2022年高考数学二轮复习 专题1 高考客观题常考知识 第4讲 算法、推理及创新性问题 文

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1、2022年高考数学二轮复习 专题1 高考客观题常考知识 第4讲 算法、推理及创新性问题 文 　　　　 　　　　　　　 　　　　　　 　　 以命题的推广给出的归纳、类比创新问题 1.(xx福建省泉州五校高三联考)双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1,F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为(1,3].若将其中的条件“|PF1|=2|PF2|”更换为“|PF1|=k|PF2|,k>0且k≠1”,试经过合情推理,得出双曲线离心率的取值范围是　　　　.  解析:若|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为(1,3],区间前端点为1,后端点

2、为3==. 若将其中的条件“|PF1|=2|PF2|”更换为“|PF1|=k|PF2|,k>0且k≠1”,经过合情推理,得出双曲线离心率的取值范围是(1, ]. 答案: (1, ] 2.观察下列不等式1+<, 1++<, 1+++<, …… 照此规律,第五个不等式为　　　　　　　　　　.  解析:不完全归纳: 第一个:1+<, 第二个:1++<, 第三个:1+++<, … 归纳猜想:第n个:1+++…+<, 故n=5时,1+++…+<. 答案:1+++++< 以新定义给出的创新问题 3.(xx安徽省“江淮十校协作体”第一次联考)设函数f(x)的定义域为D,若∀

3、x∈D,∃y∈D,使得f(y)=-f(x)成立,则称函数f(x)为“美丽函数”.下列所给出的五个函数: ①y=x2;②y=;③f(x)=ln(2x+3);④y=2x+3; ⑤y=2sin x-1. 其中是“美丽函数”的序号有　　　　　 .  解析:由题意知“美丽函数”即为值域关于原点对称的函数,容易判断仅有②③④符合题意. 答案: ②③④ 4.(xx安徽卷)若直线l与曲线C满足下列两个条件: (ⅰ)直线l在点P(x0,y0)处与曲线C相切;(ⅱ)曲线C在点P附近位于直线l的两侧,则称直线l在点P处“切过”曲线C. 下列命题正确的是　　　　.(写出所有正确命题的编号)  ①直线

4、l:y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=x3 ②直线l:x=-1在点P(-1,0)处“切过”曲线C:y=(x+1)2 ③直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=sin x ④直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=tan x ⑤直线l:y=x-1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y=ln x 解析:①y=x3,y′=3x2,因此曲线C在点P(0,0)处的切线为y=0,结合函数y=x3的图象知,满足(ⅱ),故①正确. ②直线x=-1为曲线C:y=(x+1)2的对称轴,不是切线,故②不正确. ③y=sin x,y′=(sin x)′=cos x,因此,

5、直线l:y=x在点P(0,0)处与曲线C相切,结合图象知满足(ⅱ),故③正确. ④y=tan x,y′=(tan x)′=()′=,y′|x=0=1,曲线C在(0,0)处的切线为y=x,由正切函数图象知满足(ⅱ),故④正确. ⑤y=ln x,y′=(ln x)′=,故曲线C:y=ln x在P(1,0)处的切线为y=x-1,但曲线y=ln x在直线y=x-1的同侧,故⑤不正确.综上知命题正确的是①③④. 答案:①③④ 5.(xx湖北卷)设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0.对任意a>0,b>0,若经过点(a,f(a)),(b,-f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),

6、则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为Mf(a,b).例如,当f(x)=1(x>0)时,可得Mf(a,b)=c=,即Mf(a,b)为a,b的算术平均数. (1)当f(x)=　　　　(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数;  (2)当f(x)=　　　　(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数.  (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 解析:过点(a,f(a)),(b,-f(b))的直线的方程为y-f(a)=(x-a),令y=0得c=. (1)令几何平均数=⇒f(a)+f(b)=bf(a)+af(b),可取f(x)=(x>0); (2)令调和平均数=⇒=

