高考数学一轮复习 8-1合情推理与演绎推理检测试题（2）文

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1、高考数学一轮复习 8-1合情推理与演绎推理检测试题（2）文 一、选择题 1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是(　　) A．①　　　　　　　　　 B．② C．③ D．①和② 解析：由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．故选B. 答案：B 2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理(　　) A．结论正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．全不正确 解析：因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确. 答案

2、：C 3．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P­ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝(　　) A. B. C. D. 解析：正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故＝. 答案：D 4．观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n(n≥2，n∈N*)个圆点，第n个图案中圆点的总数是Sn.按此规律推断出Sn与n的关系式为(　　) A．Sn＝2n B．Sn＝4n C．Sn＝2n D．Sn＝4n－4 解析：由n＝2，n＝3，n＝4的图案，推断第n个图案

3、是这样构成的：各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n个圆点，则圆点的个数为Sn＝4n－4. 答案：D 5．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是(　　) A．设数列{an}的前n项和为Sn.由an＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：Sn＝n2 B．由f(x)＝xcosx满足f(－x)＝－f(x)对∀ x∈R都成立，推断：f(x)＝xcosx为奇函数 C．由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，推断：椭圆＋＝1(a＞b＞0)的面积S＝πab D．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n∈N*，(n＋1)2＞2n 解析：

4、选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{an}是等差数列，其前n项和等于Sn＝＝n2，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确．因此选A. 答案：A 6．观察下式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则第n个式子是(　　) A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝n2 B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝(2n－1)2 C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2 解析：方法一：由已知得第n个式子左边为2

5、n－1项的和且首项为n，以后是各项依次加1，设最后一项为m，则m－n＋1＝2n－1，∴m＝3n－2. 方法二：特值验证法．n＝2时，2n－1＝3,3n－1＝5， 都不是4，故只有3n－2＝4，故选C. 答案：C 7．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”； ②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”； ③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”； ④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”； ⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类

6、比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“＝”类比得到“＝”． 以上式子中，类比得到的结论正确的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：①②正确；③④⑤⑥错误． 答案：B 8．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于(　　) A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x) 解析：由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)

7、＝－g(x)． 答案：D 9．已知 ＝2， ＝3， ＝4，…，若 ＝a(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则t－a＝(　　) A．31 B．41 C．55 D．71 解析：观察所给的等式，等号左边是 ， ，，…，等号的右边是2，3，…，则第n个式子的左边是 ，右边是(n＋1)·，故a＝7，t＝72－1＝48.t－a＝41，选B. 答案：B 10．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　) A．28 B．76 C．123 D．199 解析：记an＋bn＝f(n)，

8、则 f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11；f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123. 即a10＋b10＝123. 答案：C 二、填空题 11．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为__________． 解析：由前四个式子可得，第n个不等式的左边应当为f(2n)，右边应当

9、为，即可得一般的结论为f(2n)≥. 答案：f(2n)≥ 12．观察下列等式 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 …… 照此规律，第n个等式为__________． 解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n行最左侧的数为n；每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n行的个数为2n－1.所以第n行数依次是n、n＋1、n＋2、…、3n－2.其和为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2. 答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 13．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的

10、一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O­LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是__________． 解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S＋S＋S＝S. 答案：S＋S＋S＝S 14．对于命题：若O是线段AB上一点，则有||·＋||·＝0.将它类比到平面的情形是： 若O是△ABC内一点，则有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·＝0，将它类比到空间情形应该是：若O

11、是四面体ABCD内一点，则有__________． 解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知若O为四面体ABCD内一点，则有VO­BCD·＋VO­ACD·＋VO­ABD·＋VO­ABC·＝0. 答案：VO­BCD·＋VO­ACD·＋VO­ABD·＋VO­ABC·＝0 三、解答题 15．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°； ②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°； ③sin218°＋cos212°－sin18°

12、cos12°； ④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解析：方法一： (1)选择②式，计算如下： sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝. (2)三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝. 证明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(3

13、0°－α) ＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－ sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα) ＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－ sinαcosα－sin2α ＝sin2α＋cos2α＝. 方法二： (1)同解法一． (2)三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝. 证明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α) ＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα) ＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin

