2022年高二数学下学期期中试题 文（含解析）

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1、2022年高二数学下学期期中试题 文（含解析） 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题（题型注释） 1．菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等。在以上三段论的推理中（ ） A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论错误 【答案】A 【解析】 试题分析：大前提，“菱形的对角线相等”， 小前提，正方形是菱形， 结论，所以正方形的对角线相等， 大前提是错误的，因为菱形的对角线垂直平分． 以上三段论推理中错误的是：大前提，故选A．. 考点：演绎推理的基本方法. 2．已知点P(1,2)是曲线

2、y=2x2上一点，则P处的瞬时变化率为 （ ） A．2 B．4 C．6 D． 【答案】B 【解析】 试题分析： y′|x=1=4x|x=1=4，故答案为B. 考点：导数的运算. 3．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ） (A)假设三内角都大于60度； (B)假设三内角都不大于60度； (C)假设三内角至多有一个大于60度； (D)假设三内角至多有两个大于60度。 【答案】A 【解析】 试题分析：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没

3、有”；即“三内角都大于60度”．故选B. 考点：反证法与放缩法. 4．下列求导运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 试题分析： A．（x+）′=1-，∴A错误． B．（x2cosx）′=-2xsinx-x2sinx，∴B错误． C．（3x）′=3xln3，∴C错误． D．（log2x）′=，正确． 故选：D．. 考点：导数的运算．. 5．如图所示，图中有5组数据，去掉　　　组数据后（填字母代号），剩下的4组数据的线性相关性最大（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【答案】A 【解析

4、】 试题分析：∵A、B、C、D四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，E点离得远．∴去掉E点剩下的4组数据的线性相关性最大，故答案为：A. 考点：变量间的相关关系．. 6．在一次实验中，测得的四组值分别是，则与之间的回归直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 试题分析：∵，∴这组数据的样本中心点是（2.5，3.5），把样本中心点代入四个选项中，只有y=x+1成立， 故选A. 考点：线性回归方程. 7．曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ） A. B. C.和

5、 D.和 【答案】D 【解析】 试题分析：因为直线y=4x-1的斜率为4，且切线平行于直线y=4x-1， 所以函数在p0处的切线斜率k=4，即f'（x）=4． 因为函数的导数为f'（x）=3x2+1， 由f'（x）=3x2+1=4，解得x=1或-1． 当x=1时，f（1）=0，当x=-1时，f（-1）=-4． 所以p0的坐标为（1，0）或（-1，-4）. 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．. 8．分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时 且的解集为（ ） A．（－2，0）∪（2，+∞） B．（－2，0）∪（0，2） C．（－∞，－2）∪（2，+∞） D

6、．（－∞，－2）∪（0，2） 【答案】A 【解析】 试题分析：设F（x）=f （x）g（x），当x＜0时， ∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0． ∴F（x）在当x＜0时为增函数． ∵F（-x）=f （-x）g （-x）=-f （x）•g （x）．=-F（x）． 故F（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数． ∴F（x）在（0，+∞）上亦为增函数． 已知g（-3）=0，必有F（-3）=F（3）=0． 构造如图的F（x）的图象，可知 F（x）＜0的解集为x∈（-∞，-3）∪（0，3）． 故选D. 考点：利用导数研究函数的单调性．.

7、 9．利用独立性检验来考虑两个分类变量与是否有关系时，通过查阅下表来确定“和有关系”的可信度。如果，那么就有把握认为“和有关系”的百分比为（ ） A．25% B．95% C．5% D．97.5% 【答案】B 【解析】 试题分析：解：∵k＞5、024， 而在观测值表中对应于5.024的是0.025， ∴有1-0.025=97.5%的把握认为“X和Y有关系”， 故选D．. 考点：独立性检验的应用．. 10．函数的最大值为（ ） A. B.

8、 C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析：，令y′=0，得x=e， 当x＞e时，y′＞0，f（x）为增函数， 当0＜x＜e时，y′＜0，f（x）为，减函数， ∴f（x）在x=e处取极大值，也是最大值，∴y最大值为f（e）=，故选D. 考点：函数在某点取得极值的条件. 11．是f（x）的导函数，的图象如下图所示，则f（x）的图象只可能是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】 试题分析：由图可以看出函数y=f′（x）的图象是一个二次函数的图象， 在a与b之间，导函数

9、的值是先增大后减小 故在a与b之间，原函数图象切线的斜率是先增大后减小 因此故排除答案A，B，C． 故答案为：D． 考点：函数的单调性与导数的关系. 12．已知三次函数的图象如图所示，则（ ） A.-1 B.2 C.-5 D.-3 【答案】C 【解析】 试题分析：求导得：f’（x）=3ax2+2bx+c，结合图象可得 x=-1，2为导函数的零点，即f’（-1）=f’（2）=0， 故，解得故，故答案为：-5. 考点：导数的运算；函数的图象．. 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人

10、 得分 二、填空题（题型注释） 13．过点P（－1，2）且与曲线y=3x2-4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是________． 【答案】2x－y+4=0 【解析】 试题分析： y’=6x-4，∴切线斜率为6×1-4=2．∴所求直线方程为y-2=2（x+1），即2x-y+4=0． 故答案为：2x-y+4=0． 考点：直线的点斜式方程；导数的几何意义．. 14．已知 ，猜想的表达式为 【答案】 【解析】 试题分析：根据题意，f（1）=1，f（2）=，f（3）=，f（4）=，…可以归纳f（x）为分数，且其分子为2不变，分母为