7、,可取f(x)=x(x>0). 答案:(1)　(2)x(或(1)k1　(2)k2x其中k1,k2为正常数均可) 6.设f(x)的定义域为D,若f(x)满足条件:存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域是[,],则称f(x)为“倍缩函数”.若函数f(x)=ln(ex+t)为“倍缩函数”,则t的范围是(　D　) (A)(,+∞) (B)(0,1) (C)(0, ) (D)(0, ) 解析:因为函数f(x)=ln(ex+t)为“倍缩函数”,所以存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域是[,], 因为函数f(x)=ln(ex+t)为增函数, 所以即 即方程ex-+

8、t=0有两个不等的正根, 即解得t的范围是(0, ). 程序框图 7.(xx广州市一模)一算法的程序框图如图,若输出的y=,则输入的x的值可能为(　C　) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)5 解析:该算法的程序框图是一条件结构,功能是已知分段函数y=的函数值求相应的自变量x的值.当x>2时y=2x>4,若输出的y=, 则sin x=,可得x=1时符合.故选C. 8.(xx天津卷)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为(　C　) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:第一次执行,i=1,S=10-1=9;第二次执行,i=2,S=9-2

9、=7;第三次执行,i=3,S=7-3=4;第四次执行,i=4,S=4-4=0,满足条件,则退出循环,所以输出i的值为4.故选C. 9.(xx山西省高三名校联盟考试)利用如图所示的程序框图在平面直角坐标系上打印一系列点,则打印的点落在函数f(x)=x2-x+2的图象上的点的个数为(　B　) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:运行该程序,第一次打印点为(-3,6),不在抛物线y=x2-x+2上,x=-2,y=5, i=5,第二次打印点为(-2,5),不在抛物线y=x2-x+2上;x=-1,y=4,i=4,第三次打印点为(-1,4),在抛物线y=x2-x+2上;x=0,y=3

10、,i=3,第四次打印点为(0,3),不在抛物线y=x2-x+2上;x=1,y=2,i=2,第五次打印点为(1,2),在抛物线y2=x2-x+2上;x=2,y=1,i=1,第六次打印点为(2,1),不在抛物线y=x2-x+2上;x=3,y=0,i=0,程序停止运行,故打印的点落在抛物线y=x2-x+2上的点的个数为2.故选B. 10.(xx重庆卷)执行如图所示的程序框图,若输出k的值为6,则判断框内可填入的条件是(　C　) (A)s> (B)s> (C)s> (D)s> 解析:执行程序框图依次得 s=,k=8; s=×=,k=7; s=×=,k=6, 此时不满足条件,结合选

11、项知条件应为s>. 故选C. 　　　　 　　　　　　　 　　　　　　 　　 一、选择题 1.(xx湖南衡阳市五校联考)对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d)规定(a,b)= (c,d)当且仅当a=c,b=d;运算“⊗”为:(a,b)⊗(c,d)=(ac-bd,bc+ad),运算“⊕”为:(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d),设p,q∈R,若(1,2)⊗(p,q)=(5,0),则(1,2)⊕(p,q)等于(　A　) (A)(2,0) (B)(4,0) (C)(0,2) (D)(0,-4) 解析:由(1,2)⊗(p,q)=(5,0)得⇒ 所以(1,2)⊕(p,q)=(

12、1,2)⊕(1,-2)=(2,0),故选A. 2.(xx湖北卷)设x∈R,定义符号函数sgn x=则(　D　) (A)|x|=x|sgn x| (B)|x|=xsgn |x| (C)|x|=|x|sgn x (D)|x|=xsgn x 解析:当x>0时,|x|=x,sgn x=1,则|x|=xsgn x; 当x<0时,|x|=-x,sgn x=-1,则|x|=xsgn x; 当x=0时,|x|=x=0,sgn x=0,则|x|=xsgn x,故选D. 3.(xx四川卷)执行如图所示的程序框图,输出S的值为(　D　) (A)- (B) (C)- (D) 解析:根据题中程序框

13、图,可知k=1,k=1+1=2<4,k=2+1=3<4,k=3+1=4,k=4+1=5>4, S=sin =. 故输出S的值为.故选D. 4.(xx福建卷)在平面直角坐标系中,两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L距离”定义为||P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|,则平面内与x轴上两个不同的定点F1,F2的“L距离”之和等于定值(大于||F1F2|)的点的轨迹可以是(　A　) 解析:设P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),c>0, 则||F1F2|=2c, 依题意,得||PF1|+||PF2|=2d(d为常数且d>c), 所以|x+c|+|y-0