14、2α)－sinαcosα－sin2α ＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α) ＝1－cos2α－＋cos2α＝. 答案：(1)；(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝，证明略． 16．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①②③④所示为她们刺绣的最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多，刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形． ① 　　　②　　　　　　③　　　　　　　④ (1)求出f(5)的值； (2)利用

15、合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式； (3)求＋＋＋…＋的值． 解析：(1)f(5)＝41. (2)f(2)－f(1)＝4＝4×1， f(3)－f(2)＝8＝4×2， f(4)－f(3)＝12＝4×3， f(5)－f(4)＝16＝4×4， … 由上式规律，得f(n＋1)－f(n)＝4n. ∴f(n＋1)＝f(n)＋4n， f(n)＝f(n－1)＋4(n－1) ＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2) ＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4 ＝2n2－2n＋1. (3)

16、当n≥2时，＝＝， ∴＋＋＋…＋ ＝1＋ ＝1＋＝－. 答案：(1)f(5)＝41；(2)f(n＋1)＝f(n)＋4n，f(n)＝2n2－2n＋1；(3)－. 创新试题　教师备选 教学积累　资源共享 教师用书独具 1．某同学在电脑上打上了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是(　　) A．白色　　　　　　　　 B．黑色 C．白色可能性大 D．黑色可能性大 解析：由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为36÷5＝7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，

17、即白色． 答案：A 2．观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52011的末四位数字为(　　) A．3125 B．5625 C．0625 D．8125 解析：5n(n≥5且n∈Z)的后两位数字一定为25，区别在于通过对其后三四位数的观察，55、56、57的后三四位数31、56、81为等差数列，公差为25，由此推{5n}的后两位前的数是以25为公差的等差数列．由公式d＝得＝25(其中a为52011的后两位前的数)，∴a＝50181.故选D. 答案：D 3．[xx·广西月考]下列推理是归纳推理的是(　　) A．由于f(x)＝xcosx满足f

18、(－x)＝－f(x)对∀x∈R都成立，推断f(x)＝xcosx为奇函数 B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜出数列{an}的前n项和的表达式 C．由圆x2＋y2＝1的面积S＝πr2，推断：椭圆＋＝1的面积S＝πab D．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质 解析：由特殊到一般的推理过程，符合归纳推理的定义；由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，符合类比推理的定义；由一般到特殊的推理符合演绎推理的定义．A是演绎推理，C、D为类比推理，只有B，从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理． 答案：B 4．[xx·银川质检]当x

19、∈(0，＋∞)时可得到不等式x＋≥2，x＋＝＋＋2≥3，由此可以推广为x＋≥n＋1，取值p等于(　　) A．nn B．n2 C．n D．n＋1 解析：∵x∈(0，＋∞)时可得到不等式x＋≥2，x＋＝＋＋2≥3，∴在p位置出现的数恰好是不等式左边分母xn的指数n的指数次方，即p＝nn. 答案：A 5．[xx·宝鸡检测]考察下列一组不等式： 将上述不等式在左、右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为__________． 解析：依题意得，推广的不等式为am＋n＋bm＋n>ambn＋anbm(a>0，b>0，a≠b，m>0，n>

20、0)． 答案：am＋n＋bm＋n>ambn＋anbm(a>0，b>0，a≠b，m>0，n>0) 6．[xx·淮北模拟]在计算“＋＋…＋ (n∈N*)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：＝－， 由此得＝－，＝－，…，＝－， 相加，得＋＋…＋＝1－＝. 类比上述方法，请你计算“＋＋…＋(n∈N*)”，其结果为__________． 解析：先改写第n项，＝×＝×＝×， 所以＋＋…＋ ＝ ＝＝. 答案： 7．[xx·张家界模拟]观察：①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝； ②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝. 由上面

21、两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 解析：猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝. 证明：左边＝sin2α＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sinα]＝sin2α＋＝sin2α＋cos2α－sin2α＝＝右边． 所以，猜想是正确的． 8．[xx·广东中山模拟]设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明． 解析：f(0)＋f(1)＝＋ ＝＋ ＝＋ ＝， 同理可得：f(－1)＋f(2)＝， f(－2)＋f(3)＝，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均有f(x1)＋f(x2)＝. 证明：设x1＋x2＝1， f(x1)＋f(x2)＝＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝.