2022年高中数学 第三章 第一课时 两角和与差的余弦教案 苏教版必修3

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1、2022年高中数学 第三章 第一课时 两角和与差的余弦教案 苏教版必修3 教学目标： 掌握两角和与差的余弦公式，能用公式进行简单的求值；培养学生的应用意识，提高学生的数学素质. 教学重点： 余弦的差角公式及简单应用 教学难点： 余弦的差角公式的推导 教学过程： Ⅰ.课题导入 在前面咱们共同学习了任意角的三角函数，在研究三角函数时，我们还常常会遇到这样的问题：已知任意角α、β的三角函数值，如何求α＋β、α－β或2α的三角函数值?即：α＋β、α－β或2α的三角函数值与α、β的三角函数值有什么关系? Ⅱ.讲授新课 接下来，我们继续考虑如何把两角差的余弦cos（α－β）用α、β的

2、三角函数来表示的问题. 在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角α、β，其终边分别与单位圆交于P1（cosα，sinα）、P2（cosβ，sinβ），则∠P1OP2＝α－β.由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑0≤α－β＜π的情况. 设向量a＝＝（cosα，sinα），b＝＝（cosβ，sinβ），则： a·b＝︱a︱︱b︱cos （α－β）＝cos （α－β） 另一方面，由向量数量积的坐标表示，有 a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ 所以：cos （α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ （C（α－β）） 两角和的余

3、弦公式对于任意的角α、β都是成立的，不妨，将此公式中的β用－β代替，看可得到什么新的结果? cos ［α－（－β）］ ＝cos αcos （－β）－sinαsin（－β） ＝cos αcos β－sinαsinβ 即：cos （α＋β）＝cos αcos β－sinαsinβ （C（α＋β）） 请同学们观察这一关系式与两角差的余弦公式，看这两式有什么区别和联系? (1)这一式子表示的是任意两角α与β的差α－β的余弦与这两角的三角函数的关系. (2)这两式均表示的是两角之和或差与这两角的三角函数的关系. 请同学们仔细观察它们各自的特点. (1)两角之和的余弦等

4、于这两角余弦之积与其正弦之积的差. (2)两角之差的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的和. 不难发现，利用这一式子也可求出一些与特殊角有关的非特殊角的余弦值. 如：求cos 15°可化为求cos（45°－30°)或cos（60°－45°）利用这一式子而求得其值. 即：cos 15°＝cos（45°－30°） ＝cos 45°cos 30°＋sin45°sin30° ＝·＋·＝ 或：cos 15°＝cos （60°－45°） ＝cos 60°cos 45°＋sin60°sin45° ＝·＋·＝ 请同学们将此公式中的α用代替，看可得到什么新的结果? cos（－α）＝cosc

5、os α＋sinsinα＝sinα 即：cos（－α）＝sinα 再将此式中的α用－α代替，看可得到什么新的结果. cos［－（－α）］＝cosα＝sin（－α） 即：sin（－α）＝cosα Ⅲ.课堂练习 1.求下列三角函数值 ①cos （45°＋30°）②cos 105° 解：①cos（45°＋30°）＝cos 45°cos 30°－sin45°sin30° ＝·－·＝ ②cos 105°＝cos （60°＋45°）＝cos 60°cos 45°－sin60°sin45° ＝·－·＝ 2.若cos αcos β＝－，cos（α＋β）＝－1，求sinαsinβ. 解

6、：由cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ 得：sinαsinβ＝cosαcosβ－cos（α＋β） 将cosαcosβ＝－，cos（α＋β）＝－1代入上式可得：sinαsinβ＝ 3.求cos 23°cos 22°－sin23°sin22°的值. 解：cos 23°cos 22°－sin23°sin22°＝cos（23°＋22°）＝cos 45°＝ 4.若点P(－3，4)在角α终边上，点Q（－1，－2）在角β的终边上，求cos （α＋β）的值. 解：由点P（－3，4）为角α终边上一点；点Q（－1，－2)为角β终边上一点， 得：cos α＝－，sinα＝；cosβ