14、|+|x-c|+|y-0|=2d, 即|x+c|+|x-c|+2|y|=2d. ①当-c≤x≤c时,x+c+c-x+2|y|=2d, 即y=±(d-c); ②当x<-c时,-(x+c)+c-x+2|y|=2d, 即x±y+d=0; ③当x>c时,(x+c)+x-c+2|y|=2d, 即x±y-d=0. 画出以上三种情形的图象,即可知选项A正确. 故选A. 5.(xx福建卷)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为(　C　) (A)2 (B)1 (C)0 (D)-1 解析:执行程序:i=1,S=0;S=cos =0,i=2;S=0+cos π=-1,i=

15、3;S=-1+cos =-1, i=4;S=-1+cos =0,i=5;S=0+cos =0,i=6,满足i>5,退出循环,输出的结果为0,故选C. 6.(xx广东卷)对任意复数ω1,ω2,定义ω1*ω2=ω1,其中是ω2的共轭复数,对任意复数z1,z2,z3有如下四个命题: ①(z1+z2)*z3=(z1*z3)+(z2*z3); ②z1*(z2+z3)=(z1*z2)+(z1*z3); ③(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3); ④z1*z2=z2*z1. 则真命题的个数是(　C　) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 解析:由共轭复数的定义知=+,=·z2,

16、根据题中定义ω1*ω2=ω1知 ①(z1+z2)*z3=(z1+z2)·=z1+z2 =(z1*z3)+(z2*z3), 故①正确. ②z1*(z2+z3)=z1()=z1(+) =z1+z1=(z1*z2)+(z1*z3), 故②正确. ③z1*z2=z1,z2*z3=z2, 因此(z1*z2)*z3=(z1)*z3=z1 , z1*(z2*z3)=z1*(z2)=z1()=z1z3, 显然当且仅当z3为实数时有(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3)成立,故③错. ④z1*z2=z1,z2*z1=z2,显然对任意复数z1,z2,z1=z2不一定成立,故④错. 综上

17、知四个命题中真命题的个数为2个.故选C. 7.(xx资阳市一诊)若执行如图所示的程序框图,输出S的值为3,则判断框中应填入的条件是(　C　) (A) k<6? (B) k<7? (C) k<8? (D) k<9? 解析:由程序框图可知,第一次循环,S=log23,k=3;第二次循环,S=log23·log34=log24,k=4;第三次循环,S=log24·log45=log25,k=5;……;第六次循环,S=log28=3,k=8,结束循环,输出S=3.故选C. 8.(xx广东茂名市一模)设函数y=f(x)在R上有定义,对于任一给定的正数p,定义函数fp(x)=则称函数fp(x)

18、为 f(x)的“p界函数”.若给定函数f(x)=x2-2x-2,p=1,则下列结论成立的是(　C　) (A)fp[f(0)]=f[fp(0)] (B)fp[f(1)]=f[fp(1)] (C)fp [f(2)]=fp[fp(2)] (D)f[f(-2)]=fp[fp(-2)] 解析:由f(x)≤1,即x2-2x-2≤1, 解得-1≤x≤3, 当p=1时,f1(x)= f1(2)=22-2×2-2=-2,f1(-2)=1, f(2)=22-2×2-2=-2, 则f1[f(2)]=f1(-2)=1, f1 [f1(2)]=f1(-2)=1,故选C. 9.(xx宝鸡二模)已知函数

19、f(x)=[x[x]],其中[x]表示不超过实数x的最大整数,如[-1.01]=-2,[1.99]=1,若-≤x<,则f(x)的值域为(　B　) (A){0,1,2} (B){0,1,2,3} (C){-2,-1,0} (D){-1,0,1,2} 解析:-≤x<-1时,[x]=-2,2

