2022年高考数学大二轮总复习 增分策略 专题三 三角函数 解三角形与平面向量 第2讲 三角变换与解三角形试题

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1、2022年高考数学大二轮总复习 增分策略 专题三 三角函数 解三角形与平面向量 第2讲 三角变换与解三角形试题 1．(xx·课标全国Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于(　　) A．－ B. C．－ D. 2．(xx·福建)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________． 3．(xx·重庆)在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________. 4．(xx·江苏)若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________． 正弦定理和余

2、弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算；2.三角形形状的判断；3.面积的计算；4.有关的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视． 热点一　三角恒等变换 1．三角求值“三大类型” “给角求值”、“给值求值”、“给值求角”． 2．三角函数恒等变换“四大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等； (2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍

3、角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦． 例1　(1)已知sin(α＋)＋sin α＝－，－<α<0，则cos(α＋)等于(　　) A．－ B．－ C. D. (2)(xx·课标全国Ⅰ)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tan α＝，则(　　) A．3α－β＝ B．2α－β＝ C．3α＋β＝ D．2α＋β＝ 思维升华　(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出

4、现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解． 跟踪演练1　(1)(xx·重庆)若tan α＝2tan ，则等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)－等于(　　) A．4 B．2 C．－2 D．－4 热点二　正弦定理、余弦定理 (1)正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2Rsin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等． (2)余弦定理：在△ABC中， a2＝b2＋c2－2bccos A； 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A

5、，cos A＝. 例2　(xx·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍． (1)求； (2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长． 　 　 　 　 　 　 　 思维升华　关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口． 跟踪演练2　(1)(xx·课标全国Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围

6、是________________． (2)(xx·江西)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　) A．3 B. C. D．3 热点三　解三角形与三角函数的综合问题 解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状． 例3　(xx·山东)设f(x)＝sin xcos x－cos2. (1)求f(x)的单调区间； (2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值． 　 　 　

7、　 　 思维升华　解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求． 跟踪演练3　已知函数f(x)＝2cos (cos－sin)，在△ABC中，有f(A)＝＋1. (1)若a2－c2＝b2－mbc，求实数m的值； (2)若a＝1，求△ABC面积的最大值． 　 　 　 　 　 1．在△ABC中，BC＝1，B＝，△ABC的面积S＝，则sin C等于(　　) A. B. C. D. 2．已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx－cos2ωx(ω>0)的最小正周期为. (1

8、)求ω的值； (2)在△ABC中，sin B，sin A，sin C成等比数列，求此时f(A)的值域． 　 　 　 二轮专题强化练 专题三 第2讲　三角变换与解三角形 A组　专题通关 1．已知α∈(，π)，sin(α＋)＝，则cos α等于(　　) A．－ B. C．－或 D．－ 2．已知函数f(x)＝4sin(＋)，f(3α＋π)＝，f(3β＋)＝－，其中α，β∈[0，]，则cos(α－β)的值为(　　) A. B. C. D. 3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝as

9、in A，则△ABC的形状为(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 4．(xx·广东)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝且b

10、为3，b－c＝2，cos A＝－，则a的值为________． 8.如图，在一个塔底的水平面上的点A处测得该塔顶P的仰角为θ，由点A向塔底D沿直线行走了30 m到达点B，测得塔顶P的仰角为2θ，再向塔底D前进10 m到达点C，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔PD的高度为________m. 9．(xx·安徽皖南八校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B＝，且(a－b＋c)(a＋b－c)＝bc. (1)求cos C的值； (2)若a＝5，求△ABC的面积． 10．已知f(x)＝2sin(x－)－，现将f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位

11、长度，得到函数g(x)的图象． (1)求f()＋g()的值； (2)若a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a＋c＝4，且当x＝B时，g(x)取得最大值，求b的取值范围． B组　能力提高 11．(xx·成都新都一中月考)若α∈(0，)，则的最大值为________． 12．(xx·湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m. 13．在△ABC中，向量，的夹角为120°，＝

