湖南省2022年中考数学总复习 第四单元 三角形 课时训练22 锐角三角函数及其应用练习

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1、湖南省2022年中考数学总复习 第四单元 三角形 课时训练22 锐角三角函数及其应用练习 22 锐角三角函数及其应用 限时:30分钟 夯实基础 1.计算:cos245°+sin245°= (　　) A. B.1 C. D. 2.[xx·柳州] 如图K22-1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=3,则sinB== (　　) 图K22-1 A. B. C. D. 3.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,BC=6,则AB等于 (　　) A.4 B.6 C.8 D.10 4.[xx·贵阳] 如图K22-2,A,B,

2、C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tan∠BAC的值为 (　　) A. B.1 C. D. 图K22-2 5.如图K22-3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为边AC的中点,DE⊥BC于点E,连接BD,则tan∠DBC的值为 (　　) 图K22-3 A. B.-1 C.2- D. 6.如图K22-4,长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD=60°.为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造楼梯,使其倾斜角∠ACD=45°,则调整后的楼梯AC的长为 (　　) 图K22-4 A.2 m B.2 m C.(2-2)m D

3、.(2-2)m 7.如图K22-5,为了测量楼的高度,从楼的顶部A看地面上的一点B,俯角为30°.已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30 m,那么楼的高度AC为　　　　m(结果保留根号).  图K22-5 8.如图K22-6,在正方形ABCD外作等腰直角三角形CDE,DE=CE,连接BE,则tan∠EBC=　　　　.  图K22-6 9.[xx·自贡] 如图K22-7,在△ABC中,BC=12,tanA=,∠B=30°.求AC和AB的长. 图K22-7 能力提升 10.[xx·陕西] 如图K22-8,在△ABC中,AC=8,∠ABC=60°,∠C=45°,AD⊥B

4、C,垂足为D,∠ABC的平分线交AD于点E,则AE的长为 (　　) 图K22-8 A. 　 B.2 　 C. 　 D.3 11.如图K22-9是以△ABC的边AB为直径的半圆O,点C恰在半圆上,过点C作CD⊥AB,交AB于点D.若cos∠ACD=,BC=4,则AC的长为 (　　) 图K22-9 A.1 B. C.3 D. 12.已知△ABC中,AB=10,AC=2,∠B=30°,则△ABC的面积等于　　　　.  13.如图K22-10,已知四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC=90°,AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E. (1)若

5、∠A=60°,求BC的长; (2)若sinA=,求AD的长. 图K22-10 14.[xx·贵阳] 如图K22-11①,在Rt△ABC中,以下是小亮探究与之间关系的方法: ∵sinA=,sinB=, ∴c=,c=. ∴=. 根据你掌握的三角函数知识,在图②的锐角三角形ABC中,探究,,之间的关系,并写出探究过程. 图K22-11 拓展练习 15.[xx·嘉兴] 如图K22-12①,滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB,P为立柱上的滑动调节点,伞体的截面示意图为△PDE,F为PD的中点,AC=2.8 m,PD=2 m,CF=1 m,∠DPE

6、=20°.当点P位于初始位置P0时,点D与C重合(图②).根据生活经验,当太阳光线与PE垂直时,遮阳效果最佳. (1)上午10:00时,太阳光线与地面的夹角为65°(图③),为使遮阳效果最佳,点P需从P0上调多少距离?(结果精确到0.1 m) (2)中午12:00时,太阳光线与地面垂直(图④),为使遮阳效果最佳,点P在(1)的基础上还需上调多少距离?(结果精确到0.1 m) (参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75,≈1.41,≈1.73) 图K22-12 参考答案 1.B 2.A　[解

7、析] 由勾股定理,得AB===5.根据正弦的定义,得sinB==. 3.D　4.B　5.A　6.B 7.10　8. 9.解:如图所示,过点C作CD⊥AB,交AB于点D. 在Rt△BCD中,∠B=30°,BC=12, ∴sinB===.∴CD=6. cosB===,∴BD=6. 在Rt△ACD中,tanA=,CD=6, ∴tanA===,∴AD=8. ∴AC===10, AB=AD+BD=8+6. 综上所述,AC的长为10,AB的长为8+6. 10.C　[解析] ∵BE平分∠ABD,∠ABC=60°, ∴∠ABE=∠EBD=30°. ∵AD⊥BC,∴∠BDA=90

8、°. ∴DE=BE. ∵∠BAD=90°-60°=30°, ∴∠BAD=∠ABE=30°. ∴AE=BE=2DE. ∴AE=AD. 在Rt△ACD中,sinC=, ∴AD=AC·sinC=8×=4. ∴AE=×4=. 故选C. 11.D 12.15或10　[解析] 分两种情况求解:(1)如图①所示,作AD⊥BC于点D. ∵AB=10,∠B=30°,∴AD=AB=×10=5,BD===5.又∵AC=2,∴CD===.∴BC=BD+CD=5+=6.∴△ABC的面积为BC·AD=×6×5=15. (2)如图②所示,作AD⊥BC于点D.∵AB=10,∠B=30°,∴AD=AB

9、=×10=5,BD===5.又∵AC=2,∴CD===.∴BC=BD-CD=5-=4.∴△ABC的面积为BC·AD=×4×5=10.综上所述,△ABC的面积等于15或10. 13.解:(1)在Rt△ABE中,∵∠ABE=90°,∠A=60°,AB=6,tanA=, ∴BE=6×tan60°=6. 在Rt△CDE中, ∵∠CDE=90°,∠E=90°-60°=30°,CD=4, ∴CE=2CD=8. ∴BC=BE-CE=6-8. (2)在Rt△ABE中,∵∠ABE=90°,sinA=, ∴=. 设BE=4x,则AE=5x.∴AB=3x=6. ∴x=2.∴BE=8,AE=1

10、0. 在Rt△CDE中, ∵∠CDE=90°,CD=4,tanE=, 而在Rt△ABE中,tanE=, ∴=. ∴ED=CD=. ∴AD=AE-ED=. 14.解:==. 理由如下:过点A作AD⊥BC.在Rt△ABD中,sinB=,即AD=csinB.在Rt△ADC中,sinC=,即AD=bsinC.∴csinB=bsinC,即=.同理可得=,则==. 15.解:(1)如图①,当点P位于初始位置P0时,CP0=2 m. 如图②,10:00时,太阳光线与地面的夹角为65°,点P上调至P1处, ∵∠1=90°,∠CAB=90°,∴∠AP1E=115°. ∴∠CP

11、1E=65°. ∵∠DP1E=20°,∴∠CP1F=45°. ∵CF=P1F=1 m, ∴∠C=∠CP1F=45°. ∴△CP1F为等腰直角三角形.∴CP1= m. ∴P0P1=CP0-CP1=2-≈0.6(m). 即点P需从P0上调0.6 m. (2)如图③,中午12:00时,太阳光线与P2E,地面都垂直,点P上调至P2处, ∴P2E∥AB. ∵∠CAB=90°,∴∠CP2E=90°. ∵∠DP2E=20°, ∴∠CP2F=∠CP2E-∠DP2E=70°. ∵CF=P2F=1 m,∴△CP2F为等腰三角形. 过点F作FG⊥CP2于点G. ∴GP2=P2F·cos70°=1×0.34=0.34(m). ∴CP2=2GP2=0.68(m). ∴P1P2=CP1-CP2=-0.68≈0.7(m), 即点P在(1)的基础上还需上调0.7 m.