20、B. 10.(xx漳州二模)对于定义域为D的函数y=f(x)和常数C,若对任意正实数ξ,存在x∈D,使得0<|f(x)-C|<ξ恒成立,则称函数y=f(x)为“敛C函数”.现给出如下函数: ①f(x)=x(x∈Z); ②f(x)= ()x+1(x∈Z);③f(x)=log2x; ④f(x)=. 其中为“敛1函数”的有(　C　) (A)①② (B)③④ (C)②③④ (D)①②③ 解析:对于函数①,取ξ=,因为x∈Z,找不到x,使得0<|x-1|<成立,所以函数①不是“敛1函数”; 对于函数②,当x→+∞时, ()x→0,所以()x+1→1,所以对任意的正数ξ,总能找到一个足够大的正

21、整数x,使得0<|f(x)-1|<ξ成立,故函数②是“敛1函数”; 对于函数③,当x→2时,log2x→log22=1,所以对于无论多大或多小的正数ξ,总会找到一个x,使得0<|f(x)-1|<ξ成立,故函数③是“敛1函数”; 对于函数④,函数式可化为y=1-,所以当x→+∞时,→0,即1-→1,所以对于无论多小的正数ξ,总会找到一个足够大的正数x,使得0<|f(x)-1|<ξ成立,故函数④是“敛1函数”. 故选C. 二、填空题 11.(xx福建卷)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于　　　　

22、.  解析:可分下列三种情形:(1)若只有①正确,则a≠2,b≠2,c=0,所以a=b=1与集合元素的互异性相矛盾,所以只有①正确是不可能的;(2)若只有②正确,则b=2,a=2,c=0,这与集合元素的互异性相矛盾,所以只有②正确是不可能的;(3)若只有③正确,则c≠0,a=2,b≠2,所以b=0,c=1,所以100a+10b+c=100×2+10 ×0+1=201. 答案:201 12.设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数y=f(x)满足: (1)T={f(x)|x∈S}; (2)对任意x1,x2∈S,当x1

23、集合“保序同构”,现给出以下3对集合: ①A=N,B=N*; ②A={x|-1≤x≤3},B={x|-8≤x≤10}; ③A={x|0

24、13.(xx安徽皖北协作区一模)已知集合A={(x,y)||x|+2|y|≤4},集合B={ (x,y) | (x-m)2+y2≤},若B⊆A,则实数m的取值范围是　　　　　　　.  解析:由题意,集合A中元素构成一个菱形及其内部,集合B中元素构成一个圆及圆的内部, 如图,因为B⊆A, 所以圆在菱形内部,故只需圆心到菱形边所在的直线的距离大于或等于半径 即可, 即≥,解得m≥-2或m≤-6(舍去). 由对称性可知m≤2,所以实数m∈[-2,2]. 答案:[-2,2] 14.观察下列等式: (1+1)=2×1, (2+1)(2+2)=22×1×3, (3+1)(3+2)

25、(3+3)=23×1×3×5, …… 照此规律,第n个等式可为　　　　.  解析:观察规律知,左边为n项的积,最小项和最大项依次为(n+1),(n+n),右边为连续奇数之积乘以2n,则第n个等式为:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1). 答案:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1) 15.(xx湖北武汉市调考)平面几何中有如下结论:如图1,设O是等腰Rt△ABC底边BC的中点,AB=1,过点O的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q,R,则有+=2.类比此结论,将其拓展到空间有:如图2,设O是正三棱锥ABCD底面BCD的中心,AB,

26、AC,AD两两垂直,AB=1,过点O的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q,R,P,则有　　　　　　　　　　.  解析:设O到各个平面的距离为d,而=S△AQP·AR=··AQ·AP·AR=AQ ·AP·AR, 又因为=++ =S△AQP·d+S△ARP·d+S△AQR·d =(AQ·AP+AR·AP+AQ·AR)d, 所以AQ·AP·AR=(AQ·AP+AR·AP+AQ·AR)d, 即++=, 而=××1×1×1=, 所以==, 即·S△ABD·d=××d=⇒d=, 所以++=3. 答案:++=3 16.(xx福建泉州五校联考)对于三次函数f(x)=

27、ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数f(x)=x3-x2+3x-,请你根据这一发现,计算f()+f()+ f()+…+f()=　　　　. 解析:f′(x)=x2-x+3,由f″(x)=2x-1=0得x0=,f(x0)=1,则(,1)为y=f(x)的对称中心, 则f(x)+f(1-x)=2f()=2, 则f()+f()+f()+…+f()=xx. 答案:xx