高考数学专题复习 专题10 计数原理、概率与统计 第76练 离散型随机变量的均值与方程练习 理

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1、高考数学专题复习 专题10 计数原理、概率与统计 第76练 离散型随机变量的均值与方程练习 理 训练目标 熟练掌握随机变量的均值与方差的求法． 训练题型 (1)求随机变量的均值；(2)求随机变量的方差；(3)统计知识与均值、方差的综合应用． 解题策略 (1)熟练掌握均值、方差的计算公式及其性质；(2)此类问题的关键是分析概率模型，正确求出概率. 2．(xx·威海模拟)三人参加某娱乐闯关节目，假设甲闯关成功的概率是，乙、丙两人同时闯关成功的概率是，甲、丙两人同时闯关失败的概率是，且三人各自能否闯关成功相互独立． (1)求乙、丙两人各自闯关成功的概率； (2)设ξ表示三人中最终闯

2、关成功的人数，求ξ的概率分布和均值． 3．甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)用X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的概率分布和均值． 4．(xx·徐州模拟)某市公安局为加强安保工作，特举行安保项目的选拔比赛活动，其中A、B两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式进行三场比赛，每场胜队得1分，负

3、队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ，η，且ξ＋η＝3. 对阵队员 A队队员胜 A队队员负 A1对B1 A2对B2 A3对B3 (1)求A队最后所得总分为1的概率； (2)求ξ的概率分布，并用统计学的知识说明哪个队实力较强． 答案精析 1．解　(1)ξ的概率分布为 ξ 0 1 2 3 4 P ∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝， V(ξ)＝(0－)2×＋(1－)

4、2×＋(2－)2×＋(3－)2×＋(4－)2×＝. (2)由题意可知V(η)＝a2V(ξ)＝a2×＝11，∴a＝±2. 又E(η)＝aE(ξ)＋b， ∴当a＝2时，1＝2×＋b，得b＝－2； 当a＝－2时，1＝－2×＋b，得b＝4. ∴或 2．解　(1)记甲、乙、丙各自闯关成功的事件分别为A1、A2、A3， 由已知A1、A2、A3相互独立，且满足 解得P(A2)＝，P(A3)＝. 所以乙、丙各自闯关成功的概率分别为、. (2)ξ的可能取值为0,1,2,3. P(ξ＝0)＝ ＝××＝＝， P(ξ＝1)＝ ＋ ＋＝， P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝＝， P(ξ＝

5、3)＝××＝＝. 所以随机变量ξ的概率分布为 ξ 0 1 2 3 P 所以随机变量ξ的均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝. 3．解　(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”， A2表示事件“第3局结果为甲负”， A表示事件“第4局甲当裁判”． 则A＝A1·A2. 则P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝. (2)X的可能取值为0,1,2. 记A3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”， B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”， B2表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”， B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”，

6、 则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3) ＝P(B1)P(B2)P(A3)＝， P(X＝2)＝P(1·B3)＝，则P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－－＝. ∴X的概率分布为 X 0 1 2 P ∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 4．解　(1)记“A队最后所得总分为1”为事件A0， ∴P(A0)＝××＋××＋××＝. (2)ξ的所有可能取值为3,2,1,0， P(ξ＝3)＝××＝＝， P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝＝， P(ξ＝1)＝， P(ξ＝0)＝××＝＝， ∴ξ的概率分布为 ξ 0 1 2 3 P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. ∵ξ＋η＝3， ∴E(η)＝－E(ξ)＋3＝. 由于E(η)＞E(ξ)，故B队的实力较强．