2022年人教A版高中数学 高三一轮 第二章 函数与导数 2-13 定积分与微积分基本定理《教案》

《2022年人教A版高中数学 高三一轮 第二章 函数与导数 2-13 定积分与微积分基本定理《教案》》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年人教A版高中数学 高三一轮 第二章 函数与导数 2-13 定积分与微积分基本定理《教案》（9页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、2022年人教A版高中数学 高三一轮 第二章 函数与导数 2-13 定积分与微积分基本定理《教案》 【教学目标】 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．　 2.了解微积分基本定理的含义. 【重点难点】 1.教学重点：了解定积分的概念及微积分基本定理的含义； 2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力； 【教学策略与方法】 自主学习、小组讨论法、师生互动法 【教学过程】 教学流程 教师活动 学生活动 设计意图

2、 环节二： 考纲传真: 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．　2.了解微积分基本定理的含义. 真题再现; 1．(xx·湖北高考)若函数f(x)，g(x)满足－1f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数．给

3、出三组函数：①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】　①－1f(x)g(x)dx＝－1sinxcosxdx＝－1sin xdx＝＝0，故第①组是区间[－1,1]上的正交函数；②－1f(x)g(x)dx＝－1(x＋1)(x－1)dx＝－1(x2－1)dx＝＝－≠0，故第②组不是区间[－1,1]上的正交函数； ③－1f(x)g(x)dx＝－1x·x2dx＝－1x3dx＝＝0，故第③组是区间[－1,1]上的正交函数．综

4、上，满足条件的共有两组．【答案】　C 2．(xx·天津高考)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________． 【解析】　由得A(1,1)． 故所求面积为S＝∫10(x－x2)dx＝＝. 【答案】　 知识梳理： 知识点1　定积分的概念、几何意义与性质 1．定积分的定义及相关概念 一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

5、数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx. 在f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式． 2．定积分的几何意义 f(x) f(x)dx的几何意义 f(x)≥0 表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积 f(x)<0 表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数 f(x)在[a，b]上有正有负 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积 3.定积分的性质 (1)

6、kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)． (2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx. (3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a

7、x＝[f(x)－g(x)]dx. (2)定积分与变速直线运动的路程及变力做功间的关系， s＝v(t)dt，W＝F(x)dx. 1．必会结论；设函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有 (1)若f(x)是偶函数，则－af(x)dx＝2f(x)dx； (2)若f(x)是奇函数，则－af(x)dx＝0. 2．必知联系 (1)被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分． (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限． (3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负． 考点分项突破 考点一：定积分的计算 1.(xx·江西高

8、考)若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝(　　) A．－1　　　 B．－　　　 C.　　　 D．1 【解析】　∵f(x)＝x2＋2f(x)dx，∴f(x)dx＝＝＋2f(x)dx，∴f(x)dx＝－. 【答案】　B 2．若(2x＋λ)dx＝2(λ∈R)，则λ等于(　　) A．0 B．1 C．2 D．－1 【解析】　(2x＋λ)dx＝(x2＋λx)＝1＋λ＝2，所以λ＝1.【答案】　B 3．设f(x)＝则f(x)dx等于(　　) A. B. C. D. 【解析】　f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx＝x3＋＝＋－＝. 【答案】　C

9、 归纳：计算定积分的步骤 1．把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差． 2．把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分． 3．分别用求导公式找到一个相应的原函数． 4．利用微积分基本定理求出各个定积分的值． 5．计算原始定积分的值． 考点二: 定积分在物理中的应用 (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　) A．1＋25ln 5 B．8＋25ln C．4＋25ln 5 D．4＋50ln

10、 2 (2)设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________J. 【解析】　(1)由v(t)＝7－3t＋＝0，可得t＝4，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s，此期间行驶的距离为v(t)dt＝dt＝＝4＋25ln 5.(2)W＝∫F(x)dx＝∫(x2＋1)dx＝＝342 J. 【答案】　(1)C　(2)342 跟踪训练：1．一物体作变速直线运动，速度和时间关系为v(t)＝(4－t2)m/s，则物体从0秒到4秒运动经过的路程为(　　) A. m B．－ m C．16 m

11、 D．－16 m 【解析】　s＝v(t)dt＝(4－t2)dt＝＝16－＝－ m.【答案】　B 2．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)做的功为(　　) A. J B. J C. J D．2 J 【解析】　依题意可知，(F(x)×cos 30°)dx＝dx＝＝， ∴F(x)做的功为 J.【答案】　C 归纳：定积分在物理中的两个应用 1．求变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝v(t)dt. 2．变力做功：

12、一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝F(x)dx.当力的方向与位移方向不一致时，应求出和位移方向同向的分力，再求其所做的功． 考点三: 利用定积分计算平面图形的面积 ●命题角度1　求平面图形的面积 1．由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的封闭平面图形的面积为________． 【解析】　由xy＝1，y＝3可得交点坐标为.由xy＝1，y＝x可得交点坐标为(1,1)，由y＝x，y＝3得交点坐标为(3,3)，由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成图形的面积为dx＋(3－x)dx＝(3x－ln x)＋＝(3－1－ln

13、3)＋＝4－ln 3.【答案】　4－ln 3 2．(xx·陕西高考) 如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________． 【解析】　建立如图所示的平面直角坐标系，由抛物线过点(0，－2)，(－5,0)，(5,0)，得抛物线的函数表达式为y＝x2－2，抛物线与x轴围成的面积S1＝－5dx＝，梯形面积S2＝＝16.最大流量比为S2∶S1＝1.2.【答案】　1.2 ●命题角度2　根据面积求参数 3．由曲线f(x)＝与y轴及直线y＝m(m>0)围成的图形的面积为，则m的值为(　　) A．2

14、 B．3 C．1 D．8 【解析】　由题意知∫m20(m－)dx＝，所以＝，整理得m3＝8，所以m＝2. 【答案】　A 4．设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，求a的值． 【解】　 曲线y＝，直线x＝a，y＝0所围成封闭图形面积如图所示．即∫dx＝x＝a－0＝a2，解得a＝. ●命题角度3　与概率的综合应用 5．如图，矩形OABC的四个顶点坐标依次为O(0,0)，A，B，C(0,1)，记线段OC，CB以及y＝sin x的图象围成的区域(图中阴影部分)为Ω，若向矩形OABC内任意投一点M，求点M落在区域Ω内的概率． 【解】　阴

15、影部分的面积是∫0(1－sin x)dx＝－1， 矩形的面积是×1＝，所以点M落在区域Ω内的概率为＝1－. 归纳： 1．利用定积分求平面图形面积的步骤 (1)根据题意画出图形． (2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限． (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和． (4)计算定积分，写出答案． 2．根据平面图形的面积求参数的求解策略 先利用定积分求出平面图形的面积，再据条件构建方程(不等式)求解． 3．与概率综合应用的求解策略 先利用定积分求出平面图形的面积，再根据几何概型求解． 。 学生通过对高考真

16、题的解决，发现自己对知识的掌握情况。 学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。 引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念

17、，加强理解。从而为后面的练习奠定基础. 在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。 通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢

18、 由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式识别能力和 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构 引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，提高解题技能。 环节三： 课堂小结： 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．　 2.了解微积分基本定理的含义. 学生回顾，总结. 引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。 环节四： 课后作业：学生版练与测 学生通过作业进行课外反思，通过思考发散巩固所学的知识。