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1、2022年高考数学考点分类自测 平面向量基本定理及坐标表示 理
一、选择题
1．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a 共线，那么a·b的值为
( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，则＝ ( )
A．b－a B．b＋a
C．a＋b D． a－b
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c则
λ＝( )
A. B.
C．1
2、 D．2
4．已知向量a＝(1,1－cos θ)，b＝(1＋cos θ，)，且a∥b，
则锐角θ等于( )
A．30° B．45°C．60° D．75°
5．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，μ∈R，那么A、B、C三点共线的充要条件为( )
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1C．λμ＝－1 D．λμ＝1
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b， c，m＝(b－c，cos C)，n＝(a，cos A)，m∥n，则cos A的值等于( )
A. B.
C. D.二
3、、填空题
7．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值等于________．
8．在△ABC中，＝a，＝b，M是CB的中点，N是AB的中点，且CN、AM交于点P，则＝_______(用a，b表示)．
9．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
三、解答题
10．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，λ∈R，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，求λ.
11．已知P为△ABC内一点，且3＋4＋5＝0.延长AP交BC于点D，若＝a，＝b，用a、b表示向量、.
4、
12．已知O为坐标原点， A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2.
(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线；
(3)若t1＝a2，求当⊥且△ABM的面积为12时a的值．
详解答案
一、选择题
1．解析：依题意得a＋b＝(3，k＋2)．由a＋b与a共线，得1×(k＋2)－3×k＝0，由此解得k＝1，a·b＝2＋2k＝4.
答案：D
2．解析： ＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a.
答案：A
3．解析：可得a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c得(1＋λ)×4－
5、3×2＝0，∴λ＝
答案：B4．解析：∵a∥b，∴(1－cos θ)(1＋cos θ)＝.
即sin2θ＝，又∵θ为锐角，
∴sin θ＝，θ＝45°.
答案：B
5．解析：∵＝λa＋b，＝a＋μb，
且A、B、C三点共线．
∴存在实数m，使＝m，即
λa＋b＝m(a＋μb)
∴，∴λμ＝1.
答案：D
6．解析：m∥n⇒(b－c)cos A－acos C＝0，再由正弦定理得sin BcosA＝sin Ccos A＋cos Csin A⇒
sin Bcos A＝sin(C＋A)＝sin B，即cos A＝.
答案：C
二、填空题
7．解析：＝(a－2，－2)，＝(
6、－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.
答案：
8．解析：如图所示，＝＋＝－＋＝－＋× (＋)＝－＋＋＝－＋＝－a＋b.
答案：－a＋b
9．解析：由已知a＋b＝(1，m－1)，c＝(－1,2)，
由(a＋b)∥c得1×2－(m－1)×(－1)＝m＋1＝0，
所以m＝－1.
答案：－1
三、解答题
10．解：λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)，
又向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，
所以－7(λ＋2)－(－4)(2λ＋3)＝0，解得λ＝2.
11．解：∵＝－
＝－a，＝－＝－b，
又3＋4＋5＝0，
∴3＋
7、4(－a)＋5(－b)＝0，
化简，得＝a＋b.
设＝t (t∈R)，则＝ta＋tb.①
又设＝k (k∈R)，由＝－＝b－a，得
＝k(b－a)．而＝＋＝a＋，
∴＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb.②
由①②，得t＝1－k，t＝k解得t＝.
代入①，有＝a＋b.
12．解：(1) ＝t1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2，2t1＋4t2)．
当点M在第二或第三象限时，有4t2＜0,2t1＋4t2≠0
故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0.
(2)证明：当t1＝1时，由(1)知＝(4t2,4t2＋2)．
∵＝－＝(4,4)，
＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2，
∴不论t2为何实数，A、B、M三点共线．
(3)当t1＝a2时，＝(4t2,4t2＋2a2)．
又∵＝(4,4)，⊥，
∴4t2×4＋(4t2＋2a2)×4＝0，∴t2＝－a2.
∴＝(－a2，a2)．
又∵||＝4，
点M到直线AB：x－y＋2＝0的距离
d＝＝|a2－1|.
∵S△ABM＝12，
∴||·d＝×4×|a2－1|＝12，解得a＝±2，故所求a的值为±2.
2022年高考数学考点分类自测 平面向量基本定理及坐标表示 理