7、＝－，sinβ＝－. ∴cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ ＝（－）×（－）－×（－）＝ 5.已知cos（α－β）＝，cos（α＋β）＝－，求：tanα·tanβ的值. 解：由已知cos（α－β）＝，cos（α＋β）＝－ 可得：cos（α－β）＋cos（α＋β）＝－＝ 即：2cosαcosβ＝ ① cos（α－β）－cos（α＋β）＝1 即：2sinαsinβ＝1 ② 由②÷①得＝tanα·tanβ＝ ∴tanα·tanβ的值为. 6.已知cosα－cosβ＝，sinα－sinβ＝－，求：cos （α－β）的值. 解：由已知cosα－cosβ＝

8、得：cos 2α－2cos αcos β＋cos 2β＝ ① 由sinα－sinβ＝－ 得：sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝ ② 由①＋②得：2－2（cosαcosβ＋sinαsinβ）＝ 即：2－2cos（α－β）＝ ∴cos（α－β）＝ Ⅳ.课时小结 两公式的推导及应用. Ⅴ.课后作业 课本P96习题 1，2，3 两角和与差的余弦 1．下列命题中的假命题是 （ ） A.存在这样的α和β的值，使得cos（α＋β）＝cosαcosβ

9、＋sinαsinβ B.不存在无穷多个α和β的值，使得cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ C.对于任意的α和β，都有cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ D.不存在这样的α和β值，使得cos（α＋β）≠cosαcosβ－sinαsinβ 2．在△ABC中，已知cos A·cos B＞sinA·sinΒ，则△ABＣ一定是钝角三角形吗？ 3．已知sinα＋sinβ＝，求cosα＋cosβ的最大值和最小值. 4．已知：α∈（，），β∈（0，），且cos（－α）＝，sin（＋β）＝－

10、 求：cos （α＋β）. 5．已知：α、β为锐角，且cosα＝，cos（α＋β）＝－，求cosβ的值. 6．在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，求cos C的值. 两角和与差的余弦答案 1．B 2．在△ABC中，已知cos A·cos B＞sinA·sinΒ，则△ABＣ一定是钝角三角形吗？ 解：∵在△ABC中，∴0＜C＜π，且A＋B＋C＝π 即：A＋B＝π－C 由已知得cos A·cos B－si

11、nA·sinB＞0，即：cos（A＋B）＞0 ∴cos（π－C）＝－cos C＞0，即cos C＜0 ∴C一定为钝角 ∴△ABC一定为钝角三角形. 3．已知sinα＋sinβ＝，求cosα＋cosβ的最大值和最小值. 分析：令cosα＋cosβ＝x，然后利用函数思想. 解：令cosα＋cosβ＝x，则得方程组： ①2＋②2得2＋2cos (α－β)＝x2＋ ∴cos (α－β)＝ ∵|cos (α－β)|≤1， ∴| |≤1 解之得：－≤x≤ ∴cosα＋cosβ的最大值是，最小值是－. 4．已知：α∈（，），β∈（0，），且cos（－α）＝，sin（＋β）＝－

12、 求：cos （α＋β）. 解：由已知：α∈（，） －α∈（－，－）－α∈（－，0） 又∵cos （－α）＝， ∴sin（－α）＝－ 由β∈（0，）＋β∈（，） 又∵sin（＋β）＝sin［π＋（＋β）］＝－sin（＋β）＝－ 即sin（＋β）＝， ∴cos（＋β）＝ 又（＋β）－（－α）＝α＋β ∴cos（α＋β）＝cos［（＋β）－（－α）］ ＝cos（＋β）cos（－α）＋sin（＋β）sin（－α） ＝×＋×（－）＝－ 5．已知：α、β为锐角，且cosα＝，cos（α＋β）＝－，求cosβ的值. 解：∵0＜α·β＜，∴0＜α＋β＜π 由cos （α＋β

13、）＝－，得sin（α＋β）＝ 又∵cosα＝，∴sinα＝ ∴cosβ＝cos［（α＋β）－α］ ＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sinα ＝（－）×＋×＝ 评述：在解决三角函数的求值问题时，一定要注意已知角与所求角之间的关系. 6．在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，求cos C的值. 分析：本题中角的限制范围就隐含在所给的数字中，轻易忽视，就会致错. 解：由sinA＝＜知0°＜A＜45°或135°＜A＜180°， 又cos B＝＜，∴60°＜B＜90°，∴sinB＝ 若135°＜A＜180°则A＋B＞180°不可能. ∴0°＜A＜45°，即cos A＝. ∴cos C＝－cos（A＋B）＝.