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1、2022年高考数学专题复习 第18讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式练习 新人教A版
[考情展望] 1.利用同角三角函数的基本关系求三角函数值.2.借助诱导公式化简三角函数式，进而求三角函数值．
一、同角三角函数的基本关系
1．平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
2．商数关系：tan α＝(α≠＋kπ，k∈Z)．
二、六组诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cos_α
cos_α
余弦
cos α
－cos
2、_α
cos_α
－cos_α
sin_α
－sin_α
正切
tan α
tan_α
－tan_α
－tan_α
诱导公式记忆口诀
对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
1．已知cos(α－π)＝－，且α是第四象限角，则sin α＝( )
A．－ B. C. D．±
【解析】 ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，
3、∴cos α＝，又α是第四象限角，
∴sin α＜0，则sin α＝－＝－.
【答案】 A
2．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ等于( )
A．－ B．－
C. D.
【解析】 由sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)得
－sin θ＝－cos θ，
∴tan θ＝，又|θ|＜，∴θ＝，故选D.
【答案】 D
3．sin 585°的值为( )
A．－ B. C．－ D.
【解析】 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－.
【答案】 A
4．若c
4、os α＝－且α∈，则tan α＝( )
A. B. C．－ D．－
【解析】 ∵cos α＝－，且α∈，
∴sin α＝－＝－＝－，
∴tan α＝＝.
【答案】 B
5．(xx·辽宁高考)已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则sin 2α＝( )
A．－1 B．－ C. D．1
【解析】 因为sin α－cos α＝，所以1－2sin αcos α＝2，
即sin 2α＝－1.
【答案】 A
6．(xx·广东高考)已知sin＝，那么cos α＝( )
A．－ B．－ C. D.
【解析】 sin＝cos α，故cos α＝，故
5、选C.
【答案】 C
考向一 [050] 同角三角函数关系式的应用
(1)已知＝5，则sin2α－sin αcos α的值是( )
A. B．－ C．－2 D．2
(2)(xx·嘉兴模拟)已知α∈，tan α＝2，则cos α＝________.
【思路点拨】 (1)先根据已知条件求得tan α，再把所求式变为用tan α表示的式子求解；
(2)切化弦，结合sin2α＋cos2α＝1求解．
【尝试解答】 (1)由＝5，得＝5，即tan α＝2.
所以sin2α－sin αcos α＝＝＝.
(2)依题意得
由此解得cos2α＝；
又α∈(π，)，因此
6、cos α＝－.
【答案】 (1)A (2)－
规律方法1 1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化.
2.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
对点训练 (1)(xx·汕头模拟)若tan α＝2，则的值为( )
A．0 B. C．1 D.
(2)若α∈，且sin α＝，则tan α＝________.
【解析】 (1)∵tan α＝2，
∴＝＝＝.
(2)∵α∈，sin α＝，
∴cos α＝－＝－，
∴tan α＝
7、＝－.
【答案】 (1)B (2)－
考向二 [051] 诱导公式的应用
(1)sin 600°＋tan 240°的值等于( )
A．－ B. C.－ D.＋
(2)若sin＝，则cos等于( )
A．－ B．－ C. D.
(3)(xx·潍坊模拟)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2x－y＝0上，则＝( )
A．－2 B．2 C．0 D.
【思路点拨】 (1)直接利用诱导公式化简．
(2)分析角“－α”与“＋α”间的关系．
(3)先求tan θ的值，再对原式化简，代入求值便可．
【尝试解答】 (1)sin 600
8、°＋tan 240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)
＝sin(180°＋60°)＋tan 60°
＝－sin 60°＋tan 60°＝－＋＝.
(2)cos＝cos＝sin＝.
(3)由题意可知tan θ＝2.
故＝
＝＝＝2.
【答案】 (1)B (2)C (3)B
规律方法2 1.利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在的关系，选择恰当的公式，向所求角和三角函数进行化归.
2.诱导公式的应用原则：负化正、大化小、小化锐、锐求值.
考向三 [052] sin α±cos α与sin α·cos α的关系
(xx·昌平模拟
9、)已知－π＜x＜0，sin x＋cos x＝.
(1)求sin x－cos x的值；
(2)求的值．
【思路点拨】 (1)利用平方关系，设法沟通sin x－cos x与sin x＋cos x的关系；(2)先利用倍角公式、商数关系式化为角x的弦函数，再设法将所求式子用已知表示出来．
【尝试解答】 (1)法一：由sin x＋cos x＝，平方得
sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，
整理得2sin xcos x＝－.
∵(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝.
又∵－π＜x＜0，
∴sin x＜0，又sin x＋cos x＞0，
∴cos x＞
10、0，sin x－cos x＜0，
故sin x－cos x＝－.
所以sin x－cos x＝－法二：由法一可知sin xcos x＝－＜0，
又－π＜x＜0，所以sin x＜0，cos x＞0，
联立得
－＝－.
(2)＝
＝＝＝－.
规律方法3 1.第(1)问应注意x的范围对sin x－cos x的符号的影响.事实上根据条件可进一步判定x∈.
2.对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求，转化公式为(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，体现了方程思想的应用.
对点训练
11、(xx·威海模拟)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则tan θ的值为( )
A．－或－ B．－
C．－ D．－
【解析】 法一 由sin θ＋cos θ＝两边平方得，
sin θcos θ＝－，
由sin θ·cos θ＝＝＝－，
解得tan θ＝－或tan θ＝－，
∵θ∈(0，π)，0＜sin θ＋cos θ＝(－1)＜1，
∴θ∈，|sin θ|＞|cos θ|，∴|tan θ|＞1，
即θ∈.
∴tan θ＜－1，
∴tan θ＝－舍去，
故tan θ＝－.
法二：由sin θ＋cos θ＝，两边平方得
sin θ·cos θ＝－，
12、
∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ
＝1＋＝＝2.
∵θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝(－1)＜1，
∴θ∈，sin θ－cos θ＞0，∴sin θ－cos θ＝.
由
解得
∴tan θ＝－.
【答案】 C
易错易误之七 拨云见日——三角函数式中“角范围”的信息提取
———— [1个示范例] ———— [1个防错练] ————
(xx·大纲全国卷)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α＝( )
A．－ B．－ C. D.
【解析】 ∵sin α＋cos α＝，
∴(sin α＋co
13、s α)2＝，
∴2sin αcos α＝－，即sin 2α＝－.
又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝>0，
此处在求解中，分析不出“sin α＋cos α＝＞0”这个隐含信息，导致后面的“α”范围无法确定，进而影响后面的解答.
∴2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，
∴4kπ＋π<2α<4kπ＋π(k∈Z)，
∴2α为第三象限角，
∴cos 2α＝－＝－.
【防范措施】 (1)由sin α＋cos α＝，隐含着sin α＋cos α＞0，即sin α＞－cos α，结合α为第二象限角可进一步约束角α的范围.
(2)利用平方关系求三角函数值，开方时应注意三角函数值符号的判断.
若sin θ，cos θ是关于x的方程5x2－x＋a＝0(a是常数)的两根，θ∈(0，π)，则cos 2θ的值为________．
【解析】 由题意可知，sin θ＋cos θ＝，
∴(sin θ＋cos θ)2＝，
∴sin 2θ＝－.
即2sin θcos θ＝－＜0，则sin θ与cos θ异号，
又sin θ＋cos θ＝＞0，
∵＜θ＜.
∴π＜2θ＜，
故cos 2θ＝－＝－.
【答案】 －
2022年高考数学专题复习 第18讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式练习 新人教A版