12、2，且AD＝2，∠ADC＝120°，则△ABC的面积等于________． 14．(xx·四川)如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角． (1)证明：tan ＝； (2)若A＋C＝180°，AB＝6，BC＝3，CD＝4，AD＝5，求tan ＋tan ＋tan ＋tan 的值． 学生用书答案精析 第2讲　三角变换与解三角形 高考真题体验 1．D　[sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.] 2．2 解析　如图所示，在△A

13、BC中，由正弦定理得＝，解得sin B＝1，所以B＝90°，所以S△ABC＝×AB×2＝××2＝2. 3. 解析　由正弦定理得＝， 即＝，解得sin∠ADB＝，∠ADB＝45°，从而∠BAD＝15°＝∠DAC，所以C＝180°－120°－30°＝30°，AC＝2ABcos 30°＝. 4. 解析　由sin A＋sin B＝2sin C， 结合正弦定理得a＋b＝2c. 由余弦定理得cos C＝ ＝ ＝ ≥＝， 故≤cos C<1，且3a2＝2b2时取“＝”． 故cos C的最小值为. 热点分类突破 例1　(1)C　(2)B 解析　(1)∵sin(α＋)＋sin α＝

14、－，－<α<0， ∴sin α＋cos α＝－， ∴sin α＋cos α＝－， ∴cos(α＋)＝cos αcos－sin αsin ＝－cos α－sin α＝. (2)由tan α＝得＝， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(－α)． ∵α∈(0，)，β∈(0，)， ∴α－β∈(－，)，－α∈(0，)， ∴由sin(α－β)＝sin(－α)，得α－β＝－α， ∴2α－β＝. 跟踪演练1　(1)C　(2)D 解析　(1) ＝＝ ＝＝ ＝＝3. (2)－＝－ ＝＝ ＝＝－4， 故选D.

15、例2　解　(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD， S△ADC＝AC·ADsin∠CAD. 因为S△ABD＝2S△ADC， ∠BAD＝∠CAD， 所以AB＝2AC. 由正弦定理可得 ＝＝. (2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC， 所以BD＝. 在△ABD和△ADC中，由余弦定理知 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB， AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC. 故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6， 由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1. 跟踪演练2　(1)(－，＋)　(2)C 解析　(1)如图所示，延长BA与C

16、D相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BF

17、kπ≤x≤＋kπ，k∈Z； 由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z， 可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)； 单调递减区间是(k∈Z)． (2)由f＝sin A－＝0，得sin A＝， 由题意知A为锐角，所以cos A＝. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， 可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc， 即bc≤2＋，且当b＝c时等号成立． 因此bcsin A≤. 所以△ABC面积的最大值为. 跟踪演练3　解　(1)f(x)＝2cos(·cos－sin)＝2cos2－2sin·cos＝＋cos x－sin x ＝＋2sin(－x)，

18、 由f(A)＝＋1，可得＋2sin(－A)＝＋1， 所以sin(－A)＝. 又A∈(0，π)，所以－A∈(－，)， 所以－A＝，即A＝. 由a2－c2＝b2－mbc及余弦定理，可得＝＝cos A＝， 所以m＝. (2)由(1)知cos A＝，则sin A＝， 又＝cos A＝， 所以b2＋c2－a2＝bc≥2bc－a2， 即bc≤(2＋)a2＝2＋， 当且仅当b＝c时等号成立， 所以S△ABC＝bcsin A≤， 即△ABC面积的最大值为. 高考押题精练 1．D　[因为在△ABC中，BC＝1，B＝，△ABC的面积S＝，所以S△ABC＝BC·BA·sin B＝，即×1

19、×BA×＝，解得BA＝4.又由余弦定理，得AC2＝BC2＋BA2－2BC·BA·cos B，即得AC＝，由正弦定理，得＝， 解得sin C＝.] 2．解　(1)f(x)＝sin 2ωx－(cos 2ωx＋1)＝sin(2ωx－)－，因为函数f(x)的周期为T＝＝， 所以ω＝. (2)由(1)知f(x)＝sin(3x－)－， 易得f(A)＝sin(3A－)－. 因为sin B，sin A，sin C成等比数列， 所以sin2A＝sin Bsin C， 所以a2＝bc， 所以cos A＝＝≥＝(当且仅当b＝c时取等号)， 因为0

