2 014)＝0正确，②函数f(x)在定义域上不是周期函数，所以②不正确，③根据图象确实只有一个交点，所以正确，④根据图象，函数f(x)的值域是(－1,1)，正确． 答案　①③④ 思维升华　正反互推法适用于多选型问题，这类问题一般有两种形式，一是给出总的已知条件，判断多种结论的真假；二是多种知识点的汇总考查，主要覆盖

15、考点功能．两种多选题在处理上不同，前者需要扣住已知条件进行分析，后者需要独立利用知识逐项进行判断．利用正反互推结合可以快速解决这类问题． 跟踪演练6　给出以下命题： ①双曲线－x2＝1的渐近线方程为y＝±x； ②命题p：“∀x∈R＋，sin x＋≥2”是真命题； ③已知线性回归方程为 ＝3＋2x，当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位； ④设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝0.2，则P(－1<ξ<0)＝0.6； ⑤已知＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为＋＝2(n≠4)． 则正确命题的序号为________(写出所有正

16、确命题的序号)． 知识方法总结　六招拿下填空题： (一)直接法　(二)特例法　(三)数形结合法　(四)构造法 (五)归纳推理法　(六)正反互推法 填空题突破练 A组　专题通关 1．已知集合A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，若A＝B，则x＝________，y＝________. 2．已知函数f(x)＝若关于x的函数g(x)＝f(x)－m有两个零点，则实数m的取值范围是________． 3．已知函数f(x)＝sin(x＋)(x>0)的图象与x轴的交点从左到右依次为(x1,0)，(x2,0)，(x3,0)，…，则数列{xn}的前4项和为________．

17、4．(xx·杭州外国语学校期中)设a＞0，在二项式(a－)10的展开式中，含x的项的系数与含x4的项的系数相等，则a的值为________． 5．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是________． 6．已知a＝ln－，b＝ln－，c＝ln－，则a，b，c的大小关系为________． 7．观察下列不等式： 1＋＜ 1＋＋＜ 1＋＋＋＜ …… 照此规律，第五个不等式为_____________________________________________． 8．若函数f(x)

18、的定义域是R，f(0)＝2，对任意的x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集是________． 9．(xx·珠海模拟)已知函数f(x)＝()x－sin x，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为________． 10．整数数列{an}满足an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，若此数列的前800项的和是2 013，前813项的和是2 000，则其前2 014项的和为________． 11．设命题p：≤0，命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)<0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________． 12．(xx·山东)执行下边的程序

19、框图，输出的T的值为________. B组　能力提高 13．已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则f()＝________. 14．已知O是坐标原点，点M的坐标为(2,1)，若点N(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的最大值是________． 15．设函数f(x)＝则f[f(－1)]＝________.若函数g(x)＝f(x)－k存在两个零点，则实数k的取值范围是________． 16．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的投影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③

20、同一条直线；④一条直线及其外一点． 在上面的结论中，正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号) 学生用书答案精析 第2讲　填空题的解法技巧 跟踪演练1　(1)8　(2)－π或 解析　(1)由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝4， ∴|PF1|·|PF2|≤()2＝8，(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号) ∴|PF1|·|PF2|的最大值是8. (2)由已知可得tan α＋tan β＝－3a， tan αtan β＝3a＋1， tan(α＋β)＝＝＝1， 因为α，β∈(－，)， 所以－π<α＋β<π， 所以α＋β＝－π或. 跟踪演练2　1

21、解析　∵f(1)＝f(－1)， ∴ln(1＋)＋ln(－1＋)＝0， ∴ln a＝0，∴a＝1. 经验证a＝1符合题意． 跟踪演练3　(1)(－2,2)　(2)3 解析　(1)设f(x)＝x3－3x，令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，当x<－1时，函数f(x)单调递增，当－11时，函数f(x)单调递增，f(－1)＝2，f(1)＝－2，要有三个不等实根，则直线y＝k与y＝f(x)的图象有三个交点，∴－2

22、4，c＝2. 于是，f(x)＝ 在同一直角坐标系内，作出函数y＝f(x)与函数y＝x的图象，知它们有3个交点，即函数g(x)有3个零点． 跟踪演练4　①③ 解析　构建长方体模型，如图，观察选项特点，可优先判断条件②：取平面α为平面ADD′A′，平面β为平面ABCD，则直线m为直线AD. 因为m∥γ，故可取平面γ为平面A′B′C′D′， 因为n⊂γ且n∥β，故可取直线n为直线A′B′. 则直线AD与直线A′B′为异面直线，故m与n不平行． 对于①：α、β取②中平面，取平面γ为平面BCC′B′，可取直线n为直线BC，故可推得m∥n； 对于③：α，β取②中平面，取γ为平面AB′

23、C′D， 取直线n为直线B′C′，故可推得结论． 跟踪演练5　45 解析　某数m3按上述规律展开后，等式右边为m个连续奇数的和，由于前4行的最后一个数分别为1＝12＋0,5＝22＋1,11＝32＋2,19＝42＋3，所以m3的最后一个数为m2＋(m－1)，因为当m＝44时，m2＋(m－1)＝1 979，当m＝45时，m2＋(m－1)＝2 069，所以要使等式右边含有“2 016”这个数，则m＝45. 跟踪演练6　①③⑤ 解析　①由－x2＝0可以解得双曲线的渐近线方程为y＝±x，正确． ②命题不能保证sin x，为正，故错误； ③根据线性回归方程的含义正确； ④P(ξ>1)＝0.

