3、的图象向左平移个单位，得到函数y=g (x)的图象．若y=g(x)在[]上为增函数，则的最大值( )
A．6 B．4 C．3 D．2
9．如图所示, 医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下液体(滴管内液体忽略不计)，设输液开始后分钟, 瓶内液面与进气管的距离为厘米，已知当时，．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完． 则函数的图像为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，若函数在定义域内的一个区间上函数值的取
4、值范围恰好是，则称区间是函数的一个减半压缩区间，若函数存在一个减半压缩区间，（），则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填写在题中横线上．
11．下列四个结论中，①命题“若x≠1，则x2-3x+2≠0”的逆否命题是“若x2-3x+2=0，则x=1”；②若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；③若命题p：∃x0∈R，使得+2x0+3<0，则﹁p: ∀x∈R,都有x2+2x+3≥0；④设a，b为两个非零向量，则“a·b＝|a|·|b|”是“a与b共线”的充分必要条件；
5、正确结论的序号是的是_____ _．
12．某运动队有男女运动员49人，其中男运动员有28人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，那么应抽取女运动员人数是 ．
13．已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为直角三角形，则实数_________．
14．若偶函数（x∈R且）在上的解析式为，则函数的图象在点处的切线的斜率为_________．
15．如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在5次综合测评中的
成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不低于乙的平
均成绩的概率为________．
16．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资
6、金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1．2万元
0．55万元
韭菜
6吨
0．9万元
0．3万元
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为________．
17．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：（Ⅰ）是数列中的第_________项；
7、（Ⅱ）若为正偶数，则=_________．（用n表示）
三、解答题：本大题共5个小题，共65分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本小题满分12分）已知向量，向量，函数．
（I）求的最小正周期；
（II）已知分别为内角的对边，为锐角，，且恰是在上的最大值，求和．
19．（本小题满分13分）设是公比为q的等比数列．
（I）推导的前n项和公式；
（II）设q≠1, 证明数列不是等比数列．
20．（本小题满分13分）在四棱锥中，,
，平面，直线PC与平面ABCD所成角为，．
（I）求四棱锥的体积；
（II）若为的中点，求证：平面
8、平面．
21．（本小题满分13分）如图，已知抛物线，过焦点F任作一条直线与相交于两点，过点作轴的平行线与直线相交于点（为坐标原点）．
（I）证明：动点在定直线上；
（II）点P为抛物线C上的动点，直线为抛物线C在P点处的切线，求点Q（0，4）到直线距离的最小值．
22．（本小题满分14分）已知函数，， 其中，是自然对数的底数．函数，．
（I）求的最小值；
（II）将的全部零点按照从小到大的顺序排成数列，求证：
（1），其中；
（2）．
参考答案
1—5． B D D A B 6—10．A D C C B 11．①③
9、 12． 6 13．
14． －0．5 15． 16． 30, 20 17． 5035,
18．解: （1） 2分
， 4分
6分
（2） 由（1）知：，当时,
当时取得最大值，此时．
由得 9分
由余弦定理，得
∴， ∴． 12分
19．答案：（I）当q≠1时，，当q=1时，（2）略
10、详细分析：(Ⅰ) 因为，，两式相减得，
所以当q≠1时，， 4分
当q=1时，数列为常数列， 6分
（II）证明：假设数列是等比数列，则有 9分
整理得，因为≠0，所以q=1与已知q≠1矛盾，
所以数列不是等比数列． 12分
20．解：（1）∵平面∴是直线PC与平面ABCD所成角，依题设，．
11、 2分
在中，，，∴．
在中∵ ∴PA=AC=4．
在中，，， 4分
∴．
∴． 6分
（2）∵ ，∴，又，，∴，∵，∴ 9分
在中∵PA=AC ，是的中点，∴
∴∵，∴． 13分
21．（1）解：依题意，F（0，1），易知AB的斜率存在，设AB的方程为．代入得，即．设，则， 2分
直线AO的方程为；BD的方程为；解得交点D的坐标为，
12、4分
注意到及，则有，
因此，D点在定直线上． 6分
（II）设为曲线上一点，因为，所以的斜率为，因此直线的方程为，即． 8分
则Q（0，4）点到的距离， 10分
所以
当时取等号，所以O点到距离的最小值为． 13分
22．解：（I），当时，；当时，；所以，函数在上是减函数，在上是增函数，所以，
13、综上所述，函数的最小值是0． 4分
（II）证明：对求导得，令可得，当时，，此时；当时，，此时．所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为和． 7分
因为函数在区间上单调递增，又，所以．当时，因为，且函数的图像是连续不断的,所以在区间内至少存在一个零点，又在区间上是单调的，故． 9分
（2）证明：由（I）知，，则，因此，当时，
记S=
则S 11分
由（1）知，S
当时，；
当时，S
即，S，证毕． 14分
2022年高三数学上学期第五次月考试题 文(IV)