11、x+1； 即，故答案为．. 考点：归纳推理. 15．如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，则小正方形的边长为 时，盒子容积最大？。 【答案】1 【解析】 试题分析：设小正方形的边长为xcm，则x∈（0，）； 盒子容积为：y=（8-2x）•（5-2x）•x=4x3-26x2+40x， 对y求导，得y′=12x2-52x+40，令y′=0，得12x2-52x+40=0，解得：x=1，x=（舍去）， 所以，当0＜x＜1时，y′＞0，函数y单调递增；当1＜x＜时，y′＜0，函数y单调递减；

12、所以，当x=1时，函数y取得最大值18； 所以，小正方形的边长为1cm，盒子容积最大，最大值为18cm3．. 考点：函数模型的选择与应用．. 16．点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值是 【答案】 【解析】 试题分析：解：设P（x，y），则y′=2x-（x＞0） 令2x-=1，则（x-1）（2x+1）=0， ∵x＞0，∴x=1 ∴y=1，即平行于直线y=x+2且与曲线y=x2-lnx相切的切点坐标为（1，1），由点到直线的距离公式可得d=，故答案为：. 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；两条平行直线间的距离．. 评卷人 得分 三

13、、解答题（题型注释） 17．已知函数在区间，上有极大值． （1）求实常数m的值． （2）求函数在区间，上的极小值． 【答案】(1) m＝4;(2). 【解析】 试题分析：（1）先利用导数四则运算计算函数f（x）的导函数f′（x），再解不等式f′（x）=0，求出函数的极大值，即可求出m； （2）根据（1）的结论，即可求出答案. 试题解析：解：．　令，可解得，x＝2． 当x变化时，，变化情况为： 5分； （1）当x＝－2时，取极大值，故．解得m＝4． （2）由，． 当时，取极小值，为． 10分； 考点：利用导数研究曲线的极值； 18．通过随机询问110名不

14、同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 附： 0．050 0．010 0．001 3．841 6．635 10．828 试考查大学生“爱好该项运动是否与性别有关”，若有关，请说明有多少把握。 【答案】有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”. 【解析】 试题分析：由已知中判断爱好该项运动是否与性别有关时，由列联表中的数据此算得k2≈7.8，且7.8＞6.635，而P（k2≥6.635）≈0.01，故我们有99%

15、的把握认为爱好该项运动与性别有关．则出错的可能性为1%. 试题解析：由>6.635，所以有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”。 12分‘ 考点：独立性检验．. 19．关于某设备的使用年限和所支出的维修费用（万元），有如下的统计资料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 (1)如由资料可知对呈线形相关关系.试求：线形回归方程；（，） (2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？ 【答案】(1) (2) 12.38万元. 【解析】 试题分析：（1）根据所给的数据，做出变量x，y的平均数，根据最小二乘法做出

16、线性回归方程的系数b，在根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出a的值，从而得到线性回归方程； （2）当自变量为10时，代入线性回归方程，求出当年的维修费用，这是一个预报值．. 试题解析：解：（1） 6分； 于是. 所以线形回归方程为： 8分； （2）当时，， 即估计使用10年是维修费用是12.38万元. 12分； 考点：线性回归方程．. 20．已知某工厂生产件产品的成本为（元）， 问：（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？ （2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？ 【答案】(1) 1000 ;(2) 6000

17、. 【解析】 试题分析：（1）先根据题意设生产x件产品的平均成本为y元，再结合平均成本的含义得出函数y的表达式，最后利用导数求出此函数的最小值即可； （2）先写出利润函数的解析式，再利用导数求出此函数的极值，从而得出函数的最大值，即可解决问题：要使利润最大，应生产多少件产品．. 试题解析：解：（1）设平均成本为元，则， ，令得． 当在附近左侧时； 在附近右侧时，故当时，取极小值，而函数只有一个点使，故函数在该点处取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1000件产品． 6分； （2）利润函数为，， 令，得，当在附近左侧时；在附近右侧时，故当时，取极大值，而函数只有一个点使

18、，故函数在该点处取得最大值，因此，要使利润最大，应生产6000件产品． 12分； 考点：导数的应用. 21．已知函数在与时都取得极值 (1)求的值与函数的单调区间 (2)若对，不等式恒成立，求的取值范围 【答案】(1) 递增区间是与,递减区间是；(2) . 【解析】 试题分析：（1）求出f′（x），因为函数在x=- 与x=1时都取得极值，所以得到f′（-）=0且f′（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间； （2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[-1，2]恒成立求出函数的最大值值为f（2

19、），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范围即可．. 试题解析：解：（1） 1分； 由，得 3分； ，函数的单调区间如下表： ­ 极大值 ¯ 极小值 ­ 所以函数的递增区间是与,递减区间是； 6分； （2），当时， 为极大值，而，则为最大值， 9分； 要使恒成立，则只需要， 10分； 得 12分； 考点：1.利用导数研究函数的极值；2.函数恒成立问题；3.利用导数研究函数的单调性．

20、. 22．已知函数R）. （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； （2）在（1）条件下，求函数的单调区间和极值； （3）当，且时，证明： 【答案】(1);(2)详见解析. 【解析】 试题分析：（1）欲求a的值，根据在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．再列出一个等式，最后解方程组即可得． （2）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，最后求出极值即可． （3）由（2）知，当a=1时，函数f(x)＝，在[1，+∞）上是单调减函数，且f(1)＝＝1，从而证得结论．. 试题解析：解：（1）函数 所以又曲线处的切线与直线平行，所以 4分； （2）令 当x变化时，的变化情况如下表： + 0 — 极大值 由表可知：的单调递增区间是，单调递减区间是 所以处取得极大值， 8分； （3）当由于 只需证明 令 因为，所以上单调递增， 当即成立。 故当时，有 12分； 考点：1.利用导数研究函数的极值；2.利用导数研究函数的单调性；3.利用导数研究曲线上某点切线方程．