24、2， 可得P(ξ<－1)＝0.2， 所以P(－1<ξ<0)＝P(－1<ξ<1)＝0.3，故错误； ⑤根据验证可知得到一般性的等式是正确的． 填空题突破练 1．－1　－1 解析　由A＝B知需分多种情况进行讨论， 由lg(xy)有意义，则xy>0. 又0∈B＝A，则必有lg(xy)＝0，即xy＝1. 此时，A＝B，即{0,1，x}＝{0，|x|，y}． ∴或解得x＝y＝1或x＝y＝－1.当x＝y＝1时， A＝B＝{0,1,1}与集合元素的互异性矛盾，应舍去； 当x＝y＝－1时， A＝B＝{0，－1,1}满足题意，故x＝y＝－1. 2．(1,2] 解析　g(x)＝f(x

25、)－m有两个零点等价于函数f(x)与函数y＝m的图象有两个交点，作出函数的图象如图，由图可知m的取值范围是(1,2]． 3．26 解析　令f(x)＝sin(x＋)＝0， 则x＋＝kπ(k∈N*)， ∴x＝3k－1(k∈N*)， ∴x1＋x2＋x3＋x4＝3(1＋2＋3＋4)－4＝26. 4．1 解析　Tk＋1＝C(－)ka10－k， 令k＝2时，x的系数为Ca8，令k＝8时，x4的系数为Ca2，∴Ca8＝Ca2，即a＝1，故答案为1. 5.－1 解析　点P到抛物线的准线距离等于点P到抛物线焦点F(1,0)的距离．圆心坐标是(0,4)，圆心到抛物线焦点的距离为，即圆上的点

26、Q到抛物线焦点的距离的最小值是－1，这个值即为所求． 6．a＞b＞c 解析　令f(x)＝ln x－x，则f′(x)＝－1＝. 当0＜x＜1时，f′(x)＞0， 即函数f(x)在(0,1)上是增函数． ∵1＞ ＞＞＞0， ∴a＞b＞c. 7．1＋＋＋＋＋< 8．{x|x>0} 解析　构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex－1，求导得到g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]． 由已知f(x)＋f′(x)>1，可得g′(x)>0，所以g(x)为R上的增函数．又g(0)＝e0·f(0)－e0－1＝0，所以ex·f(x)>ex＋1，即g(

27、x)>0的解集为{x|x>0}． 9．2 解析　因为函数f(x)＝()x－sin x，则 f(x)在[0,2π]上的零点个数等于函数y＝()x与函数y＝sin x在区间[0,2π]内的交点的个数，在同一坐标系中画出上述两个函数的图象如图所示，由图象可知，两函数在区间[0,2π]内有两个不同的交点，所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为2. 10．987 解析　a3＝a2－a1，a4＝a3－a2，a5＝a4－a3，a6＝a5－a4，a7＝a6－a5，…，∴a1＝a7，a2＝a8，a3＝a9，a4＝a10，a5＝a11，…，{an}是以6为周期的数列，且有a1＋a2＋a3＋a4

28、＋a5＋a6＝0，S800＝a1＋a2＝2 013，S813＝a1＋a2＋a3＝2 000，a3＝－13， ∴ ∴a2＝1 000，S2 014＝a1＋a2＋a3＋a4＝a2＋a3＝1 000＋(－13)＝987. 11．[0，) 解析　由≤0，得≤x<1； 由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)<0，得a

29、，∴f()＝－f(－)， 故f()＝0， 又令x＝可得f()＝f()， ∴f()＝0，同理可得f()＝0. 14．3 解析　·＝2x＋y，如图：当直线2x＋y＝z经过点(1,1)时，达到最大值，zmax＝3. 15．－2　(0,1] 解析　f[f(－1)]＝f(4－1)＝f()＝log2＝－2. 令f(x)－k＝0，即f(x)＝k， 设y＝f(x)，y＝k，画出图象，如图所示，函数g(x)＝f(x)－k存在两个零点，即y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点，由图象可得实数k的取值范围为(0,1]． 16．①②④ 解析　用正方体ABCD－A1B1C1D1实例说明A1D1与BC1在平面ABCD上的投影互相平行，AB1与BC1在平面ABCD上的投影互相垂直，BC1与DD1在平面ABCD上的投影是一条直线及其外一点，故①②④正确．