2022年高中数学 第2章 第13课时 平面与平面垂直的判定课时作业 新人教A版必修2

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1、2022年高中数学 第2章 第13课时 平面与平面垂直的判定课时作业 新人教A版必修2 1．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是(　　) A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂β C．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β 解析：A与D中α也可与β平行，B中不一定α⊥β，故选C. 答案：C 2．三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O，点P到三个面的距离分别是3,4,5，则OP的长为(　　) A．5　　　　 B．5 C．3 D．2 解析：∵三个平面两两垂直， ∴可以将P与各面的垂足连接并补成一个长方体， ∴O

2、P即为对角线， ∴OP＝＝＝5. 答案：B 3．下列说法中：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，其中正确的有(　　) A．①③ B．②④ C．③④ D．①② 解析：对①，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对②，由于a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对③，因为不垂直于棱，所以是错误的；④

3、是正确的，故选B. 答案：B 4．已知PA垂直矩形ABCD所在的平面(如图)．图中互相垂直的平面有(　　) A．1对 B．2对 C．3对 D．5对 解析：∵DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA＝A， ∴DA⊥平面PAB，同样BC⊥平面PAB， 又易知AB⊥平面PAD， ∴DC⊥平面PAD. ∴平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面PAD，共5对． 答案：D 5．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有(　　) A．0个 B．1个 C．无数个 D．1个或无数个 解析：如果

4、平面内一点与平面外一点的连线与平面垂直，则可以作无数个平面与已知平面垂直，如果两点连线与已知平面不垂直，则只能作一个平面与已知平面垂直． 答案：D 6.如图，在三棱锥P－ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是(　　) A．平面EFG∥平面PBC B．平面EFG⊥平面ABC C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角 D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角 解析：由于易知FG∥平面PBC，GE∥平面PBC，且FG∩GE＝G， 故平面EFG∥平面PBC，A正确； 由题意知PC⊥平面ABC，FG∥PC， 所以F

5、G⊥平面ABC，故平面EFG⊥平面ABC，B正确； 根据异面直线所成角的定义可知，C正确； 而D中，FE不垂直于AB，故∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角，故选D. 答案：D 7．下列四个命题中，正确的序号有________． ①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ； ②α∥β，β∥γ，则α∥γ； ③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ； ④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ. 解析：③④不正确，如图所示，α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直． 答案：①② 8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，二面角C1－BD－C的大小为________． 解析：

6、如图，连接AC交BD于点O，连接C1O， ∵C1D＝C1B，O为BD中点， ∴C1O⊥BD，∵AC⊥BD， ∴∠C1OC是二面角C1－BD－C的平面角， 在Rt△C1CO中，C1C＝，可以计算C1O＝2， ∴sin∠C1OC＝＝，∴∠C1OC＝30°. 答案：30° 9.已知二面角α－l－β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD＝135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为________． 解析： 如图，平移CD至AF，则∠BAF为所求．作二面角α－l－β的平面角∠BAE＝60°， 又∠EAF＝45°， 由cos∠BAF＝cos∠BAE·c

7、os∠EAF得 cos∠BAF＝×＝. 答案： 10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点． (1)求证：EF∥平面CB1D1； (2)求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1. 证明：(1)连接BD. 在正方体AC1中，对角线BD∥B1D1. 又∵E、F为棱AD、AB的中点， ∴EF∥BD. ∴EF∥B1D1. 又B1D1⊂平面CB1D1，EF⊄平面CB1D1， ∴EF∥平面CB1D1. (2)∵在正方体AC1中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1⊂平面A1B1C1D1， ∴AA1⊥B1D1. 又∵在正方形A1B1C

8、1D1中，A1C1⊥B1D1，AA1∩A1C1＝A1， ∴B1D1⊥平面CAA1C1. 又∵B1D1⊂平面CB1D1， ∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1. B组　能力提升 11．如图， 在Rt△AOB中，∠OAB＝，斜边AB＝4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B－AO－C是直二面角，D是AB的中点． (1)求证：平面COD⊥平面AOB； (2)求异面直线AO与CD所成角的正切值． 解：(1)证明：由题意，CO⊥AO，BO⊥AO， ∴∠BOC是二面角B－AO－C的平面角， ∴CO⊥BO， 又∵AO∩BO＝O，∴CO⊥平面AOB， 又∵

9、CO⊂平面COD， ∴平面COD⊥平面AOB. (2)作DE⊥OB，垂足为E， 连接CE(如图)，则DE∥AO， ∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角． 在Rt△COE中， CO＝BO＝2， OE＝BO＝1， ∴CE＝＝. 又DE＝AO＝， ∴在Rt△CDE中，tan∠CDE＝＝＝. ∴异面直线AO与CD所成角的正切值为. 12．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝. (1)证明：平面PBE⊥平面PAB； (2)求二面角A－BE－P的大小． 解析：(1)证明：如图所示，连接BD， 由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知， △BCD是等边三角形． 因为E是CD的中点，所以BE⊥CD. 又AB∥CD，所以BE⊥AB. 又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD， 所以PA⊥BE. 而PA∩AB＝A， 因此BE⊥平面PAB. 又BE⊂平面PBE， 所以平面PBE⊥平面PAB. (2)由(1)知BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB， 所以PB⊥BE. 又AB⊥BE， 所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角． 在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝，∠PBA＝60°， 故二面角A－BE－P的大小是60°.