20、 所以－

21、n(β＋π)＝－， 所以sin β＝. 又β∈[0，]， 所以cos β＝. 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.] 3．B　[由bcos C＋ccos B＝asin A， 得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，所以sin A＝1，由0

22、ccos B＝，即cos B＝， 由余弦定理， 得cos B＝＝⇒a2＋c2－b2＝1， 所以tan B＝＝2－，故选D.] 6. 解析　＝＝＝＝. 7．8 解析　∵cos A＝－，0＜A＜π， ∴sin A＝， S△ABC＝bcsin A＝bc× ＝3，∴bc＝24， 又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52， 由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A ＝52－2×24×＝64， ∴a＝8. 8．15 解析　依题意有PD⊥AD，BA＝30 m，BC＝10 m， ∠PAD＝θ，∠PBD＝2θ，∠PCD＝4θ， 所以∠APB＝∠PBD－

23、∠PAD＝θ＝∠PAD. 所以PB＝BA＝30 m. 同理可得PC＝BC＝10 m. 在△BPC中，由余弦定理，得 cos 2θ＝＝， 所以2θ＝30°，4θ＝60°. 在△PCD中，PD＝PC×sin 4θ＝10×＝15(m)． 9．解　(1)由(a－b＋c)(a＋b－c)＝bc可得a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝bc， 所以a2＝b2＋c2－bc， 所以cos A＝＝， 所以sin A＝＝， 所以cos C＝－cos(A＋B)＝－(cos Acos B－sin Asin B)＝－(×－×)＝. (2)由(1)可得sin C＝＝， 在△ABC中，由正弦

24、定理＝＝， 得c＝＝8， ∴S＝acsin B＝×5×8×＝10. 10．解　(1)因为g(x)＝2sin[(x＋)－]－＋＝2sin(x＋)， 所以f()＋g()＝2sin(－)－＋2sin＝1. (2)因为g(x)＝2sin(x＋)， 所以当x＋＝＋2kπ(k∈Z)， 即x∈＋2kπ(k∈Z)时，g(x)取得最大值． 因为x＝B时g(x)取得最大值， 又B∈(0，π)，所以B＝. 而b2＝a2＋c2－2accos＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝16－3ac≥16－3·()2＝16－12＝4， 所以b≥2.又b

25、 11. 解析　∵α∈(0，)， ∴＝＝且tan α>0， ∴＝≤＝， 故的最大值为. 12．100 解析　在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，由正弦定理得＝，即＝，所以BC＝300.在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝BCtan∠CBD＝300·tan 30°＝100. 13．2 解析　在△ABC中，因为∠ADC＝120°，所以∠ADB＝60°， 因为向量，的夹角为120°， 所以∠B＝60°，所以△ADB为等边三角形． 因为AD＝2，所以AB＝BD＝2. 因为＝2，所以点D为BC的中点， 所以BC＝4，所以△ABC

26、的面积S△ABC＝BA·BC·sin B＝×2×4×sin 60°＝2. 14．(1)证明　tan ＝ ＝＝. (2)解　由A＋C＝180°，得C＝180°－A，D＝180°－B， 由(1)，有tan ＋tan ＋tan ＋tan ＝＋＋＋ ＝＋. 连接BD， 在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A， 在△BCD中，有BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C， 所以AB2＋AD2－2AB·ADcos A＝BC2＋CD2＋2BC·CDcos A， 则cos A ＝ ＝＝， 于是sin A＝＝ ＝. 连接AC，同理可得 cos B＝ ＝＝， 于是sin B＝＝ ＝. 所以tan ＋tan ＋tan ＋tan ＝＋ ＝＋ ＝.